分类
以角度分類 锐角三角形 銳角三角形的所有內角均為銳角 。
钝角三角形 鈍角三角形是其中一角為鈍角 的三角形,其余兩角均小於90°。
直角三角形 有一个角是直角 (90°)的三角形为直角三角形 。成直角的两条边称为「直角邊 」(cathetus),直角所对的边是「斜邊 」(hypotenuse);或最長的邊稱為「弦」,底部的一邊稱作「勾」(又作「句」),另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積(ch=ab)
三角函数 直角三角形各邊與角度的關係,可以三角比表示。
以邊長分類 不等邊三角形 三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形 。
等邊三角形 等邊三角形 (又称正三角形),为三边相等的三角形。其三個內角相等,均為60°。它是銳角三角形的一種。设其边长是 a {\displaystyle a} ,则其面積公式為 a 2 3 4 {\displaystyle {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}} 。
等邊三角形是正四面體 、正八面體 和正二十面體 這三個正多面體 面的形狀。六個边长相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形 。
等腰三角形 等腰直角三角形只有一種形狀,其中兩个角為45度。 等腰三角形 是三条边 中有两条边相等(或是其中兩隻內角相等)的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」,而另一条边被称为「底边」,两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」,它们组成的角被称为「顶角」。
等边三角形 和等腰直角三角形 是等腰三角形的特殊形式。
令其底边是 b {\displaystyle b} ,腰是 a {\displaystyle a} ,则其面積公式為 1 4 b 4 a 2 − b 2 {\displaystyle {\frac {1}{4}}{b{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}} 等腰三角形的对应高,角平分线和中线重合。
退化三角形 退化三角形是指面積為零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形:三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°);三边其中一条边的长度为0;一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形,這是由於它介乎於三角不等式 之間,在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。
勒洛三角形
勒洛三角形 (英語:Reuleaux triangle ),也譯作萊洛三角形或弧三角形,又被稱為劃粉形或曲邊三角形,是除了圓形以外,最簡單易懂的勒洛多邊形,一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間,使之與這兩平行線相切,則可以做到:無論這個曲線圖如何運動,只要它還是在這兩條平行線內,就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師弗朗茨·勒洛 命名。
一般性质
全等及相似
全等三角形 三角形具有穩定性,若二個三角形有以下的邊角關係確定後,它的形狀、大小就不會改變,二個三角形即為全等三角形 。全等三角形的判斷準則有以下幾種:
SSS(Side-Side-Side,邊、邊、邊):各三角形的三條邊的長度都對應地相等。 SAS(Side-Angle-Side,邊、角、邊):各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等,且兩條邊夾著的角都對應地相等。 ASA(Angle-Side-Angle,角、邊、角):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且兩個角夾著的邊都對應地相等。 RHS(Right Angle-Hypotenuse-Side,直角、斜邊、邊):在直角三角形中,斜邊及另外一條直角邊對應地相等。 AAS(Angle-Angle-Side,角、角、邊):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且其中一組對應角的對邊也對應地相等。 SSA(Side-Side-Angle、邊、邊、角)不能保证两个三角形全等,除非該角大於等於90°,此時可以保證全等。:34
相似三角形 AA(Angle-Angle,角、角):各三角形的其中兩個角的都對應地相等。(或稱AAA(Angle-Angle-Angle,角、角、角)) 三邊成比例(3 sides proportional):各三角形的三條邊的長度都成同一比例。 兩邊成比例且夾角相等(ratio of 2 sides, inc.∠):各三角形的兩條邊之長度都成同一比例,且兩條邊之夾角都對應地相等。(或稱 2 sides proportional, inc. ∠ equal) 特殊線段
三角形的心
三角形的內心 (Incenter) 、外心 (Circumcenter)、垂心 (Orthocenter) 及形心 (Centroid)稱為三角形的四心,定義如下:
关于三角形的四心,有这样的一首诗:
“ 內心全靠角平分, 外心中點垂線伸, 垂心垂直畫三高, 形心角連線中心。
”
垂心(蓝)、形心(黄)和外心(绿)能連成一線,且成比例1:2,稱為歐拉線 ,與九點圓 的圓心(紅)四點共線,為垂心和形心線段的中點。
連同以下的旁心 ,合稱為三角形的五心:
外接圆和内切圆半径 面積 基本公式 三角形的面積 A {\displaystyle A} 是底邊 b {\displaystyle b} 與高 h {\displaystyle h} 乘積的一半,即:
A = 1 2 b h {\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh} , 其中的高是指底邊與對角的垂直距離。
證明
三角形的面積可表示為一長方形面積的一半。 從右圖可知,將兩個全等三角形相拼,可得一平行四邊形。而將該平行四邊形分割填補,正好能得到一個面積等於 b h {\displaystyle bh} 的長方形。因此原來的三角形面積為
A = 1 2 b h {\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh} 。 證畢。
已知兩邊及其夾角 設 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} 為已知的兩邊, γ {\displaystyle \gamma } 為該兩邊的夾角,則三角形面積是:
A = 1 2 a b sin γ {\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }} 。 證明
三角形的高h 能以正弦 的定義表示。 觀察右圖,根據正弦 的定義:
sin γ = h a {\displaystyle \sin \gamma ={\frac {h}{a}}} 。 因此:
