Liczby Wymierne: Ilorazy liczb całkowitych – ułamki zwykłe z całkowitymi licznikami i mianownikami

Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych zazwyczaj oznacza się symbolem ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ od niemieckiego słowa Quotient – iloraz lub stosunek. Symbolicznie:

${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}.}$

Liczby wymierne są przez to uogólnieniem liczb całkowitych ${\displaystyle (\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} )}$ umożliwiającym dzielenie przez dowolną liczbę różną od zera; na liczbach wymiernych można wykonywać wszystkie cztery podstawowe działania arytmetyczne. Jest też kilka innych podstawowych własności tego zbioru:

• porządek liczb wymiernych jest gęsty – między każdą parą liczb wymiernych istnieje inna liczba tego typu;
• liczby wymierne można zapisywać ułamkami dziesiętnymi – są one skończone lub okresowe;
• pierwiastek z liczby wymiernej nie musi być wymierny; przykładowo pierwiastek kwadratowy z dwójki jest niewymierny: ${\displaystyle {\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q} .}$

Podstawowym uogólnieniem liczb wymiernych są liczby rzeczywiste, których ułamki dziesiętne mogą być jednocześnie nieskończone i nieokresowe. Więcej informacji o liczbach wymiernych dostarcza matematyka wyższa:

• konstruuje je za pomocą liczb całkowitych;
• opisuje dalsze własności, opisane niżej;
• wprowadza inne uogólnienia, zwane rozszerzeniami ciała liczb wymiernych. Przykłady to pierwiastniki liczb wymiernych i inne liczby algebraiczne; nie muszą one należeć do liczb rzeczywistych, podobnie jak liczby p-adyczne.

Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Niech w zbiorze par liczb całkowitych ${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ,}$  których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$  wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle ad=bc.}$ 

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania

• ${\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)],}$ 
• ${\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)].}$ 

Parę ${\displaystyle (a,b)}$  zapisuje się zwykle w postaci ułamka ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}$  bądź jeśli ${\displaystyle b=1,}$  to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą ${\displaystyle a.}$ 

• W teorii mnogości mówi się, że liczby wymierne, tak jak całkowite, tworzą zbiór przeliczalny – są równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych, co oznacza się ${\displaystyle \#\mathbb {Q} =\aleph _{0}}$ ^{[potrzebny przypis]}.
• W algebrze abstrakcyjnej mówi się, że liczby wymierne, tak jak całkowite, tworzą grupę przemienną z działaniem dodawania. Przy dołączeniu mnożenia liczby wymierne – w odróżnieniu od całkowitych – tworzą ciało i definiuje się nimi ciała liczbowe.
• Porządek liczb wymiernych nie jest ciągły.
• Każdą liczbę wymierną można zapisać jako skończony ułamek łańcuchowy (ciągły ułamek arytmetyczny) i jest to cecha, która je wyróżnia wśród liczb rzeczywistych;
• Z perspektywy topologicznej liczby wymierne – jako podzbiór osi rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} }$  – są gęste w ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ 

Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,\;x$  istnieje liczba wymierna ${\displaystyle u\in \mathbb {Q} ,\;x$ 
Dowód Gdyby ${\displaystyle x,y}$  były wymierne, to oczywiście ${\displaystyle u={\tfrac {x+y}{2}}}$  spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród ${\displaystyle x,y}$  jest niewymierne.
• Jeśli ${\displaystyle x<0$  to można przyjąć ${\displaystyle u=0.}$ 
• Jeśli ${\displaystyle 0=x$  to ponieważ ${\displaystyle \mathbb {R} }$  jest ciałem archimedesowym, to wystarczy wskazać ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  takie, że ${\displaystyle n>{\tfrac {1}{y}},}$  czyli ${\displaystyle 0<{\tfrac {1}{n}}$ 
  Podobnie gdy ${\displaystyle x$  wskazujemy ${\displaystyle n>{\tfrac {1}{-x}}}$  i wówczas ${\displaystyle x<{\tfrac {1}{-n}}<0.}$ 
• Niech więc ${\displaystyle 0$  i niech np. ${\displaystyle x}$  jest niewymierne.
  Dla pewnego ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$  zachodzi ${\displaystyle q>{\tfrac {1}{y-x}},}$  stąd ${\displaystyle 1$ 
  Z drugiej strony istnieje ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$  takie, że ${\displaystyle p>qx,}$  niech ${\displaystyle p_{0}}$  będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że ${\displaystyle qx$  Rzeczywiście, gdyby ${\displaystyle p_{0}\geqslant qx+1,}$  to byłoby ${\displaystyle p_{0}-1\geqslant qx.}$  Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc ${\displaystyle p_{0}-1>qx}$  wbrew temu, że ${\displaystyle p_{0}}$  jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych ${\displaystyle p}$  o własności ${\displaystyle p>qx.}$ 
  Ostatecznie ${\displaystyle qx$  łącznie z warunkiem ${\displaystyle 1$  daje
${\displaystyle qx$ 
czyli
${\displaystyle x<{\frac {p_{0}}{q}}$ 
Jeśli ${\displaystyle y}$  jest niewymierne i ${\displaystyle x}$  wymierne, to wystarczy znaleźć ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  takie, że ${\displaystyle n>y}$  i znaleźć jak poprzednio ${\displaystyle u\in \mathbb {Q} }$  spełniające ${\displaystyle 0$  Wówczas ${\displaystyle n-u\in \mathbb {Q} }$  i ${\displaystyle x$ 
• Jeśli ${\displaystyle x$  to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie ${\displaystyle u\in \mathbb {Q} }$  spełniające ${\displaystyle 0<-y$  i wówczas ${\displaystyle x<-u$ 

•   Tomasz Miller, Liczby całkowite i wymierne | Zacznijmy od zera #1, kanał Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych na YouTube, 5 stycznia 2021 [dostęp 2023-11-26].