Trigunumitria

U scopu principali di a trigunumitria, com'edda a svela l'etimulugia di u nomu, cunsisti in u calculamentu di i misuri chì carattarizeghjani l'elementi d'un triangulu (lati, anguli, mediane, etc.) partendu da altri misuri ghjà cunnisciuti (almenu trè, frà i quali almenu una lunghezza), par mezu di funzioni spiciali. Si riferisci à tali scopu com'è risuluzioni di u triangulu. Hè ancu pussibuli di serva si di calculi trigunumetrichi in a risuluzioni di prublemi currilati à figuri giumetrichi più cumplessi, com'è puliguni o figuri giumetrichi solidi, è in molti altri rami di a matematica.

I funzioni trigunumetrichi (i più impurtanti di i quali sò u sinu è u cusinu), intrudutti in stu duminiu, sò ancu imprudati in modu indipindenti da a giumitria, è dinò in altri campi di a matematica è di i so applicazioni, par asempiu in cunnissioni incù a funzioni espuninziali o incù i uparazioni vitturiali.

Duranti molti seculi, a trigunumitria duviti i so prugressi guasi esclusivamenti à l'opara di grandi astrunomi è giugrafi. Infatti, a fundazioni di sta scenza si devi à Ipparco di Nicea è à Claudiu Tolomeo, tremindù più astrunomi è giugrafi ch'è matematichi. Cuntributi nutevuli funi arricati à sta scenza da l'arabi, da u francesu Levi ben Gershon è, più dopu, da Niccolò Copernicu è Tycho Brahe, intenti à discriva è à priveda incù sempri una più grandi pricisioni i finomini cilesti, ancu par un più asattu è faciuli calculu di longitudini è latitudini.

Strumentu indispinsevuli di a trigunumitria sò i funzioni trigunumetrichi. Sò sti funzioni chì associani i lunghezzi à l'anguli, è viciversa. I tavuleddi in sta sizzioni mostrani i funzioni trigunumetrichi à tempu à i so principali prubità.

Funzioni trigunumetrichi diretti

Sò ditti funzioni trigunumetrichi diretti quiddi chì à un angulu, di solitu aspressu in radianti, associani una lunghezza o un rapportu frà lunghezzi. A causa di l'equivalenza circulari di l'anguli, tutti i funzioni trigunumetrichi diretti sò ancu funzioni periodichi incù periodu ${\displaystyle \pi }$  o ${\displaystyle 2\pi }$ .

Funzioni trigunumetrichi diretti
Funzioni	Nutazioni	Duminiu	Cuduminiu	Radichi	Periodu	Funzioni inversa
sinu	sen, sin	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \left[-1,1\right]}$	${\displaystyle \mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle 2\pi }$	arcusinu
cusinu	cos	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \left[-1,1\right]}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle 2\pi }$	arcucusinu
tangenti	tan, tg	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle \pi }$	arcutangenti
cutangenti	cot, cotg, ctg	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle \pi }$	arcucutangenti
secanti	sec	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)}$	${\displaystyle \left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)}$	nisciuna	${\displaystyle 2\pi }$	arcusecanti
cusecanti	csc, cosec	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi }$	${\displaystyle \left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)}$	nisciuna	${\displaystyle 2\pi }$	arcucusecanti

Funzioni trigunumetrichi inversi

À ogni funzioni trigunumetrica diretta hè assuciata una funzioni inversa. U duminiu di ognuna funzioni trigunumetrica inversa currispondi, com'hè prividibuli, à u cuduminiu di a funzioni diretta rispittiva. Apposta ch'è i funzioni diretti sò, puri, periodichi, è parciò micca iniittivi, par pudè li invirsà hè nicissariu à ristringhja ni u duminiu rindendu li biiettivi. A scelta di a ristrizzioni hè tiuricamenti irrilevanti è i pussibilità sò infiniti. A cunvinzioni (rigida, in stu campu) voli parò ch'è i duminii fussini ristretti à l'intarvalli ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$  oppuri ${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$ , in i quali i funzioni — è dunqua ancu i so inversi — sò munotuni. Ancu i funzioni arcusecanti è arcucusecanti sò difiniti da l'invirsioni di i funzioni diretti ristretti à un di ss'intarvalli.