h = a sin γ {\displaystyle h=a\sin \gamma } 。 將此式代入基本公式,可得:
A = 1 2 b ( a sin γ ) = 1 2 a b sin γ {\displaystyle A={\frac {1}{2}}b(a\sin \gamma )={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }} 。 證畢。
已知兩角及其夾邊 β {\displaystyle \beta } 、 γ {\displaystyle \gamma } 為已知的兩角, a {\displaystyle a} 為該兩角的夾邊,則三角形面積是:
A = a 2 sin β sin γ 2 sin ( β + γ ) {\displaystyle A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}} 。 證明
三角形的面積能從兩角及其夾邊求得。 從正弦定理 可知:
b sin β = a sin α b = a sin β sin α {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {b}{\sin \beta }}&={\frac {a}{\sin \alpha }}\\b&={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}\\\end{aligned}}} 代入 A = 1 2 a b sin γ {\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma } ,得:
A = a 2 sin β sin γ 2 sin α {\displaystyle A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}} 。 注意到 α + β + γ = 180 ∘ {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }} ,因此:
A = a 2 sin β sin γ 2 sin [ 180 ∘ − ( β + γ ) ] = a 2 sin β sin γ 2 sin ( β + γ ) {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin[180^{\circ }-(\beta +\gamma )]}}\\&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}\\\end{aligned}}} 證畢。
已知三邊長 海龍公式 ,其表示形式為:
A = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}} , 其中 s {\displaystyle s} 等於三角形的半周長,即:
s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} 秦九韶 亦求過類似的公式,稱為三斜求積法 :
A = 1 4 [ c 2 a 2 − ( c 2 + a 2 − b 2 2 ) 2 ] {\displaystyle A={\sqrt {{\frac {1}{4}}{\left[c^{2}a^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}}} 也有用幂和 来表示的公式:
A = 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) = 1 4 2 ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}} 證明
將海倫公式 略為變形,知
16 A 2 = [ ( a + b ) + c ] [ ( a + b ) − c ] × [ c + ( a − b ) ] [ c − ( a − b ) ] {\displaystyle 16A^{2}=[(a+b)+c][(a+b)-c]\times [c+(a-b)][c-(a-b)]} 多次使用平方差 公式,得
16 A 2 = [ ( a + b ) 2 − c 2 ] × [ c 2 − ( a − b ) 2 ] = [ 2 a b + ( a 2 + b 2 − c 2 ) ] × [ 2 a b − ( a 2 + b 2 − c 2 ) ] = ( 2 a b ) 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 = 4 a 2 b 2 − ( a 4 + b 4 + c 4 + 2 a 2 b 2 − 2 b 2 c 2 − 2 a 2 c 2 ) = ( 2 a 2 b 2 + 2 b 2 c 2 + 2 a 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) = 2 ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}16A^{2}&=[(a+b)^{2}-c^{2}]\times [c^{2}-(a-b)^{2}]\\&=[2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\times [2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\\&=(2ab)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\&=4a^{2}b^{2}-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2a^{2}c^{2})\\&=(2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\&=2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\\end{aligned}}} 等號兩邊開根號,再同除以4,得
A = 1 4 2 ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}} 亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式:
16 ⋅ A 2 = − | 0 a 2 b 2 1 a 2 0 c 2 1 b 2 c 2 0 1 1 1 1 0 | {\displaystyle 16\cdot A^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\\\end{vmatrix}}} 基於海伦公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定 ,有一個變化的計法。設 a ≥ b ≥ c {\displaystyle a\geq b\geq c} ,三角形面積為:
