Bissectrice: Demi-droite qui coupe un angle en deux angles égaux

Cette notion peut être généralisée en nommant ainsi la droite qui se superpose à la demi-droite.

La bissectrice d'un angle le partage en deux secteurs angulaires superposables. C'est une demi-droite issue du sommet du secteur angulaire.

L'axe de symétrie d'un secteur angulaire porte sa bissectrice.

Remarque : Il peut être commode de décider d'appeler bissectrice tout l'axe et pas seulement la demi-droite contenue dans le secteur angulaire.

Démonstration

 

On note [Oz) la bissectrice de l'angle ${\displaystyle {\widehat {xOy}}\,}$ . A est un point de [Oz). Soient B et C les projetés orthogonaux de A respectivement sur [Ox) et sur [Oy).

• On sait que la distance de A à [Ox) est AB ; de même la distance de A à [Oy) est AC.
• Par hypothèse, ${\displaystyle {\widehat {xOz}}={\widehat {yOz}}=\alpha \,}$ .
• Les relations trigonométriques dans les triangles rectangles OAC et OAB donnent : AB = OA sin(α) et AC = OA sin(α) donc AB = AC. CQFD

 

Réciproquement, un point équidistant des côtés de l'angle est sur la bissectrice de cet angle. on peut donc énoncer:

Corollaire : La bissectrice [Oz) d'un angle xOy est le lieu des centres des cercles tangents aux côtés [Ox) et [Oy) de cet angle.

Applications :

• Ce résultat permet de justifier la construction au compas de la bissectrice.
• Il prouve l'existence du point d'intersection des bissectrices d'un triangle, qui se rencontrent au centre du cercle inscrit.

 

Comme conséquence du théorème de la bissectrice, voici une méthode de construction à la règle et au compas de la bissectrice d'un angle (technique du ballon de football)^{[réf. nécessaire]}

1. Pointer le compas au sommet de l'angle et tracer un premier arc de cercle. Marquer les points d'intersection de cet arc avec les deux côtés de l'angle.
2. Pointer successivement le compas aux points d'intersection tracer deux arcs de cercle de même rayon (en gardant le même écartement du compas entre les deux opérations). Marquer le point d'intersection de ces deux arcs.
3. Relier le sommet de l'angle et le point d'intersection des deux derniers cercles et vous avez tracé la bissectrice de l'angle.

 

Les bissectrices d'un couple de droites sécantes sont par définition les bissectrices des quatre secteurs angulaires définis par les deux droites. Il y a donc stricto sensu quatre bissectrices pour deux droites, si on s'en tient à la première définition de bissectrice. Au cours de la preuve du théorème suivant on montre que ces quatre bissectrices sont portées par deux droites qu'on appellera bissectrices des droites sécantes.

Si dans un repère orthonormé, les équations des droites sécantes sont respectivement

${\displaystyle ax+by+c=0,\ a'x+b'y+c'=0}$ 

alors, les équations de leurs bissectrices sont :

${\displaystyle {\frac {ax+by+c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=\pm {\frac {a'x+b'y+c'}{\sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}}}$ 

Démonstration

 

Notons (zx) et (ty) les deux droites. Elles se coupent en un point O. On appelle :

• [Ou) la bissectrice de xOy ;
• [Ou') la bissectrice de zOt ;
• [Ov) la bissectrice de yOz ;
• [Ov') la bissectrice de tOx.

• Les angles xOy et zOt sont opposés par le sommet. Ils sont donc égaux. Les angles xOu = 1/2 xOy et zOu' = 1/2 zOt sont donc aussi égaux. Comme [Ox) et [Oz) sont portées par une même droite, il en va de même de [Ou) et [Ou') (on a aussi utilisé le fait que [Ou') est tracée dans le secteur zOt). Il en va de même pour les autres couples de bissectrices.
• Par hypothèse, les angles zOy et yOx sont supplémentaires : zOy + yOx = 180°. Donc uOv = uOy + yOv = 1/2 xOy + 1/2 yOz = 1/2 (xOy + yOz) = 90°. CQFD

Si u et v sont deux vecteurs unitaires dirigeant respectivement les droites D et D', alors u + v et u – v dirigent les axes de symétrie de la réunion ${\displaystyle D\cup D'}$ .

On obtient ainsi la notion de bissectrice de deux droites affines sécantes sans passer par le point de vue naïf des angles géométriques. Le produit scalaire (u + v) • (u – v) est nul comme u et v sont unitaires : les deux bissectrices sont orthogonales.

 

Le segment de bissectrice intérieur au triangle, issu d'un sommet (A par exemple) a pour longueur ${\displaystyle AJ={\frac {2bc\cos({\widehat {A}}/2)}{b+c}}}$ .

Comme ${\displaystyle {\frac {AI}{IJ}}={\frac {b+c}{a}}}$ , ${\displaystyle AI={\frac {2bc\cos({\widehat {A}}/2)}{a+b+c}}}$  .

L'angle formé par deux bissectrices intérieures ${\displaystyle {\widehat {BIC}}}$  (par exemple) est égal à ${\displaystyle {\frac {\pi +{\widehat {A}}}{2}}}$ .

L'angle formé par deux bissectrices extérieures ${\displaystyle {\widehat {BI_{A}C}}}$  (par exemple) est égal à ${\displaystyle {\frac {\pi -{\widehat {A}}}{2}}}$ .

Particularité : dans un triangle ABC, la bissectrice intérieure issue d'un sommet (C) recoupe la médiatrice du segment opposé ([AB]) en un point S sur le cercle circonscrit.

Le cercle de centre S passant par A (et B) passe aussi par le centre du cercle inscrit à ABC.

 

Une preuve par le théorème de Thalès est donnée dans la page sur les divisions harmoniques. Le calcul de deux manières des aires des triangles CAI et CBI donne une autre démonstration élémentaire.

On peut alors calculer les longueurs des segments que la bissectrice intérieure issue de C découpe sur le côté opposé : ${\displaystyle {\frac {IA}{CA}}={\frac {IB}{CB}}={\frac {IA+IB}{CA+CB}}={\frac {AB}{CA+CB}}}$ . On obtient : ${\displaystyle IA={\frac {AB\cdot CA}{CA+CB}}={\frac {bc}{a+b}}}$  et ${\displaystyle IB={\frac {AB\cdot CB}{CA+CB}}={\frac {ac}{a+b}}}$ .

Le théorème de Stewart permet alors d'obtenir la longueur du segment de bissectrice : ${\displaystyle CI^{2}={\frac {4ab(p-c)p}{(a+b)^{2}}}}$  où p est le demi-périmètre.

Applications

• On utilise extensivement la caractérisation précédente de la bissectrice dans l'étude du problème d'Apollonius : lieu des M tels que MA/MB = k.
• Avec cette caractérisation de la bissectrice, on retrouve aisément la bissectrice d'un angle MFN, où M et N sont deux points sur une ellipse (plus généralement, conique propre) de foyer F et de directrice D et la construction de la tangente en un point d'une conique.