Funzioni trigunumetrichi inversi
Funzioni	Nutazioni	Duminiu	Cuduminiu	Radichi	Andamentu	Funzioni inversa
arcusinu	arcsen, arcsin, asin, sen−1	${\displaystyle \left[-1,1\right]}$	${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$	0	${\displaystyle \nearrow }$	sinu
arcucusinu	arccos, acos, cos−1	${\displaystyle \left[-1,1\right]}$	${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$	1	${\displaystyle \searrow }$	cusinu
arcutangenti	arctan, arctg, atan, tan−1	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$	0	${\displaystyle \nearrow }$	tangenti
arcucutangenti	arccot, arccotg, arcctg, acot, cot−1	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \left(0,\pi \right)}$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle \searrow }$	cutangenti
arcusecanti	arcsec, asec, sec−1	${\displaystyle \left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)}$	${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$	1	criscenti, incù una discuntinuità in ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$	secanti
arcucusecanti	arccsc, arccosec, acsc, csc−1	${\displaystyle \left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)}$	${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$	${\displaystyle \pm \infty }$	dicriscenti, incù una discuntinuità in ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$	cusecanti

Prima rilazioni fundamintali

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1}$ 

da quissa s'utteni

${\displaystyle \cos \alpha =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}}$ 

${\displaystyle \sin \alpha =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}}$ 

induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di ${\displaystyle \alpha }$  par a scelta oppurtuna di i cenni

Siconda rilazioni fundamintali

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}}$ 

chì vali solu par ${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$  incù ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ 

Terza rilazioni fundamintali

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{1+\tan ^{2}\alpha }}}$ 

chì vali solu par ${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$  incù ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ 

da quissa s'utteni

${\displaystyle \cos \alpha =\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}}}$ 

induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di ${\displaystyle \alpha }$  par a scelta oppurtuna di i cenni.

In a circumfarenza guniumetrica si chjamani anguli assuciati l'anguli ${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle \pi -\alpha }$ , ${\displaystyle \pi +\alpha }$  è ${\displaystyle 2\pi -\alpha }$ . 'Ss'anguli ani in valori assulutu listessu sinu è listessu cusinu.

Formuli di l'anguli assuciati di u sicondu quadranti

${\displaystyle \cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha }$ 

${\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha }$ 

${\displaystyle \tan(\pi -\alpha )=-\tan \alpha }$ 

Formuli di l'anguli assuciati di u terzu quadranti

${\displaystyle \cos(\pi +\alpha )=-\cos \alpha }$ 

${\displaystyle \sin(\pi +\alpha )=-\sin \alpha }$ 

${\displaystyle \tan(\pi +\alpha )=\tan \alpha }$ 

Formuli di l'anguli assuciati à u quartu quadranti

${\displaystyle \cos(2\pi -\alpha )=\cos \alpha }$ 

${\displaystyle \sin(2\pi -\alpha )=-\sin \alpha }$ 

${\displaystyle \tan(2\pi -\alpha )=-\tan \alpha }$ 

Formuli di l'anguli opposti

${\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos \alpha }$ 

${\displaystyle \sin(-\alpha )=-\sin \alpha }$ 

${\displaystyle \tan(-\alpha )=-\tan \alpha }$ 

Si dici ch'è ${\displaystyle \cos \alpha }$  hè una funzioni para, mentri ${\displaystyle \sin \alpha }$  è ${\displaystyle \tan \alpha }$  sò dispari.