A = 1 4 [ a + ( b + c ) ] [ c − ( a − b ) ] [ c + ( a − b ) ] [ a + ( b − c ) ] {\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}}} 。 已知坐标系 中三顶点坐标 由 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} 、 ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2})} 及 ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle (x_{3},y_{3})} 三个顶点构成的三角形,其面积可用行列式 的絕對值表示:
A = | 1 2 | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | | {\displaystyle A=\left|{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}\right|} 證明
无论三角形的顶点位置如何,该三角形总可以用一个直角梯形(或矩形)和两个直角三角形面积的和差来表示,而在直角坐标系中,已知直角梯形(或矩形)和直角三角形的顶点的坐标,该三角形的面积容易求出,即用上述的行列式表示。
若三個頂點 設在三維座標系上,即由 ( x 1 , y 1 , z 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})} 、 ( x 2 , y 2 , z 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})} 及 ( x 3 , y 3 , z 3 ) {\displaystyle (x_{3},y_{3},z_{3})} 三个顶点构成三角形,其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和,即:
A = 1 2 | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | 2 + | y 1 z 1 1 y 2 z 2 1 y 3 z 3 1 | 2 + | z 1 x 1 1 z 2 x 2 1 z 3 x 3 1 | 2 {\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\\y_{2}&z_{2}&1\\y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{1}&x_{1}&1\\z_{2}&x_{2}&1\\z_{3}&x_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}}}} 已知周界及內切圓或外接圓半徑 設三角形三邊邊長分別為 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 及 c {\displaystyle c} ,三角形半周長( a + b + c 2 {\displaystyle {\frac {a+b+c}{2}}} )為 s {\displaystyle s} ,內切圓半徑為 r {\displaystyle r} ,則:
A = s r {\displaystyle A=sr} 若設外接圓半徑為 R {\displaystyle R} ,則:
A = a b c 4 R {\displaystyle A={\frac {abc}{4R}}} 證明
內切圓半徑公式
三角形被三條角平分線分成三分。 根據右圖,設 A B ¯ = c {\displaystyle {\overline {AB}}=c} , A C ¯ = b {\displaystyle {\overline {AC}}=b} , B C ¯ = a {\displaystyle {\overline {BC}}=a} ,則三角形面積可表示為:
A = 1 2 a r + 1 2 b r + 1 2 c r = r ( a + b + c ) 2 = r s {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ar+{\frac {1}{2}}br+{\frac {1}{2}}cr\\&={\frac {r(a+b+c)}{2}}\\&=rs\end{aligned}}} 外接圓半徑公式
根據正弦定理 :
c sin γ = 2 R sin γ = c 2 R {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {c}{\sin \gamma }}&=2R\\\sin \gamma &={\frac {c}{2R}}\\\end{aligned}}} 因此:
A = 1 2 a b sin γ = 1 2 a b ( c 2 R ) = a b c 4 R {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{2}}ab\left({\frac {c}{2R}}\right)\\&={\frac {abc}{4R}}\end{aligned}}} 已知兩邊向量 設從一角出發,引出兩邊的向量為 a {\displaystyle \mathbf {a} } 及 b {\displaystyle \mathbf {b} } ,三角形的面積為:
A = 1 2 | a × b | {\displaystyle A={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |} 證明
根據向量積 定義, | a × b | = | a | | b | sin γ {\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma } , 其中 γ {\displaystyle \gamma } 是兩支向量的夾角。
因此:
1 2 | a × b | = 1 2 | a | | b | sin γ = A {\displaystyle {\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma =A} 證畢。
半角定理 在三角形 A B C {\displaystyle ABC\,} 中,三个角的半角的正切和三边有如下关系:
tan A 2 = ( a + c − b ) ( a + b − c ) ( a + b + c ) ( b + c − a ) tan B 2 = ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( a + b + c ) ( a + c − b ) tan C 2 = ( b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b + c ) ( a + b − c ) {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+c-b)(a+b-c)}{(a+b+c)(b+c-a)}}}\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}\\\tan {\frac {C}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}\\\end{aligned}}} 其他有关三角形的定理 註釋 參考資料 參看
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