Euklidska Udaljenost

U jednoj ravni je, primjera radi, definisana po Pitagorinoj teoremi

Euklidova udaljenost između tačaka p i q je dužina segmenta linije koja ih povezuje (${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$ ).

U Kartezijevim koordinatama, ako su ${\displaystyle p=(p_{1},p_{2},...,p_{n})}$  i ${\displaystyle q=(q_{1},q_{2},...,q_{n})}$  dvije tačke Euklidskog n-prostora, onda je udaljenost (d) od P do Q ili od Q do P data pomoću Pitagorine formule:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\mathrm {d} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )&={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+\cdots +(q_{n}-p_{n})^{2}}}\\[8pt]&={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(q_{i}-p_{i})^{2}}}.\end{aligned}}}$

( 1)

Položaj tačke u Euklidskom n-prostoru je vektor, tj. p i q su Euklidski vektori. Euklidova norma ili Euklidska udaljenosti su dužine vektora:

${\displaystyle \left\|\mathbf {p} \right\|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }},}$ 

Vektor se može opisati kao orjentisana duž u Euklidskom prostoru. Ako uzmemo u obzir da je njegova dužina od početka do kraja te duži, postaje jasno da je Euklidska norma vektora poseban slučaj Euklidove udaljenosti:

${\displaystyle \mathbf {q} -\mathbf {p} =(q_{1}-p_{1},q_{2}-p_{2},\cdots ,q_{n}-p_{n})}$ 

U trodimenzionalnom prostoru (n = 3) Euklidska udaljenost između p i q je

${\displaystyle \left\|\mathbf {q} -\mathbf {p} \right\|={\sqrt {(\mathbf {q} -\mathbf {p} )\cdot (\mathbf {q} -\mathbf {p} )}}.}$

( 2)

ili

${\displaystyle \left\|\mathbf {q} -\mathbf {p} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {p} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {q} \right\|^{2}-2\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} }}.}$ 

u jednodimziomalnom prostoru udaljenost između dvije tačke na realnoj pravoj je apsolutna vrijednost njihove numeričke razlike. Ako su X i Y dvije tačke prave udaljenost između nih je

${\displaystyle {\sqrt {(x-y)^{2}}}=|x-y|.}$ 

Udaljenost dvije tačke (x, y) kod jednog pravouglog trougla:

Dužina horizontalne linije je kateta: ${\displaystyle x=x_{1}-x_{2}\,.}$ 

Dužina vertikalne linije je kateta: ${\displaystyle y=y_{1}-y_{2}\,.}$ 

Prema tome udaljenost je hipotenuza: ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}\,.}$ 

Pojam udaljenosti, koji se upotrebljava u svakodnevnici, odnosi se upravo na Euklidsku udaljenost. Ako su tačke date u polarnim koordinatama onda

${\displaystyle {\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}.}$ 

U trodimenzionalnom prostoru, udaljenost je

${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.}$ 

U n - dimenzionalnom prostoru, udaljenost je

${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{i}-q_{i})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}$ ${\displaystyle }$

Kvadrat Euklidske udaljenosti je

${\displaystyle d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{i}-q_{i})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.}$