Formuli di l'anguli cumplimintarii (a so somma hè un angulu rettu)

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha }$ 

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha }$ 

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cot \alpha }$ 

Formuli di l'anguli chì sò diffarenti d'un angulu rettu

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha }$ 

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha }$ 

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha }$ 

In trigunumitria, i formuli d'addizioni è suttrazzioni parmettini di trasfurmà i funzioni trigunumetrichi di l'addizioni o diffarenza di dui anguli in un'esprissioni cumposta da funzioni trigunumetrichi di i dui anguli.

Formuli d'addizioni

• ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$ 
• ${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }$ 
• ${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}}$ 
• ${\displaystyle \cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}}$ 

A formula di a tangenti vali par ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$  incù ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ 

A formula di a cutangenti vali par ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq k\pi }$  incù ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ 

Formuli di suttrazzioni

• ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \,\sin \beta }$ 
• ${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }$ 
• ${\displaystyle \tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}}$ 
• ${\displaystyle \cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}}$ 

A formula di a tangenti vali par ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$  incù ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ 

A formula di a cutangenti vali par ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq k\pi }$  incù ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ 

Formuli di duplicazioni

• ${\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha }$ 

• ${\displaystyle \cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1}$ 

• ${\displaystyle \tan(2\alpha )={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}}$ 

L'ultima formula vali par ${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$  è ${\displaystyle \alpha \neq \pm {\frac {\pi }{4}}+k\pi }$  incù ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ 

Formuli di liniarità

• ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos(2\alpha )}{2}}}$ 

• ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos(2\alpha )}{2}}}$ 

• ${\displaystyle \tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos(2\alpha )}{1+\cos(2\alpha )}}}$ 

L'ultima formula vali par ${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$  incù ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ 

Formuli di bisizzioni

Attinzioni: hè nicissariu à valutà in qualessu quadranti cadi ${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}$  par pudè sceglia i cenni oppurtuni di i siguenti formuli

• ${\displaystyle \cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}}$ 

• ${\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}}$ 

• ${\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}}$ 

L'ultima formula vali par ${\displaystyle \alpha \neq \pi +2k\pi }$ .

Formuli parametrichi

• ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$ 

• ${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}}}$ 

• ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {2t}{1-t^{2}}}}$ 

induva ${\displaystyle t=\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}$  incù ${\displaystyle \alpha \neq \pi +2k\pi }$ .

Formuli di prustaferesi

• ${\displaystyle \sin p+\sin q=2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)}$ 

• ${\displaystyle \sin p-\sin q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right)}$ 

• ${\displaystyle \cos p+\cos q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)}$ 

• ${\displaystyle \cos p-\cos q=-2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right)}$ 

I furmuli di prustaferesi trasformani i sommi di funzioni guniumetrichi in prudutti.

Formuli di Werner (inversi di i formuli di prustaferesi)

• ${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right]}$ 

• ${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right]}$ 

• ${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\right]}$ 

• ${\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )\right]}$ 

I furmuli di Werner trasformani i prudutti di funzioni guniumetrichi in sommi.

Formuli di l'angulu aghjuntu

• ${\displaystyle a\sin x+b\cos x=A\sin(x+\phi )}$ 

A siguenti ugualità hè virificata sottu i siguenti cundizioni

${\displaystyle A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}\cos \phi ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\\sin \phi ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\end{cases}}}$ 

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {b}{a}}}$ 

Ci voli à tena menti ch'è a tangenti guniumetrica hè piriodica di 180° è dunqua bisogna à valutà priventivamenti a pusizioni di ${\displaystyle \phi }$  è dunqua

${\displaystyle \phi ={\begin{cases}\arctan({\frac {b}{a}})&{\mbox{s'è }}a>0\\\arctan({\frac {b}{a}})+\pi &{\mbox{s'è }}a<0\end{cases}}}$ 

 

In u ghjergu matematicu "risolva un triangulu rittangulu" significheghja calculà i misuri di i lati è di l'anguli di u triangulu. Par cunvinzioni esisti una numinclatura in i trianguli rittanguli chì si pò veda nantu à a figura. Ci voli à ricurdà si ch'è

• ${\displaystyle \alpha =90^{o}}$  è ${\displaystyle \beta +\gamma =90^{o}}$ 
• un angulu hè aghjacenti à un catetu s'è u catetu hè un di i lati di l'angulu in quistioni.
• un angulu hè oppostu à un catetu s'è u catetu ùn hè micca un di i lati di l'angulu in quistioni.

