ຮູບສາມແຈ

ຮູບສາມແຈ ທີ່ ປະກອບດ້ວຍ ມຸມ A, B, ແລະ C ຈະສາມາດສະແດງໄດ້ ດ້ວຍເຄື່ອງໝາຍ △ABC.ໃນ ເລຂາຄະນິດຢູຄລິດ ສາມ ເມັດ ທີ່ບໍ່ນອນໃນເສັ້ນຊື່ດຽວກັນໃດໜຶ່ງ ຈະປະກອບເປັນ ຮູບສາມແຈ ທີ່ແນ່ນອນພຽງອັນດຽວເທົ່ານັ້ນ.

ຮູບສາມແຈສາມາດ ແບ່ງ ຕາມຄວາມສຳພັນ ຂອງ ຄວາມຍາວແຕ່ລະຂ້າງ:

• ຮູບສາມແຈສະເໝີມີ ທຸກໆຂ້າງເທົ່າກັນ.
• ຮູບສາມແຈທ່ຽງມີສອງຂ້າງເທົ່າກັນ.
• ຮູບສາມແຈທົ່ວໄປເຊິ່ງທຸກໆຂ້າງ ມີລວງຍາວບໍ່ເທົ່າກັນ.

Equilateral	Isosceles	Scalene

ຮູບສາມແຈຍັງສາມາດແບ່ງຕາມຂະໜາດຂອງມຸມ:

• ຮູບສາມແຈສາກມີທຸກໆມຸມເທົ່າກັບ 90°.

ສູດຄິດໄລ່ເນື້ອທີ່ຮູບສາມແຈ ແມ່ນ :

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}bh}$ 

ໂດຍທີ່ ${\displaystyle S}$  ແມ່ນເນື້ອທີ່, ${\displaystyle b}$  ແມ່ນລວງຍາວພື້ນ ແລະ ${\displaystyle h}$  ໄລຍະຫ່າງແຕ່ມຸມຫາພື້ນ.

ໃຊ້ເວັກເຕີ

ເນື້ອທີ່ຂອງຮູບສາມແຈ ABC ສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ໂດຍ:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AB} )(\mathbf {AC} \cdot \mathbf {AC} )-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\mathbf {AB} |^{2}|\mathbf {AC} |^{2}-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}\,.}$ 

 

ໃຊ້ໄຕມຸມມິຕິ

ເນື້ອທີ່ຂອງ ຮູບສາມແຈ ແມ່ນ:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta .}$ 

ແຕ່ເນື່ອງຈາກວ່າ sin α = sin (π - α) = sin (β + γ), ແລະເຊັ່ນດຽວກັນກັບສອງມຸມອື່ນ:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\frac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\frac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha ).}$ 

ໃຊ້ໂຕປະສານ

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.}$ 

ສຳລັບໂຕປະສານທົ່ວໄປ:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{C}-x_{A}y_{B}+x_{B}y_{A}-x_{B}y_{C}+x_{C}y_{B}-x_{C}y_{A}{\big |}}$ 
${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\big |}(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})-(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A}){\big |}.}$ 

ໃນສາມມິຕິ ເນື້ອທີ່ຂອງຮູບສາມແຈທົ່ວໄປ {A = (x_A, y_A, z_A), B = (x_B, y_B, z_B) ແລະ C = (x_C, y_C, z_C)} ແມ່ນ ຜົນບວກປີຕາກໍ ຂອງ ເນື້ອທີ່ເງົາສາຍ ຢູ່ ແຕ່ລະໜ້າພຽງ (i.e. x = 0, y = 0 and z = 0):

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}}}.}$ 

ໃຊ້ສູດເຮຣອນ

${\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$ 

ໂດຍທີ່ s = ½ (a + b + c) ແມ່ນ ລວງຮອບຂອງຮູບສາມແຈຫານສອງ..

ວິທີຂຽນສູດເຮຣອນສາມແບບ

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$ 

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$ 

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.}$ 

ຊິນ ແລະ ໂກຊິນ

 

ຊິນ

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$ 

ສຳຫຼັບ ຮູບສາມແຈ ທີ່ ລວງຍາວຂ້າງ ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$  ແລະ ມຸມ ${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle \beta }$ , ${\displaystyle \gamma }$  respectively, ຖ້າຮູບລວງຍາວ ຂອງ ສອງຂ້າງ${\displaystyle a}$  and ${\displaystyle b}$ , ແລະ ມຸມລະຫວ່າງສອງຂ້າງນັ້ນ ${\displaystyle \gamma }$  (ຫຼື ມຸມກົງກັນຂ້າມກັບ ຂ້າງທີ່ບໍ່ຮູ້ ${\displaystyle c}$ ), ຂ້າງທີ່ສາມ ${\displaystyle c}$ , ສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ໂດຍ ສູດດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:

${\displaystyle c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\implies b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )\implies a^{2}\ =b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )}$ 

ຊິນ, ໂກຊິນ ແລະ ຕັງຊັງ

ຊິນ

${\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}\,.}$ 

ໂກຊິນ

${\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}\,.}$ 

ຕັງຊັງ

${\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{b}}\,.}$ 

ຕຳລາປີ້ນ

ອາກຊິນ

${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right).}$ 

ອາກໂກຊ

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right).}$ 

ອາກຕັງ

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right).}$ 

• ເລຂາຄະນິດ
• ເລຂາຄະນິດກາງຫາວ