Funkcje Trygonometryczne: Stosunki boków w trójkątach prostokątnych uogólniane na inne zmienne niż kąty ostre

Funkcje te wywodzą się z geometrii, konkretniej planimetrii, ale są rozważane także w oderwaniu od niej, dla różnych argumentów rzeczywistych i zespolonych. To uogólnienie funkcji trygonometrycznych umożliwiła analiza matematyczna, w której opisano je szeregami potęgowymi. Powstały też inne definicje, oparte np. na równaniach różniczkowych, innych równaniach funkcyjnych, iloczynach nieskończonych oraz ułamkach łańcuchowych, podane w dalszych sekcjach.

sinusoida – wykres funkcji ${\displaystyle y=\sin x}$

kosinusoida – wykres funkcji ${\displaystyle y=\cos x}$

tangensoida – wykres funkcji ${\displaystyle y=\operatorname {tg} x}$

Do funkcji trygonometrycznych zalicza się przede wszystkim sinus, kosinus i tangens, a także kotangens, sekans, kosekans i kilka innych, wspominanych rzadziej. Funkcje trygonometryczne to główny przedmiot badań trygonometrii; jej dział poświęcony tym funkcjom nazywano goniometrią, przy czym termin ten ma też inne znaczenia. Badania te rozpoczęto w starożytności, a konkretniej starożytnej Grecji, po czym rozwijali ją uczeni indyjscy, islamscy i ze średniowiecznej Europy. W czasach nowożytnych podano dla tych funkcji:

• rozwinięcia w szeregi potęgowe,
• uogólnienia na argumenty zespolone,
• związki z funkcją wykładniczą takie jak wzór Eulera,
• rozwinięcia w iloczyny nieskończone.

Pierwotnie matematycy uważali wartości trygonometryczne za linie ciągłe połączone okręgami, jednak w XVIII wieku Leonhard Euler wprowadził współczesne pojęcie funkcji trygonometrycznych. Na przestrzeni stuleci podano dziesiątki tożsamości trygonometrycznych, które m.in. wiążą te funkcje ze sobą.

Funkcje trygonometryczne zalicza się do elementarnych i stosuje w różnych działach matematyki jak geometria, analiza i teoria liczb. Korzystają z nich nauki ścisłe – zarówno przyrodnicze, społeczne, jak i techniczne. Jednym z powodów jest to, że funkcjami sinus i kosinus można modelować zjawiska okresowe jak drgania mechaniczne.

Istnieje kilka definicji funkcji trygonometrycznych, bazujących zarówno na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych.

Przez trójkąt prostokątny

 

Funkcje trygonometryczne danego kąta ostrego w trójkącie prostokątnym definiuje się jako stosunek długości odpowiednich dwóch boków tego trójkąta:

funkcja	polskie oznaczenie	definicje
		przez boki – stosunek długości	przez inne funnkcje
sinus	${\displaystyle \sin }$	przyprostokątnej ${\displaystyle a}$  leżącej naprzeciw kąta ${\displaystyle \alpha }$  i przeciwprostokątnej ${\displaystyle c}$
kosinus	${\displaystyle \cos }$	przyprostokątnej ${\displaystyle b}$  przyległej do kąta ${\displaystyle \alpha }$  i przeciwprostokątnej ${\displaystyle c}$
tangens	${\displaystyle \operatorname {tg} }$	przyprostokątnej ${\displaystyle a}$  leżącej naprzeciw kąta ${\displaystyle \alpha }$  i przyprostokątnej ${\displaystyle b}$  przyległej do tego kąta
kotangens	${\displaystyle \operatorname {ctg} }$	przyprostokątnej ${\displaystyle b}$  przyległej do kąta ${\displaystyle \alpha }$  i przyprostokątnej ${\displaystyle a}$  leżącej naprzeciw tego kąta	${\displaystyle {\tfrac {1}{\operatorname {tg} }}}$
sekans	${\displaystyle \sec }$	przeciwprostokątnej ${\displaystyle c}$  i przyprostokątnej ${\displaystyle b}$  przyległej do kąta ${\displaystyle \alpha }$	odwrotność kosinusa ${\displaystyle ({\tfrac {1}{\cos }})}$
kosekans	${\displaystyle \operatorname {cosec} }$	przeciwprostokątnej ${\displaystyle c}$  i przyprostokątnej ${\displaystyle a}$  leżącej naprzeciw kąta ${\displaystyle \alpha }$	odwrotność sinusa ${\displaystyle ({\tfrac {1}{\sin }})}$