Par asempiu ${\displaystyle \beta }$  hè oppostu à u catetu ${\displaystyle b}$  è aghjacenti à u catetu ${\displaystyle c}$ .

Sottu sti cunvinzioni in un triangulu rittangulu privalini i siguenti tiuremi

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u sinu di l'angulu oppostu à u catetu

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u cusinu di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu.

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a tangenti di l'angulu oppostu à u catetu da calculà.

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a cutangenti di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu da calculà.

'Ssi tiuremi si traducini in i siguenti formuli par a risuluzioni di i trianguli rittanguli

${\displaystyle a={\frac {c}{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cdot \sin \gamma }$ 

${\displaystyle a={\frac {b}{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \cos \gamma }$  

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {\sin \gamma }{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \tan \gamma }$ 

${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\cos \gamma }{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \cot \gamma }$  

${\displaystyle a={\frac {b}{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \sin \beta }$ 

${\displaystyle a={\frac {c}{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cdot \cos \beta }$  

${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \tan \beta }$ 

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \cot \beta }$  

Dimustrazioni

Si cunsidareghja un triangulu rittangulu ${\displaystyle ABC}$  incù angulu rettu di vertici ${\displaystyle A}$ . Dittu ${\displaystyle CA}$  l'assu ${\displaystyle x}$ , nantu à u vertici ${\displaystyle C}$  si custruisci una circumfarenza di raghju ${\displaystyle CP=1}$ . I cuurdinati di u puntu ${\displaystyle P}$  rapprisentani u ${\displaystyle \cos \gamma }$  è u ${\displaystyle \operatorname {sen} \gamma }$ , è apposta ch'è ${\displaystyle \gamma }$  hè acutu indicheghjani ancu rispittivamenti i lunghezzi di i cateti ${\displaystyle CH}$  è ${\displaystyle PH}$ .

 

.

Da a figura si pò ussirvà ch'è i dui trianguli rittanguli ${\displaystyle ABC}$  è ${\displaystyle HPC}$  sò simili in quantu ani dui anguli cungruenti: ${\displaystyle \gamma }$  in cumunu è l'anguli retti di vertici ${\displaystyle A}$  è ${\displaystyle H}$ . Hè pussibuli cusì à custruiscia a prupurzioni frà i lati omologhi di i dui trianguli simili (lati opposti à l'anguli cungruenti):

${\displaystyle {\frac {\overline {BC}}{\overline {PC}}}={\frac {\overline {BA}}{\overline {PH}}}={\frac {\overline {CA}}{\overline {CH}}}}$ 

Sustituiscendu i misuri di i lati s'otteni

${\displaystyle {\frac {a}{1}}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {b}{\cos \gamma }}}$ 

è cusì

${\displaystyle a={\frac {c}{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cdot \sin \gamma }$ 

${\displaystyle a={\frac {b}{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \cos \gamma }$  

da quissa dui s'utteni ancu

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {\sin \gamma }{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \tan \gamma }$ 

${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\cos \gamma }{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \cot \gamma }$  

Stu raghjunamentu pò essa chjaramenti stesu ancu à u terzu angulu ${\displaystyle \beta }$  in modu da ottena formuli analoghi

${\displaystyle a={\frac {b}{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \sin \beta }$ 

${\displaystyle a={\frac {c}{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cdot \cos \beta }$  

