Pierwiastek kwadratowy z liczby 2 (często pierwiastek z 2) – dodatnia liczba rzeczywista, której kwadrat jest równy liczbie 2.
Jest to więc przykład liczby algebraicznej stopnia 2. Geometrycznie pierwiastek kwadratowy z 2 jest długością przekątnej kwadratu o boku długości 1, co wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa (patrz rysunek obok).
Prawdopodobnie jest to pierwsza znana liczba niewymierna (patrz dowody niewymierności); jej rozwinięcie dziesiętne z dokładnością do 65 miejsca po przecinku wynosi
Dobrym przybliżeniem pierwiastka kwadratowego z 2 jest liczba wymierna choć mianownik tego ułamka ma wartość zaledwie 70, to błąd wartości faktycznej jest mniejszy niż 1/10 000.
Gliniana tabliczka babilońska YBC 7289 (ok. 1800–1600 p.n.e.) podaje przybliżenie na czterech cyfrach sześćdziesiątkowych, co odpowiada dokładności około sześciu cyfr dziesiętnych:
Inne wczesne przybliżenie tej wartości pochodzi ze staroindyjskich tekstów matematycznych, Sulba Sutras (ok. 800–200 p.n.e.) podaje: „Zwiększ długość [boku] o jego trzecią część i ćwierć trzeciej bez trzydziestej czwartej tej ćwierci”, co daje
To staroindyjskie przybliżenie jest siódmym w kolejności zwiększania dokładności przybliżeń opartych na ciągu liczb Pella, które mogą być wyznaczone w rozwinięciu ułamka łańcuchowego z
Pitagorejczycy odkryli, że przekątna kwadratu jest niewspółmierna z jego bokiem, co dziś można by zawrzeć w stwierdzeniu, iż pierwiastek kwadratowy z 2 jest liczbą niewymierną (patrz Geometryczny dowód niewymierności). Niewiele wiadomo o czasie i okolicznościach tego odkrycia, ale często wspomniane jest imię Hippazosa z Metapontu. Obecnie uważa się, że starożytni Grecy traktowali odkrycie niewymierności pierwiastka kwadratowego z 2 jako „tajemnicę służbową”, a według legendy Hippazos miał zostać zamordowany za jej ujawnienie.
Liczba jest niewymierna, tzn. nie da się jej przedstawić w postaci ułamka zwykłego postaci gdzie są liczbami całkowitymi (ponieważ to można ograniczyć się do dodatnich, tzn. naturalnych ). Oba przedstawione dowody są rozumowaniami nie wprost.
Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że stosunek długości przeciwprostokątnej do długości dowolnej przyprostokątnej ( lub ) w równoramiennym trójkącie prostokątnym wynosi Niech będzie on wielkością wymierną, tzn. istnieją dwie całkowite i dodatnie liczby dla których przy czym są najmniejsze liczby o tej własności.
Przedłużając odcinek do odcinka o długości oraz odkładając na boku odcinek o długości otrzymuje się wraz z punktami również punkt będący punktem przecięcia odcinków oraz Ponadto można wyróżnić dwa równoramienne trójkąty prostokątne oraz podobne do o przyprostokątnych długości i przeciwprostokątnych
Ponieważ to nieujemne długości oraz są mniejsze odpowiednio od oraz i również spełniają (z konstrukcji), co przeczy założeniu minimalności liczb o tej własności. Sprzeczność ta dowodzi, iż nie może być liczbą wymierną.
Niech będzie liczbą wymierną, tzn. istnieją dwie takie liczby naturalne oraz że przy czym każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, tzn. można założyć o liczniku i mianowniku tego ułamka, że są względnie pierwsze.
Podnosząc powyższą równość obustronnie do kwadratu, otrzymuje się skąd Ponieważ jest liczbą parzystą, to i jest parzysta. Skoro kwadrat liczby jest parzysty, to liczba też jest parzysta; stąd dla pewnej liczby naturalnej Podstawienie tego wyrażenia do poprzedniego równania daje zatem tj. co oznacza, że liczba a stąd także jest parzysta.
Skoro są jednocześnie parzyste, więc nie są względnie pierwsze. Sprzeczność ta dowodzi, że liczba jest niewymierna.
Poza niewymiernością opisaną w poprzedniej sekcji pierwiastek z 2 ma szereg innych własności; przykładowo połowa wynosząca ok. 0,70710 67811 86548, która bywa wykorzystywana przede wszystkim w geometrii i trygonometrii, gdyż wersor tworzący kąt 45° z osiami układu współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie euklidesowej ma współrzędne
Liczba ta spełnia
Inną własnością pierwiastka kwadratowego z 2 jest:
gdyż Jest to związane z właściwościami srebrnego podziału.
Kolejna własność pierwiastka kwadratowego z 2 to:
Pierwiastek kwadratowy z 2 może zostać wyrażony za pomocą jednostek urojonych i, wykorzystując tylko pierwiastkowanie i operacje arytmetyczne:
Pierwiastek kwadratowy z 2 jest także jedyną liczbą rzeczywistą różną od 1, której nieskończone potęgowanie przez siebie samą jest równe jej kwadratowi.
