ትሪጎኖሜትሪ

። I

በአሁኑ ወቅት፣ ትሪጎኖሜትሪ ለሒሳብ፣ ሳይንስ፣ ቴክኖሎጂ፣ ሥነ ከዋክብት ጥናትና ለመሬት ጥናት የሚያግለግል ዋና የሒሳብ መሳሪያ ነው።

 

የአንድ ሶስት ጎን አንድ ማዕዘን 90 ዲግሪ ቢሆንና አንዱ ሌላው ማዕዘን ከታወቀ፣ ቀሪው ሶሰኛ ማዕዘን ምንጊዜም ይታወቃል። ለዚህ ምክንያቱ ማናቸውም ሶስት ጎኖች የውስጥ ማዕዘኖቻቸው ሲደመሩ ሁልጊዜ 180 ስለሚሞሉ ነው፡፡ ማዕዘኖቻቸው ታወቁ ማለት ደግሞ ምንጊዜም የጎኖቻቸው ውድር ቋሚ ነው ማለት ነው።

ስለሆነም የአንድ ቀጥተኛ ሶስት ጎን አንድ ማዕዘን A, እና ጎኖች a, b, c ቢሰጡ፣ የጎኖቹ ውድሮች እንዲህ ሲባሉ በትርጎኖሜትሪ ፈንክሽኖች ይተረጎማሉ:

• ሳይን(Sine) ከማዕዘኑ ትይዩ ያለው ጎን ለተጋዳሚው(hypotenuse) ጎን ሲካፈል

${\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{\,c\,}}\,.}$ 

• ኮሳይን(Cosine) ፈንክሽን (cos), ለማዕዘኑ ታካኪ የሆነው ጎን ለተጋዳሚው ጎን ሲካፈል

${\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{\,c\,}}\,.}$ 

• ታንጀንት(Tangent) ለማዕዘኑ ትይዩ የሆነው ጎን ለታካኪው ሲካፈል

${\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{\,b\,}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.}$ 

የኒህ ፈንክሽኖች ብዜታዊ ግልባጮች፣ ተራ በተራ ፣ ኮሴካንት ('cosecant) (csc ወይንም cosec), ሴካን (secant) (sec), እና ኮታንጀንት (cotangent) (cot), በመባል ያወቃሉ።

ከላይ የተጠቀሱት ፈንክሽኖች፣ ከተሰጠ ማዕዘን ተነስተው ውድር የሚያገኙ ሲሆን፣ ከተሰጠ ውድር ተነስተው ማዕዘኑን ማስገኘት የሚያስችሉ ዘዋሪ ፈንክሽኖችም አሉ። እኒህም አርክሳይን(arcsine), አርክኮሳይን(arccosine), እና አርክታንጀንት(arctangent) በመባል ይታወቃሉ። ,

እላይ የተጠቀሱትን ፈንክሽኖች በመጠቀም ማናቸውም በሶስት ጎን ላይ የሚነሱ የማዕዘን ጥያቄወችን መመለስ ይቻላል። ሁለት ጎናቸው የሚያቅፉት ማዕዘን፣ ወይም፣ ሁለት ማዕዘኖቻቸው እና አንድ ጎናቸው፣ ወይንም ሶስቱ ጎናቸው የሚታወቅ ሶስት ጎኖች፣ ሌሎች ቀሪ ያልታወቁ ጎኖቻቸውና ማዕዘኖቻቸው በትርጊጎኖሜትሪ እንዲታወቅ ያችላል።

ለምሳሌ አንድ ፎቅ የሚያጠላው ጥላ ርዝመትና የጥላው ማዕዘን ቢታወቅ፣ የፎቁ ርዝመት በትሪጎኖሜትሪ ተሰልቶ ሊገኝ ይችላል።

የትሪጎኖሜትሪ ህጎች በማናቸውም የጂዎሜትሪ ክፍሎች ተጠቃሚነት ያገኛሉ። ለዚህ ምክንያቱ ማናቸውም የጂዎሜትሪ ምስሎች ከተወሰኑ ሶስት ጎኖች ቅንጅት የሚመጡ ናቸውና።

መሰረታዊ እኩያዎች

እኒህ እኩልዮሾች ለማናቸውም ማዕዘናት ያገለግላሉ

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ }$ 

${\displaystyle \sec ^{2}A-\tan ^{2}A=1\ }$ 

${\displaystyle \csc ^{2}A-\cot ^{2}A=1\ }$ 

ምዕዘናት ማሻገሪያ ቀመሮች

${\displaystyle \sin(A+B)=\sin A\cdot \cos B+\cos A\cdot \sin B}$ 

${\displaystyle \cos(A+B)=\cos A\cdot \cos B-\sin A\cdot \sin B}$ 

${\displaystyle \sin(A-B)=\sin A\cdot \cos B-\cos A\cdot \sin B}$ 

${\displaystyle \cos(A-B)=\cos A\cdot \cos B+\sin A\cdot \sin B}$ 

 

በሚከተሉት እኩልዮሾች A, B እና C የሶስት ጎን ማዕዘና ሲሆኑ a, b እና c ደግሞ ከማዕዘናቱ ፊት ለፊት የሚገኙ ጎኖች ናቸው

የሳይኖች ህግ

የሳይኖች ህግ እንዲህ ይጻአል

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}$ 

R እዚህ ላይ በሶስት ጎኖቹ ሶስት ነጥቦች ላይ የሚሳልን ክብ ራዲየስ ይወክላል ፡

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.}$ 

የሶስት ጎኑ ስፋት ደግሞ እንዲህ ይሰአላል:

${\displaystyle {\mbox{Area}}={\frac {1}{2}}ab\sin C.}$ 

የኮሳይኖች ህግ

የኮሳይኖች ህግ፣ የፓይታጎሪያን እርግጥ ከቀጥተኛ ሶስት ጎን ወደ ለማንኛውም ሶስት ጎን ጥቅም ሲሻገር የሚይዘው ቅርጽ ነው፦

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,\,}$ 

ወይም ደግሞ፦

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.\,}$ 

የታንጀንቶች ህግ

የታንጀንቶች ህግ እንዲህ ይላል:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}}$ 

የኦይለር ቀመር

የኦይለር ቀመር, በሓሳቢው ኦይለር የተደረሰበት ቀመር ሲሆን፣ እንዲህ ይላል ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ ፣ ሲተነተን የሚከተሉትን ቀመሮችና ትርጓሜዎች ይሰጣል፦

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}$ 

• የትሪጎኖሜትሪ ደስታ (የእንግሊዝኛ ነጻ መጽሐፍ) 1990 ዓ.ም ፕሪንስተን ዩኒቬርሲቲ
• ትሪጎኖሜትሪ (የእንግሊዝኛ መጽሐፍ) 1906ዓ.ም. Archived ኖቬምበር 4, 2007 at the Wayback Machine
• የትሪጎኖሜትሪ እንቆቅልሾች
• አጭር የትሪጎኖሜትሪ ትምህርት ክላርክ ዩኒቨርሲቲ