畢氏定理

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$。

呢個定理有好多方法去證明，方法可能係數學眾多定理中最多嘅。路明思（Elisha Scott Loomis）嘅 Pythagorean Proposition 一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦同餘弦函數嘅泰勒級數）嚟證明畢氏定理，但係咁做會構成循環論證，所以唔用得，因為所有嘅基本三角恆等式都係建基於畢氏定理。

利用相似三角形嘅證法

有好多畢氏定理嘅證明方式，都係基於相似三角形中兩邊長嘅比例。

設 ${\displaystyle \triangle ABC}$  為一個直角三角形，直角係 ${\displaystyle C}$  角。由 ${\displaystyle C}$  點拉一條同 ${\displaystyle AB}$  垂直嘅直線，直線同 ${\displaystyle AB}$  嘅交叉點稱為 ${\displaystyle H}$ 。呢個新三角形 ${\displaystyle \triangle ACH}$  同原本嘅三角形 ${\displaystyle \triangle ABC}$  都有一個直角同 ${\displaystyle A}$  呢個共同角，所以三個角都一樣，所以兩個三角形相似。同樣道理，${\displaystyle \triangle CBH}$  同 ${\displaystyle \triangle ABC}$  都係相似嘅。呢啲相似關係衍生出以下嘅比率關係：

因為

${\displaystyle BC=a}$ ，${\displaystyle AC=b}$ ，同 ${\displaystyle AB=c}$ ，

所以

${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {HB}{a}}\qquad }$ 同${\displaystyle \qquad {\frac {b}{c}}={\frac {AH}{b}}}$ 。

即係

${\displaystyle a^{2}=c\times HB\qquad }$ 同${\displaystyle \qquad b^{2}=c\times AH}$ 。

綜合呢兩個方程式，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=c\times HB+c\times AH\\&=c\times (HB+AH)\\&=c\times AB\\&=c^{2}{\mbox{。}}\end{aligned}}}$ 

歐幾里得嘅證法

 

喺歐幾里得嘅《幾何原本》一書中畀出畢氏定理嘅以下證明。設 ${\displaystyle \triangle ABC}$  為一個直角三角形，其中 ${\displaystyle A}$  係直角。由 ${\displaystyle A}$  點劃一直線至對邊，令佢垂直於對邊。延長條線將對邊上嘅正方形一分為二，佢嘅面積分別同其餘兩個正方形相等。

喺定理嘅證明中，需要以下四個輔助定理：

• 如果兩個三角形有兩組對應邊而呢兩組邊嘅夾角相等，兩個三角形就係全等（SAS定理）。
• 三角形面積係同底同高嘅平行四邊形面積嘅一半。
• 任意一個正方形嘅面積等於佢兩邊長嘅積。
• 任意一個矩形嘅面積等於佢兩邊長嘅積（據輔助定理3）。

證明嘅思路係：將上方嘅兩個正方形，透過等高同底嘅三角形，以佢嘅面積關係，轉換成下方兩個同等面積嘅長方形。

 

證明如下：

1. 設 ${\displaystyle \triangle ABC}$  為一個直角三角形，直角係 ${\displaystyle \angle CAB}$ 。
2. 個邊分別係 ${\displaystyle BC}$ 、${\displaystyle AB}$  同埋 ${\displaystyle CA}$ ，依次序畫成正方形 ${\displaystyle CBDE}$ 、${\displaystyle BAGF}$  同 ${\displaystyle ACIH}$ 。
3. 畫出穿過 ${\displaystyle A}$  點嘅 ${\displaystyle BD}$ 、${\displaystyle CE}$  嘅平行線。條線會分別同 ${\displaystyle BC}$  同 ${\displaystyle DE}$  喺 ${\displaystyle K}$ 、${\displaystyle L}$  直角相交。
4. 分別連接 ${\displaystyle CF}$ 、${\displaystyle AD}$ ，形成兩個三角形 ${\displaystyle \triangle BCF}$ 、${\displaystyle \triangle BDA}$ 。
5. ${\displaystyle \angle CAB}$  同 ${\displaystyle \angle BAG}$  都係直角，因此 ${\displaystyle C}$ 、${\displaystyle A}$  同 ${\displaystyle G}$  都係線性對應嘅，${\displaystyle B}$ 、${\displaystyle A}$  同 ${\displaystyle H}$  都係一樣。
6. ${\displaystyle \angle CBD}$  同 ${\displaystyle \angle FBA}$  都係直角，所以 ${\displaystyle \angle ABD}$  等於 ${\displaystyle \angle FBC}$ 。
7. 因為 ${\displaystyle AB}$  同 ${\displaystyle BD}$  分別等於 ${\displaystyle FB}$  同 ${\displaystyle BC}$ ，所以 ${\displaystyle \triangle ABD}$  一定同 ${\displaystyle \triangle FBC}$  相等。
8. 因為 ${\displaystyle A}$ 、${\displaystyle K}$  同 ${\displaystyle L}$  成同一直綫，所以四邊形 ${\displaystyle BDLK}$  面積係 ${\displaystyle \triangle ABD}$  兩倍。
9. 因為 ${\displaystyle C}$ 、${\displaystyle A}$  同 ${\displaystyle G}$  成同一直綫，所以正方形 ${\displaystyle BAGF}$  面積係 ${\displaystyle \triangle FBC}$  兩倍。
10. 因此，四邊形 ${\displaystyle BDLK}$  嘅面積必定等如 ${\displaystyle BAGF}$  ${\displaystyle =AB^{2}}$ 。
11. 同埋，四邊形 ${\displaystyle CKLE}$  嘅面積必定等如 ${\displaystyle ACIH}$  ${\displaystyle =AC^{2}}$ 。
12. 將呢兩個結果相加，${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BD\times BK+KL\times KC}$ 
13. 由於 ${\displaystyle BD=KL}$ ，${\displaystyle BD\times BK+KL\times KC=BD(BK+KC)=BD\times BC}$ 
14. 由於 ${\displaystyle CBDE}$  係正方形，因此 ${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}}$ 。

呢個證明係喺歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出嘅。

由於呢個定理嘅證明要靠平行公理，而且由呢個定理可以推出平行公理，好多人質疑平行公理係呢個定理嘅必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理嘅非歐幾里得幾何出現。

圖形重新排列證法

呢個證明咗以圖形重新排列證明。兩個大正方形嘅面積係 ${\displaystyle (a+b)^{2}}$ 。將四個相等嘅三角形移除之後，左邊剩底嘅面積就係 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ，右邊剩底嘅面積係 ${\displaystyle c^{2}}$ ，兩者相等。

畢氏定理嘅逆定理係判斷三角形做鈍角、銳角或直角嘅一個簡單嘅方法，其中 ${\displaystyle AB=c}$  係最長邊：

• 如果 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ，${\displaystyle \triangle ABC}$  係直角三角形。
• 如果 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2}}$ ，${\displaystyle \triangle ABC}$  係銳角三角形。
• 如果 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}$ ，${\displaystyle \triangle ABC}$  係鈍角三角形。