用直尺和圆规作出角平分线 角平分線 是將兩條線相交所夾的角二等分的線。
角平分线的性质
角平分线上的任意一点,到角两边的距离相等。
即如图所示:
O M {\displaystyle OM} 平分 ∠ A O B , P {\displaystyle {\angle }AOB,P} 为 O M {\displaystyle OM} 上一点 , P E ⊥ O A {\displaystyle ,PE{\perp }OA} 于 E , P F ⊥ O B {\displaystyle E,PF{\perp }OB} 于 F , {\displaystyle F,}
则 P E = P F {\displaystyle PE=PF} 。
该性质的证明 利用三角形全等,可以很容易推得此结论。
下面作一下简单推导。
∵ O M {\displaystyle {\because \quad }OM} 平分 ∠ A O B , {\displaystyle {\angle }AOB,}
∴ ∠ P O E = ∠ P O F . {\displaystyle {\therefore \quad \angle }POE={\angle }POF.}
∵ P E ⊥ O A , P F ⊥ O B , {\displaystyle {\because \quad }PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB,}
∴ ∠ O E P = ∠ O F P = 90 ∘ . {\displaystyle {\therefore \quad \angle }OEP={\angle }OFP=90^{\circ }.}
在 △ O E P {\displaystyle {\triangle }OEP} 与 △ O F P {\displaystyle {\triangle }OFP} 中 , {\displaystyle ,}
{ ∠ O E P = ∠ O F P , ∠ P O E = ∠ P O F , O P = O P , {\displaystyle {\begin{cases}{\angle }OEP={\angle }OFP,\\{\angle }POE={\angle }POF,\\OP=OP,\end{cases}}}
∴ △ O E P ≅ △ O F P ( AAS ) . {\displaystyle {\therefore \quad \triangle }OEP{\;\cong \triangle }OFP({\mbox{AAS}}).}
∴ P E = P F . {\displaystyle {\therefore \quad }PE=PF.}
证毕 。
角平分线的判定
判定 与其性质相对应的,就是角平分线的判定:
若有一點至角两边距离相等,則該點在該角的角平分线上。
即:
已知 ∠ A O B , P {\displaystyle {\angle }AOB,P} 为 O M {\displaystyle OM} 上一点 , P E ⊥ O A , P F ⊥ O B . {\displaystyle ,\;PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB.}
如果 P E = P F , {\displaystyle PE=PF,} 那么 O M {\displaystyle OM} 平分 ∠ A O B . {\displaystyle {\angle }AOB.}
证明 ∵ P E ⊥ O A , P F ⊥ O B , {\displaystyle {\because \quad }PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB,}
∴ ∠ O E P = ∠ O F P = 90 ∘ . {\displaystyle {\therefore \quad \angle }OEP={\angle }OFP=90^{\circ }.}
在 R t △ O E P {\displaystyle \mathrm {Rt} {\triangle }OEP} 与 R t △ O F P {\displaystyle \mathrm {Rt} {\triangle }OFP} 中 , {\displaystyle ,}
{ O P = O P , P E = P F , {\displaystyle {\begin{cases}OP=OP,\\PE=PF,\end{cases}}}
∴ R t △ O E P ≅ R t △ O F P ( H L ) . {\displaystyle {\therefore \quad }\mathrm {Rt} {\triangle }OEP\;{\cong }\mathrm {Rt} {\triangle }OFP(\mathrm {HL} ).}
∴ ∠ P O E = ∠ P O F , {\displaystyle {\therefore \quad \angle }POE={\angle }POF,}
∴ O M {\displaystyle {\therefore \quad }OM} 平分 ∠ A O B . {\displaystyle {\angle }AOB.}
证毕。
內心
任意三角形 ABC中, ∠ A B C {\displaystyle {\angle }ABC} 、 ∠ B C A {\displaystyle {\angle }BCA} 、 ∠ C A B {\displaystyle {\angle }CAB} 角平分線交於一點I,則我們稱此點I為三角形ABC的內心 。
三角形的內心恆在圖形內部,且到三角形之三邊距離等長。
參見
This article uses material from the Wikipedia 中文 article 平分線 , which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0") ; additional terms may apply (view authors ). 除非另有声明,本网站内容采用CC BY-SA 4.0 授权。 Images, videos and audio are available under their respective licenses. ®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki 中文 (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.