${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \tan \beta }$ 

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \cot \beta }$  

Calculu di l'altezza d'una torra

Si cunsidareghja u siguenti prublemu: calculà l'altezza d'una torra ${\displaystyle AB}$ , cunniscendu solu a so basa (pianu orizuntali). Si distinguini dui casi

U pedi A di a torra hè raghjunghjibuli

 

In stu casu basta à misurà u catetu ${\displaystyle AC}$  (${\displaystyle b}$ ), è da u puntu ${\displaystyle C}$  misurà l'angulu acutu ${\displaystyle ACB}$  (${\displaystyle \gamma }$ ) sottu à qualessu si vedi a summità di a torra ${\displaystyle AB}$  (${\displaystyle c}$ ). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni

${\displaystyle h_{torra}=c=b\cdot \tan \gamma }$ 

U pedi A di a torra ùn hè micca raghjunghjibuli

 

In stu casu ${\displaystyle AC}$  (${\displaystyle b_{1}=x}$ ) hè scunnisciuta (in quantu u pedi ${\displaystyle A}$  ùn hè micca raghjunghjibuli). Si faci dunqua una misura orizuntali ${\displaystyle CD}$  (${\displaystyle di}$ ) (cusì u catetu ${\displaystyle AD}$  hè ${\displaystyle b_{2}=x+di}$ ). Da u puntu ${\displaystyle C}$  si misura l'angulu acutu ${\displaystyle ACB}$  (${\displaystyle \gamma _{1}}$ ) è da ${\displaystyle D}$  si misura l'angulu acutu ${\displaystyle ADB}$  (${\displaystyle \gamma _{2}}$ ) sottu à u quali si vedi a summità di a torra ${\displaystyle AB}$  (${\displaystyle c}$ ). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni

${\displaystyle h_{torra}=c=b_{1}\cdot \tan \gamma _{1}=x\cdot \tan \gamma _{1}}$ 

${\displaystyle h_{torra}=c=b_{2}\cdot \tan \gamma _{2}=(x+di)\cdot \tan \gamma _{2}}$  

Confruntendu i dui altezzi s'otteni un'equazioni in a scunnisciuta ${\displaystyle x}$ 

${\displaystyle x\cdot \tan \gamma _{1}=(x+di)\cdot \tan \gamma _{2}}$ 

st'equazioni hè faciulamenti solubili cunnisciuti i ${\displaystyle \gamma _{1}}$  è ${\displaystyle \gamma _{2}}$ 

Truvatu ${\displaystyle x}$  s'hà ${\displaystyle b_{1}}$  è cusì si pò calculà

${\displaystyle h_{torra}=c=b_{1}\cdot \tan \gamma _{1}}$ 

Calculu di l'aria d'un triangulu qualsiasi

 

Par calculà l'aria di u triangulu ${\displaystyle ABC}$ , di basa ${\displaystyle CB=a}$ , servi l'altezza ${\displaystyle AH}$ . In u triangulu rittangulu ${\displaystyle CHA}$ , d'iputenusa ${\displaystyle AC=b}$ , l'altezza ${\displaystyle AH=h}$  pò essa vista com'è u catetu chì s'opponi à l'angulu ${\displaystyle \gamma }$ . Imprudendu in modu oppurtunu i formuli di i trianguli rittanguli s'otteni

${\displaystyle AH=h=b\cdot \sin \gamma }$ 

è cusì

${\displaystyle Aria={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot h={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }$ 

Sta formula vali ancu s'è ${\displaystyle \gamma }$  hè ottusu.