Pierwiastek kwadratowy z 2 może zostać użyty do aproksymacji π:
dla pierwiastków kwadratowych i tylko jednego odejmowania.
Przedstawienia | |
---|---|
Dwójkowo | 1,0110101000001001111… |
Dziesiętnie | 1,4142135623730950488… |
Szesnastkowo | 1,6A09E667F3BCC908B2F… |
Ułamek łańcuchowy |
Tożsamość przy uwzględnieniu nieskończonych reprezentacji iloczynowych dla sinusa i cosinusa, prowadzi do następującej zależności
i
lub równoważnie,
Ta liczba może także być wyrażona za pomocą szeregów Taylora z funkcji trygonometrycznych. Na przykład seria dla daje
Szereg Taylora z dla i silnia podwójna daje
Zbieżność szeregu może być przyspieszona przez przekształcenie Eulera, prowadzące do postaci
Nie wiadomo czy może być przedstawiony za pomocą formuły typu BBP, aczkolwiek formuły typu BBP są znane dla i .
O doniosłości tej liczby mówi fakt, iż wśród stałych matematycznych z większą dokładnością obliczono jedynie stałą π. Istnieje wiele algorytmów przybliżania pierwiastka kwadratowego z 2. Najczęściej stosowaną metodą, używaną jako podstawowa na wielu komputerach i kalkulatorach, jest tzw. „metoda babilońska” obliczania pierwiastka kwadratowego (zwana także metodą Herona), która jest jedną z wielu metod. Algorytm jest następujący:
Zwiększenie liczby iteracji algorytmu, tj. przeprowadzenie obliczeń dla większej liczby zwiększa średnio dwukrotnie liczbę poprawnych cyfr rozwinięcia. Przyjęcie daje następujące przybliżenia
W 1997 roku zespół Yasumasy Kanady obliczył wartość pierwiastka z 2 z dokładnością do 137 438 953 444 cyfr po przecinku. W lutym 2006 roku pobito rekord przybliżania tej liczby przy użyciu komputera domowego: Shigeru Kondo obliczył 200 000 000 000 cyfr po przecinku w nieco ponad 13 dni i 14 godzin, używając PC 3,6 GHz z 16 GiB pamięci.
Rozmiary papieru formatu A, B i C normy ISO 216 zostały celowo tak zaprojektowane, żeby po podzieleniu na dwie równe części uzyskać dwa arkusze o tych samych proporcjach długości do szerokości. Jest to możliwe, tylko jeśli ten stosunek wynosi √2. W praktyce rzeczywiste wymiary są zaokrąglone do pełnych milimetrów.
Format | Długość [m] | Szerokość [m] | Powierzchnia [m²] |
---|---|---|---|
A0 | |||
A1 | |||
A2 | |||
A3 | |||
A4 |
Serie formatu B i C różnią się od serii A odpowiednio o czynnik ⁴√2 (~ 1,19) i ⁸√2 (~ 1,09).
Współczynniki skalujące stosowane w kserokopiarkach o wartościach 200%, 141%, 71%, 50% to przybliżone wartości (√2)n. Umożliwiają one zmianę formatu na większą lub mniejszą, bądź też wydruk 2n kopii/stron na arkusz.
System równomiernie temperowany jest utworzony w następujący sposób: stosunek częstotliwości między skrajnymi nutami w oktawie wynosi 2; a cała gama jest podzielona na dwanaście równych półtonów, tj. stosunek częstotliwości między kolejnymi dźwiękami jest stały i wynosi ƒ = 21/12.
do | do♯ | re | re♯ | mi | fa | fa♯ | sol | sol♯ | la | la♯ | si | do |
1 | 21/12 | 21/6 | 21/4 | 21/3 | 25/12 | √2 | 27/12 | 22/3 | 23/4 | 25/6 | 211/12 | 2 |
W tym systemie, kwarta zwiększona (do–fa♯) i kwinta zmniejszona (do-sol♭) są takie same, a odległość między dźwiękami wynosi 6 półtonów (tryton), których stosunek częstotliwości wynosi W dawnej muzyce kościelnej używanie kwinty zmniejszonej lub kwarty zwiększonej było zakazane, ponieważ interwały te wydawały się takimi dysonansami, że uznawano je za stworzone przez diabła, nazywając je z łaciny „diabolus in musica” (dosłownie „diabeł w muzyce”).
Ogólnie znana wartość napięcia elektrycznego 230 V, to wartość skuteczna napięcia przemiennego. Aby poznać wartość maksymalną tego napięcia należy wartość skuteczną pomnożyć przez
This article uses material from the Wikipedia Polski article Pierwiastek kwadratowy z 2, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Treść udostępniana na licencji CC BY-SA 4.0, jeśli nie podano inaczej. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Polski (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.