所有关于某一角θ的三角函数 都通过建立一个圆心为O的单位圆在几何上来定义 三角学的基礎是平面三角学,研究平面上的三角形中边与角之间的关系,分为角的度量、三角函数 与反三角函数 、诱导公式、和与差的公式、倍角、半角公式、和差化积与积化和差公式、解三角形等内容,可能會是單獨的一個科目或是在预科微积分 教授,三角函數在純數學 及應用數學 中的許多領域中出現,例如傅立葉分析 及波函數 等,是許多科技領域的基礎。
三角学也包括球面三角學,研究球面 上,由大圓 的弧所包圍成的球面三角形,位在曲率 為正值常數的曲面 上,是橢圓幾何的一部份,球面三角學是天文學 及航海 的基礎,也在测量学 、制图学、结晶学 、仪器学等方面有广泛的应用。負曲率曲面上的三角学則是雙曲幾何 中的一部份。
历史
苏美尔 天文学家引入了角度测量,将一个圆分割为360度。他们和之后的巴比伦人 都在研究相似三角形各边之间的比例关系,并发现了其中一部分比例,但是并没有将其发展为一套系统的方法。古代努比亚人 也使用了类似的方法。古希腊人 最早将三角学转变成一套系统学科。
穆斯林天文学家巴塔尼 引入了我们今天熟知的正弦、余弦、正切、余切等术语,并且提出了正切和余切的概念。
明代 末年,由于历法 改革的需要,西学东渐 中陆续引进了几何学 、三角学等西方数学 。这项工作仍在清朝 继续进行,其中最重要的是由波兰 传教士 穆尼阁 和薛凤祚 所介绍的对数 方法。薛凤祚所著《历学会通》的数学 部分主要是传自穆尼阁的《比例对数表》(1653年)、《比例四线新表》和《三角算法》等各一卷。《比例对数表》和《比例四线新表》分别给出了1~10000的六位对数表和六位三角函数(正弦 、余弦 、正切 、余切 )对数表。书中把今天所说的“对数”称为“比例数”或“假数”,并简单解释了把乘 除 运算化为加 减 运算的道理。这是对数方法在中国的首次介绍。对数是17世纪最重要的发现之一,它有效地简化了繁重的计算工作。在对数、解析幾何 和微積分 这三种当时西方最重要的数学方法中,也只有对数比较及时地传入了中国。《三角算法》所介绍的平面三角和球面三角知识,比《崇祯历书 》中有关三角学的内容更丰富一些。如平面三角中包含有正弦定理 、余弦定理 、正切定理 和半角定理等,且多是运用三角函数的对数进行计算。球面三角中增加半角公式 、半弧公式、达朗贝尔公式和纳皮尔公式等。
概述
计算
三角函数是最早使用数学用表 的。这样的数学用表被纳入数学课本中,供学生查询数值和使用插值 法得到更高精确度。计算尺 在三角函数中有着特别的计量。如今的科学计算器 已经配备有计算主要三角函数的功能,大多数电脑编程语言 也提供函数库来计算三角函数。
常用公式
三角形的三边a、b、c,以及它们的对角A、B、C。 一些有关三角函数的恒等式对于所有角都始终成立,被称为三角恒等式 。有一些恒等式是对于同一角的不同三角函数间的转换。
标准恒等式 恒等式 是指那些无论给定值为多少都始终成立的等式。在三角函数中存在如下恒等关系:
sin 2 A + cos 2 A = 1 {\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1} --- (1) tan 2 A + 1 = sec 2 A {\displaystyle \tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A} --- (2) 1 + cot 2 A = csc 2 A {\displaystyle 1+\cot ^{2}A=\csc ^{2}A} --- (3) 正弦定理 对于任意三角形的正弦定理 (又被称为“正弦法则”)公式如下:p.110 :
a sin A = b sin B = c sin C = 2 R , {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,} 其中,R是三角形外接圓 的半径长度:
R = a b c ( a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) ( b + c − a ) . {\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.} 另一个有关于正弦的法则可以用来计算三角形的面积。在给定两条边的长度以及它们所夹角的角度,该三角形的面积为:
Area = 1 2 a b sin C . {\displaystyle {\mbox{Area}}={\frac {1}{2}}ab\sin C.} 余弦定理 任意三角形的余弦定理(又被称为余弦方程式、余弦法则),是勾股定理 的一个扩展:p.112 :
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C , {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,\,} 或者可以写作:
cos C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b . {\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.\,} 正切定理 正切定理 如下:
a − b a + b = tan [ 1 2 ( A − B ) ] tan [ 1 2 ( A + B ) ] {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}} 欧拉公式 欧拉公式 定义,对于任意的 x {\displaystyle x} ,都有 e i x = cos x + i sin x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} ,于是产生了如下的对于e 和虛數單位 i 的数学分析 恒等式:
sin x = e i x − e − i x 2 i , cos x = e i x + e − i x 2 , tan x = i ( e − i x − e i x ) e i x + e − i x . {\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.} 角度转换公式 角度转换公式也稱為和角公式或是和差公式,是有關二角和或差的三角函數的公式。