Formuli di cunvirsioni da cuurdinati pularii a cuurdinati cartisiani è viciversa

 

Fissatu annantu à un pianu un puntu urighjina ${\displaystyle O(0;0)}$  è una mezaretta ${\displaystyle Or}$ , datu un puntu ${\displaystyle P}$  di u pianu chì hè univucamenti individuatu da un paghju di numari riali ${\displaystyle (\rho ,\theta )}$  incù a cundizioni ${\displaystyle \rho >0}$  è ${\displaystyle 0\leq \theta <360^{o}}$ . A coppia di numari riali rapprisentani i cuurdinati pularii di ${\displaystyle P}$ . Giumitricamenti ${\displaystyle \rho }$  ripprisenta a distanza ${\displaystyle OP}$ , mentri ${\displaystyle \theta }$  ripprisenta l'angulu ${\displaystyle rOP}$  misuratu in sensu antiurariu incù prima latu ${\displaystyle Or}$ .

Hè pussibuli à truvà i rilazioni esistenti trà i cuurdinati cartisiani ${\displaystyle (x;y)}$  è i cuurdinati pularii ${\displaystyle (\rho ;\theta )}$  di u puntu ${\displaystyle P}$ . I siguenti cunsidarazioni fatti par un puntu ${\displaystyle P}$  nantu à u prima quadranti valini ancu par l'altri quadranti.

Imprudendu i formuli di i trianguli rittanguli si trovani i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati cartisiani

${\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cdot \cos \theta \\y=\rho \cdot \sin \theta \end{cases}}}$ 

Elevendu à u quatratu è summendu s'otteni ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}}$  è cusì si poni ritruvà i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati pularii

${\displaystyle {\begin{cases}\cos \theta ={\frac {x}{\rho }}\\\sin \theta ={\frac {y}{\rho }}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}\cos \theta ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\\sin \theta ={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\end{cases}}}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\tan \theta =y/x\end{cases}}}$ 

Ci voli à fà attinzioni ch'è a tangenti guniumetrica ùn esisti micca par ${\displaystyle x=0}$  ed hè piriodica di 180° è dunqua ci voli à valutà priventivamenti a pusizioni di ${\displaystyle P}$  par calculà di manera curretta ${\displaystyle \theta }$ 

${\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan(y/x)&{\text{s'è }}x>0\\\arctan(y/x)+\pi &{\text{s'è }}x<0\end{cases}}}$ 

I tiuremi trigunumetrichi parmettini a risuluzioni di prublemi di natura diffarenti liata à a figura d'un triangulu qualsiasi, sprimendu i rapporti trà i lati è l'anguli di quist'ultimu.

Tiurema di a corda

Data una circumfarenza è una corda ${\displaystyle AB}$ , u rapportu trà 'ssa corda è u sinu d'un qualsiasi angulu à a circumfarenza ch'è/chì insiste annantu à d'edda hè uguali à u diamitru di a circumfarenza:

${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\sin {\widehat {C}}}}=2r.}$ 

Tiurema di i sini

Cunsidaratu un triangulu qualsiasi di lati ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$  è ${\displaystyle c}$ , u rapportu trà i lati è i sini di l'anguli opposti rispittivi hè custanti è hè uguali à u diamitru di a circumfarenza circuscritta:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r.}$ 

Tiurema di u cusinu o di Carnot

  U tiurema di u cusinu (chjamatu ancu tiurema di Carnot) afferma ch'è in un qualsiasi triangulu, u quatratu d'un latu hè uguali à a diffarenza trà a somma di i quatrati di l'altri dui lati è u doppiu pruduttu di 'ssi lati par u cusinu di l'angulu cumpresu trà eddi.

${\displaystyle {\overline {BA}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}-2{\overline {AC}}\cdot {\overline {BC}}\cos \gamma }$ .

Vali à dì, indichendu incù ${\displaystyle a,b,c}$  a lunghezza di i lati è ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$  l'anguli à eddi opposti, s'otteni

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }$ 
${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta }$ 
${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }$ 

Pò essa cunsidaratu una generalisazioni di u Tiurema di Pitagora.

