Ratschonale Tall

De Naam kummt vun dat Latiensch ratio in de Bedüden Proportschoon, Verhältnis.

De Koppel vun de ratschonalen Tallen warrt ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ nöömt. Dorbi is Q de eerste Bookstaav vun Quotient. Disse Koppel warrt formell so defineert:

${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{\ {p \over q}\ |\ p,q\in \mathbb {Z} ,\ q\neq 0\right\},}$

Dat heet op Platt: to de Koppel ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ höört alle Bröken to, för de gellt: p un q sünd hele Tallen un q is nich liek to de 0.

Dormit is ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ en Deelkoppel vun ${\displaystyle \mathbb {R} }$, vun de reellen Tallen. En Element vun ${\displaystyle \mathbb {R} }$, dat sik nich as so en Bröök schrieven lett, is en irratschonale Tall. En Bispill dorför is ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, de Wörtel vun 2.

Twischen twee ünnerscheedlichen ratschonalen Tallen is jümmers noch Platz för en annere ratschonale Tall. Dat is licht to bewiesen: De Mitt twischen de Tallen ${\displaystyle a \over b}$  un ${\displaystyle c \over d}$  is ${\displaystyle {\frac {{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}}{2}}={\frac {{\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}}{2}}={\frac {ad+bc}{2bd}}}$ . Wieldat b un d nich liek 0 sünd, is ok de Nömer 2bd nich 0 un dat heet, de Bröök is en ratschonale Tall, un so as dat konstrueert is, liggt de twischen ${\displaystyle a \over b}$  un ${\displaystyle c \over d}$ .

Bi de natürlichen Tallen is dat nich jümmers so, t.B. gifft dat twischen 3 und 4 keen annere natürliche Tall.

${\displaystyle \mathbb {Q} }$  sülvst is en Böverkoppel vun de helen Tallen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . Ok dat is licht to sehn. Jedeen hele Tall z lett sik ok as ${\displaystyle {\frac {z}{1}}}$  schrieven un is dormit en ratschonale Tall.