sin ( A ± B ) = sin A cos B ± cos A sin B {\displaystyle \sin(A\pm B)=\sin A\ \cos B\pm \cos A\ \sin B} cos ( A ± B ) = cos A cos B ∓ sin A sin B {\displaystyle \cos(A\pm B)=\cos A\ \cos B\mp \sin A\ \sin B} tan ( A ± B ) = tan A ± tan B 1 ∓ tan A tan B {\displaystyle \tan(A\pm B)={\frac {\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\ \tan B}}} cot ( A ± B ) = cot A cot B ∓ 1 cot B ± cot A {\displaystyle \cot(A\pm B)={\frac {\cot A\ \cot B\mp 1}{\cot B\pm \cot A}}} 倍角公式以及半角公式 二倍角公式可以利用二角相等時的和角公式求得。
sin 2 A = 2 sin A cos A {\displaystyle \sin 2A=2\sin A\ \cos A} cos 2 A = cos 2 A − sin 2 A = 2 cos 2 A − 1 = 1 − 2 sin 2 A {\displaystyle \cos 2A=\cos ^{2}A-\sin ^{2}A=2\cos ^{2}A-1=1-2\sin ^{2}A} tan 2 A = 2 tan A 1 − tan 2 A {\displaystyle \tan 2A={\frac {2\tan A}{1-\tan ^{2}A}}} 利用和角公式也可以推導三倍角公式、四倍角公式等。
半角公式可以利用餘弦函數的二倍角公式求得。
sin A 2 = ± 1 − cos A 2 {\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos A}{2}}}} cos A 2 = ± 1 + cos A 2 {\displaystyle \cos {\frac {A}{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos A}{2}}}} tan A 2 = ± 1 − cos A 1 + cos A = sin A 1 + cos A = 1 − cos A sin A {\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}=\pm \,{\sqrt {1-\cos A \over 1+\cos A}}={\frac {\sin A}{1+\cos A}}={\frac {1-\cos A}{\sin A}}} 积化和差以及和差化积 积化和差是將二個正弦及餘弦函數的乘積轉換為另外二個正弦及餘弦函數的和或差,其逆運算即為和差化积。數學家韋達 在其三角學著作《應用於三角形的數學定律》給出积化和差与和差化积恒等式。积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
积化和差 和差化积 sin A sin B = cos ( A − B ) − cos ( A + B ) 2 {\displaystyle \sin A\sin B={\cos(A-B)-\cos(A+B) \over 2}} sin A + sin B = 2 sin A + B 2 cos A − B 2 {\displaystyle \sin A+\sin B=2\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}} cos A cos B = cos ( A − B ) + cos ( A + B ) 2 {\displaystyle \cos A\cos B={\cos(A-B)+\cos(A+B) \over 2}} cos A + cos B = 2 cos A + B 2 cos A − B 2 {\displaystyle \cos A+\cos B=2\cos {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}} sin A cos B = sin ( A + B ) + sin ( A − B ) 2 {\displaystyle \sin A\cos B={\sin(A+B)+\sin(A-B) \over 2}} cos A − cos B = − 2 sin A + B 2 sin A − B 2 {\displaystyle \cos A-\cos B=-2\sin {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A-B}{2}}} cos A sin B = sin ( A + B ) − sin ( A − B ) 2 {\displaystyle \cos A\sin B={\sin(A+B)-\sin(A-B) \over 2}} sin A − sin B = 2 cos A + B 2 sin A − B 2 {\displaystyle \sin A-\sin B=2\cos {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A-B}{2}}}
参考文献 注释 参見 延伸阅读 外部链接 Khan Academy: Trigonometry, free online micro lectures (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ) Trigonometric Delights , by Eli Maor, Princeton University Press, 1998. Ebook version, in PDF format, full text presented. Trigonometry by Alfred Monroe Kenyon and Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. In images, full text presented. Benjamin Banneker's Trigonometry Puzzle at Convergence Dave's Short Course in Trigonometry (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ) by David Joyce of Clark University Trigonometry, by Michael Corral, Covers elementary trigonometry, Distributed under GNU Free Documentation License (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )
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