En bisektris till en vinkel ∠ A B C är en stråle från B genom en punkt D sådan att ∠ A B D = ∠ D B C .
En bisektris delar en vinkel i två lika delar (bisektris betyder "dela i två delar"). En vinkel har endast en bisektris. Varje punkt på en vinkels bisektris har samma avstånd till vinkelns sidor. Om en stråle delar en vinkel mindre än säger man att strålen är en inre bisektris. Den yttre bisektrisen är strålen som delar en vinkels supplementvinkel i två lika delar.
För att konstruera en vinkels bisektris med passare och rätskiva dras en cirkel vars centrum är vertex[särskiljning behövs]. Cirkeln korsar vinkelns sidor i två punkter. Med dessa två punkter som centrum, rita två cirklar med samma storlek som den första. Skärningspunkterna för cirklarna bestämmer en stråle som är vinkelns bisektris. Värt att notera är att en godtycklig vinkel inte kan delas i tre lika stora delar med endast passare och rätskiva (detta bevisades först av Pierre Wantzel).
De tre bisektriserna till hörnen i en triangel skär varandra i en punkt, centrum för trianglens inskrivna cirkel. Bisektriserna till en triangel är cevianer. De tre skärningspunkterna med vinklarnas motstående sidor har de trilinjära koordinaterna respektive .
Bisektrissatsen
En bisektris delar motstående sida i samma proportioner som längderna av de sidor som bildar den delade vinkeln:
(1)
Drag linjen CD parallell med sidan AB och dra ut bisektrisen till skärningspunkten med D (se figur 1). Då är triangeln ACD likbent eftersom dess vinklar i A och D är lika och sidan AC har således samma längd som CD. Trianglarna CDE och ABE är likformiga och sambandet (1) följer.
Bisektrisens längd
Om sidlängderna i en triangel är är semiperimetern (halva omkretsen) och om är motstående hörn till sidan , då är längden av bisektrisen till vinkeln i (figur 1):
Om bisektrisen till vinkeln i triangeln har längden och delar motstående sida i två delar med längd och då är
där och är sidor motstående till hörnen och .
Om bisektriserna till vinklarna och har längderna och då är
Till tre bisektriser med givna längder finns alltid en och endast en triangel.
Referenser
Noter
This article uses material from the Wikipedia Svenska article Bisektris, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Innehållet är tillgängligt under CC BY-SA 4.0 om ingenting annat anges. Images, videos and audio are available under their respective licenses. ®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Svenska (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.