 

In u ghjergu matematicu risolva un triangulu significheghja calculà i misuri di i lati è di l'anguli di u triangulu. Par risolva un triangulu qualsiasi devini essa cunnisciuti trè elementi frà i quali almenu unu devi essa un latu. Si poni prisintà quattru casi:

1. sò cunnisciuti un latu è dui anguli
2. sò cunnisciuti trè lati
3. sò cunnisciuti dui lati è l'angulu cumpresu
4. sò cunnisciuti dui lati è un di i dui anguli opposti à i lati dati

A numinclatura di i lati è di l'anguli segue a cunvinzioni nantu à a figura.

Risolva un triangulu cunnisciuti un latu (a) è dui anguli ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ 

U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i siguenti cundizioni

${\displaystyle \alpha +\beta <180^{o}}$ 

in casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.

A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti

1. Calculà l'angulu mancanti ${\displaystyle \gamma =180^{o}-(\alpha +\beta )}$ 
2. Calculà u latu scunnisciutu ${\displaystyle b}$  imprudendu u tiurema di i sini: ${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}}$ 
3. Calculà u latu scunnisciutu ${\displaystyle c}$  imprudendu u tiurema di i sini: ${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$ 

Risolva un triangulu cunnisciuti i trè lati (a, b, c)

U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i disugualità triangulari. In casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.

A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti

1. calculà l'angulu ${\displaystyle \alpha }$  par via di u tiurema di u cusinu: ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$ 
2. calculà l'angulu ${\displaystyle \beta }$  par via di u tiurema di u cusinu: ${\displaystyle \cos \beta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}}$ 
3. calculà l'angulu mancanti ${\displaystyle \gamma =180^{o}-(\alpha +\beta )}$ 

Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu cumpresu ${\displaystyle (\gamma )}$ 

U prublemu hà sempri una sola suluzioni

A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti

1. calculà u latu ${\displaystyle c}$  (oppostu à l'angulu ${\displaystyle \gamma }$ ) par via di u tiurema di u cusinu: ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}$ 
2. calculà l'angulu ${\displaystyle \alpha }$  (oppostu à u latu a) par via di u tiurema di u cusinu: ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$ 
3. calculà l'angulu mancanti ${\displaystyle \beta =180^{o}-(\gamma +\alpha )}$ 

Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu ${\displaystyle \alpha }$  oppostu à u latu a

U prublemu pò avè nisciuna suluzioni, una suluzioni o dui suluzioni.

1. Si calculeghja l'angulu scunnisciutu ${\displaystyle \beta }$  incù u tiurema di i sini ${\displaystyle {\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {a}{\sin \alpha }}}$ 
2. S'è ${\displaystyle \alpha }$  hè ottusu si uttinarà un solu angulu ${\displaystyle \beta _{1}}$  acutu, altrimenti si trova ancu ${\displaystyle \beta _{2}=180^{o}-\beta _{1}}$ .
3. Si calculeghja ${\displaystyle \gamma _{1}=180^{o}-(\beta _{1}+\alpha )}$  è eventualmenti ${\displaystyle \gamma _{2}=180^{o}-(\beta _{2}+\alpha )}$ 
4. Si calculeghja ${\displaystyle c_{1}}$  è eventualmente ${\displaystyle c_{2}}$  imprudendu u tiurema di i sini ${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$ 

Com'è par u restu di i lingui rumanichi, a lingua corsa teni i noma di i funzioni trigunumetrichi da i paroli currispundenti latini. A parola tangenti hè da latinu tangens, littiralamenti "chì tocca", in rifirimentu à i prubità giumetrichi di u sigmentu imprudatu par a difinizioni grafica di sta funzioni. Analugamenti si spiega l'etimulugia di a secanti, in latinu secans, "chì taglia". I paroli cusinu, cutangenti è cusecanti diriveghjani da a cuntrazzioni di i rispittivi paroli latini cumplimenti sinus, cumplimenti tangens, cumplimenti secans, vali a dì "sinu di l'angulu cumplimintariu", "tangenti di l'angulu cumplimintaria", "secanti di l'angulu cumplimintariu".

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