Jednakostranični Trougao

${\displaystyle AB=BC=AC=>a=b=c}$

i sva tri ugla jednaka

${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma ={\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }}$.

Presjek težišnih duži (${\displaystyle T}$), presjek visina (${\displaystyle H}$), simetrala stranica (centar opisane kružnice ${\displaystyle O}$), simetrala uglova (centar upisane kružnice ${\displaystyle O}$) sijeku se u jednoj tački.

Težišne duži su međusobno jednake.

${\displaystyle t_{a}=t_{b}=t_{c}}$

Visine su međusobno jednake.

${\displaystyle h_{a}=h_{b}=h_{c}}$

Težišne duži su podudarne visinama. Također, težišne duži su podudarne simetralama uglova i stranica.

${\displaystyle h\cong t\,}$

 

Veličine izražene preko stranice tougla

1. površina ${\displaystyle P={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}$ 
2. obim ${\displaystyle O=3a\,\!}$ 
3. poluprečnik opisane kružnice ${\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}}}$ 
4. poluprečnik upisane kružnice ${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a}$  ili ${\displaystyle r={\frac {R}{2}}}$ 
5. visina ${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$ .

Ove veličine možemo izraziti i preko visine

1. ${\displaystyle P={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}}$ 
2. ${\displaystyle R={\frac {2h}{3}}}$ 
3. ${\displaystyle r={\frac {h}{3}}}$ 

Visinu je moguće izračunati pomoću jedne od dvije formule:

${\displaystyle h={\frac {a\cdot {\sqrt[{}]{3}}}{2}}}$ ,

${\displaystyle P={\frac {h^{2}\cdot {\sqrt[{}]{3}}}{3}}}$  ⇒ ${\displaystyle h={\sqrt[{}]{\frac {3P}{\sqrt[{}]{3}}}}}$ 

kada se racionališe i skrati dobija se

${\displaystyle h={\sqrt[{}]{\frac {3P\,{\sqrt[{}]{3}}}{3}}}={\sqrt[{}]{{P}\,{\sqrt[{}]{3}}}}}$ .

Neka je dat trougao ${\displaystyle ABC}$  čije su stranice ${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle b}$ ,${\displaystyle c}$  poluobim ${\displaystyle s}$ , poluprečnik opisane kružnice ${\displaystyle R}$  i poluprečnik upisane kružnice ${\displaystyle r}$ 

Trougao je jednakostraničan ako i samo ako je bilo koja od sljedečih izjava tačna.

Stranice

• ${\displaystyle \displaystyle a=b=c}$ 
• ${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca}$ 
• ${\displaystyle \displaystyle abc=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}$ 
• ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}}$ 

Poluobim

• ${\displaystyle \displaystyle s=2R+(3{\sqrt {3}}-4)r}$ 
• ${\displaystyle \displaystyle s^{2}=3r^{2}+12Rr}$ 
• ${\displaystyle \displaystyle s=3{\sqrt {3}}r}$ 
• ${\displaystyle \displaystyle s={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R}$ 

Uglovi

• ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma ={\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }}$ .
• ${\displaystyle \displaystyle \cos {\alpha }+\cos {\beta }+\cos {\gamma }={\frac {3}{2}}}$ 
• ${\displaystyle \displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}={\frac {1}{8}}}$ 

Površina

• ${\displaystyle \displaystyle P={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}}$ 
• ${\displaystyle \displaystyle P={\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{^{\frac {2}{3}}}}$ 

Poluprečnik opisane i upisane kružnice

• ${\displaystyle \displaystyle R=2r}$ 
• ${\displaystyle \displaystyle 9R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ 
• ${\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{9}}}$ 
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}=r_{b}=r_{c}}$ 

Jednake dužine Jednake dužine imaju težišnice, visine bisektrise.

${\displaystyle t_{a}=t_{b}=t_{c}=t}$ 

${\displaystyle h_{a}=h_{b}=h_{c}=t}$ 

Značajne tačke trougla Težište, ortocentar, centar opisanog i upisanog trougla se poklapaju.

Ovo su osobine koje su jedinstvene za jednakostraničan trougao.

${\displaystyle {\frac {R}{r}}={\frac {\frac {a}{\sqrt {3}}}{{\frac {\sqrt {3}}{6}}a}}={\frac {6}{3}}=2}$ 

Odnos površine kružnice upisane u jednakostranični trougao i površine trougla je

${\displaystyle {\frac {\frac {3a^{2}\pi }{36}}{\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}={\frac {12a^{2}\pi }{36a^{2}{\sqrt {3}}}}={\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$ 

Odnos površine trougla i kvadrata njegovog obima

${\displaystyle {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{36a^{2}}}={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{36a^{2}}}={\frac {1}{12{\sqrt {3}}}}}$ 

Ako su vrhovi ${\displaystyle A_{1}}$  ${\displaystyle A_{2}}$  ${\displaystyle A_{3}}$  trougla ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}$  određeni su kompleksnim brojevima ${\displaystyle z_{1}}$ , ${\displaystyle z_{2}}$ , ${\displaystyle z_{3}}$  respektivno, tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna:

1. ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}$  je jednakostraničan trougao
2. ${\displaystyle \mid z_{1}-z_{2}\mid =\mid z_{2}-z_{3}\mid =\mid z_{3}-z_{1}\mid }$ 
3. ${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=z_{1}z_{2}+z_{2}Z_{3}+z_{3}z_{1}}$ 
4. ${\displaystyle {\frac {z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}}={\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{1}-z_{2}}}}$ 
5. ${\displaystyle {\frac {1}{z-z_{1}}}={\frac {1}{z-z_{2}}}={\frac {1}{z-z_{3}}}}$  za ${\displaystyle z={\frac {z-1+z_{2}+z_{3}}{3}}}$ 
6. ${\displaystyle (z_{1}+\epsilon z_{2}+\epsilon ^{2}z_{3})(z_{1}+\epsilon ^{2}z_{2}+\epsilon z_{3})=0}$  za ${\displaystyle \epsilon =cos{\frac {2\pi }{3}}+isin{\frac {2\pi }{3}}}$ 
7. ${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1&1\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\\z_{2}&z_{3}&z_{1}\end{vmatrix}}=0}$ 

Ako su ${\displaystyle A1(a_{1}}$ ), ${\displaystyle A_{2}(a_{2})}$  i ${\displaystyle A_{3}(a_{3})}$  vrhovi pozitivno orijentisanog trougla ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}$ , onda su sledeće tvrdnje ekvivalentne:

1. ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}$  je jednakostraničan trougao;
2. ${\displaystyle z_{3}-z_{1}=\epsilon (z_{2}-z_{1})}$ , gde je ${\displaystyle \epsilon =cos{\frac {\pi }{3}}+isin{\frac {\pi }{3}}}$ 
3. ${\displaystyle z_{2}-z_{1}=\epsilon (z_{3}-z_{1})}$ , gde je ${\displaystyle \epsilon =cos{\frac {5\pi }{3}}+isin{\frac {5\pi }{3}}}$ 
4. ${\displaystyle z_{1}+\epsilon z_{2}+\epsilon ^{2}z_{3}=0}$ 

Za bilo koju tačku P u ravni trougla čije su udaljenosti ${\displaystyle p}$ , ${\displaystyle q}$  i ${\displaystyle t}$  od vrhova ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , i ${\displaystyle C}$ , važi

${\displaystyle 3(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4})=(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2})^{2}}$ 

Za bilo koju tačku ${\displaystyle P}$  upisane kružnice jednakostraničnog trougla, sa udaljenostima ${\displaystyle p}$ , ${\displaystyle q}$  i ${\displaystyle t}$  od vrhova važi

${\displaystyle 4(p^{2}+q^{2}+t^{2})=5a^{2}}$ 

Konstrukcija

 

Povučemo pravu Na njoj konstruišemo kružnicu čiji je prečnik jednak 2a. Presječna tačka kružnice i prave je centar druge kružnice prečnika 2a.

Dobijene tačke kao presjek te dvije kružnice i njihov presjek sa pravom su vrhovi trougla

II način

Povučemo pravu i konstruišemo kružnicu prečnika 2a čiji je centar na pravoj. presjek kružnice i prave je tačka koju uzmemo za centar kružnice istog prečnika.

Presjek te dvije kružnice su tačke čija udaljenost iznosi a. Sada lako dobijamo i treću tačku.

 

Formulu za površinu

${\displaystyle P={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$  lako možemo izvesti pomoću Pitagorine teoreme itrigonometrije.

Pomoću Pitagorine teoreme

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ah.}$ 

${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}=a^{2}}$ 

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.}$ 

${\displaystyle P={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.}$ 

Pomoću trigonometrije

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}ab\sin C.}$ 

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}ab\sin 60^{\circ }.}$ 

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}ab\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}ab={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$ 

• Arheološko nalazište Lepenski Vir u Srbiji, iz doba neolita, sadrži ostatke staništa koja u svojoj osnovi imaju jednakostranični trougao.
• Davidova zvijezda, simbol jevrejskog naroda, sastoji se od dva obrnuta jednakostranična trougla. Uz ove trouglove se povezuju i izvjesna religiozna značenja.
• Mistični simbol Pitagorejaca, tetraktis, bio je oblika jednakostraničnog trougla.
• Na zastavi Filipina
• Oblik saobraćajnog znaka.

1. Equilateral Triangle
2. NEW PROOF OF EULER’S INRADIUS - CIRCUMRADIUS INEQUALITY
3. Another Proof of the Erdos-Mordell Theorem
4. Equilateral Triangles and Kiepert Perspectorsin Complex Numbers
5. Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities
6. AN ELEMENTARY PROOF OF BLUNDON’S INEQUALITY
7. Primene kompleksnih brojeva u geometriji 07.12.2011^{[mrtav link]}