Powyższe definicje można zebrać w postaci tabelki:

	${\displaystyle {\tfrac {a}{\cdot }}}$	${\displaystyle {\tfrac {b}{\cdot }}}$	${\displaystyle {\tfrac {c}{\cdot }}}$
${\displaystyle {\tfrac {\cdot }{a}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha }$
${\displaystyle {\tfrac {\cdot }{b}}}$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \sec \alpha }$
${\displaystyle {\tfrac {\cdot }{c}}}$	${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle \cos \alpha }$	${\displaystyle 1}$

Do tej listy włączano też kilka innych funkcji; haversin upraszcza obliczanie odległości punktów na powierzchni Ziemi:

funkcja	symbol i definicja
sinus versus	${\displaystyle \operatorname {versin} \alpha =1-\cos \alpha }$
haversin (ang. half of the versine)	${\displaystyle \operatorname {haversin} \alpha ={\tfrac {1}{2}}\operatorname {versin} \alpha }$
cosinus versus	${\displaystyle \operatorname {covers} \alpha =1-\sin \alpha }$
exsecans	${\displaystyle \operatorname {exsec} \alpha =\sec \alpha -1}$

Przez okrąg jednostkowy i etymologia nazw

 

Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw. okrąg jednostkowy, to funkcje trygonometryczne miary kąta ostrego ${\displaystyle \theta }$  wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta =|AC|\\\cos \theta =|OC|\\\operatorname {tg} \theta =|AE|\\\operatorname {ctg} \theta =|AF|\\\sec \theta =|OE|\\\operatorname {cosec} \theta =|OF|\end{aligned}}}$ 

Alternatywnie, jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku ${\displaystyle DA}$  można przyjąć pole wycinka ${\displaystyle OBDA}$  – ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla funkcji hiperbolicznych, gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinka hiperboli, analogicznego do ${\displaystyle OBDA}$ .

Definicja ta była historycznie pierwsza. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym.

• Sinus, czyli połowa długości cięciwy ${\displaystyle AB,}$  był w pracach hinduskiego matematyka Aryabhaty w sanskrycie nazywany ardha-jiva („połowa cięciwy”), co zostało skrócone do jiva, a następnie transliterowane do arabskiego jiba (جب). Europejscy tłumacze, Robert z Chester i Gerardo z Cremony w XII-wiecznym Toledo pomylili jiba z jaib (جب), oznaczającym „zatokę” prawdopodobnie dlatego, że jiba (جب) i jaib (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). Sinus znaczy po łacinie właśnie zatoka.
• Tangens pochodzi od łacińskiego tangere – dotykający, styczny, gdyż odcinek ${\displaystyle AE}$  jest styczny do okręgu.
• Secans pochodzi z łacińskiego secare – dzielić, rozcinać, rozstrzygać i znaczy odcięcie. Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka ${\displaystyle OE,}$  odcinanego przez styczną (tangens).
• Cosinus, cotangens i cosecans powstały przez złożenie łacińskiego co- (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego ${\displaystyle \angle AOF.}$  Podobnie cotangens i cosecans są równe tangensowi i secansowi tego kąta. Przedrostek „ko-” był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty (koti-jya, kojya); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje.

Przez szereg Taylora

 

Definicje za pomocą szeregów Taylora określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych liczb rzeczywistych, dla których da się je zdefiniować, pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór liczb zespolonych, kwaternionów, macierzy, a nawet na algebry operatorów, przestrzenie unormowane czy pierścienie nilpotentne. Definicje te są stosowane do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.

Zachodzą równości:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\tfrac {x^{3}}{3!}}+{\tfrac {x^{5}}{5!}}-{\tfrac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\tfrac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\\\cos x&=1-{\tfrac {x^{2}}{2!}}+{\tfrac {x^{4}}{4!}}-{\tfrac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\tfrac {x^{2n}}{(2n)!}},\\\operatorname {tg} x&=x+{\tfrac {x^{3}}{3}}+{\tfrac {2x^{5}}{15}}+\ldots =\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1},\quad |x|<{\tfrac {\pi }{2}},\end{aligned}}}$ 

gdzie ${\displaystyle B_{n}}$  to liczby Bernoulliego,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ctg} x&={\tfrac {1}{x}}-{\tfrac {x}{3}}-{\tfrac {x^{3}}{45}}-{\tfrac {2x^{5}}{945}}-\ldots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi ,\\\sec x&=1+{\tfrac {x^{2}}{2}}+{\tfrac {5x^{4}}{24}}+{\tfrac {61x^{6}}{720}}+\ldots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n},\quad |x|<{\tfrac {\pi }{2}},\end{aligned}}}$ 

gdzie ${\displaystyle E_{n}}$  to liczby Eulera,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cosec} x&={\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {x}{6}}+{\tfrac {7x^{3}}{360}}+{\tfrac {31x^{5}}{15120}}+\ldots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$ 

Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym przedziale zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami. W otoczeniu zera mogą do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie, jeśli dziedzina przybliżanej funkcji nie jest zbiorem liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ 

Zobacz też: twierdzenie Stone’a-Weierstrassa.

Przez równania funkcyjne

Twierdzenie: Istnieje dokładnie jedna para funkcji rzeczywistych ${\displaystyle (s,c)}$  taka, że dla każdego ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} {:}}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}s(x)^{2}+c(x)^{2}=1\\[2pt]s(x+y)=s(x)c(y)+c(x)s(y)\\[2pt]c(x+y)=c(x)c(y)-s(x)s(y)\\[2pt]0$ 

Tymi funkcjami są:

${\displaystyle s(x)=\sin x,\quad c(x)=\cos x.}$ 

Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus można zdefiniować również jako jedyne funkcje ${\displaystyle s(x)}$  oraz ${\displaystyle c(x)}$  spełniające poniższe trzy warunki:

${\displaystyle {\begin{cases}s(x_{1}-x_{2})=s(x_{1})c(x_{2})-c(x_{1})s(x_{2})\\[2pt]c(x_{1}-x_{2})=c(x_{1})c(x_{2})+s(x_{1})s(x_{2})\\[2pt]\lim _{x\to 0}{\tfrac {s(x)}{x}}=1\end{cases}}}$ 

Przez równania różniczkowe

Sinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymi równania różniczkowego

${\displaystyle y''=-y,}$ 

które opisuje m.in. ruch masy podwieszonej na sprężynie (tzw. oscylator harmoniczny, patrz Harmoniki).

Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki:

${\displaystyle {\begin{cases}y(0)=0\\[2pt]y\,'(0)=1\end{cases}}}$ 

Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego

${\displaystyle {\begin{cases}y(0)=1\\[2pt]y\,'(0)=0\end{cases}}}$ 

Przez iloczyny nieskończone

Funkcje trygonometryczne można też wprowadzić za pomocą iloczynów nieskończonych:

${\displaystyle \sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\tfrac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),}$ 
${\displaystyle \cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\tfrac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right).}$ 

Przez ułamki łańcuchowe

Niektóre funkcje trygonometryczne można wyrazić w postaci ułamków łańcuchowych:

${\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{(2\cdot 3-x^{2})+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{(4\cdot 5-x^{2})+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{(6\cdot 7-x^{2})+\ldots }}}}}}}},}$ 
${\displaystyle \operatorname {tg} x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ldots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\ldots }}}}}}}},}$ 
${\displaystyle \operatorname {ctg} x={\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {x}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-{\cfrac {x^{2}}{9-\ldots }}}}}}}}}$ 

Przez ogólniejsze funkcje

Funkcje trygonometryczne można też zdefiniować analitycznie jako szczególne przypadki funkcji Bessela, funkcji Mathieu albo funkcji eliptycznych Jacobiego.

Przebieg zmienności funkcji

W matematyce na poziomie szkół średnich i w wielu praktycznych zastosowaniach rozpatruje się funkcje trygonometryczne dla argumentu będącego liczbą rzeczywistą. Mają one wówczas następujące własności:

Dziedzina i asymptoty

• Funkcje sinus i cosinus określone są dla każdej liczby rzeczywistej.
• Tangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,}$  gdzie ${\displaystyle k}$  jest liczbą całkowitą.
• Cotangens jest określony w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych poza liczbami postaci ${\displaystyle k\pi ,}$  gdzie ${\displaystyle k}$  jest liczbą całkowitą.
• Tangens i secans mają asymptoty pionowe w punktach postaci ${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,}$  a cotangens i cosecans w punktach postaci ${\displaystyle x=k\pi .}$  Żadna z tych funkcji nie ma asymptot innego rodzaju.

Przeciwdziedzina

• Sinus i cosinus są ograniczone: przyjmują wartości z przedziału ${\displaystyle [-1,1].}$  Tangens i cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste, a secans i cosecans wartości ze zbioru ${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty ).}$ 

Ekstrema

• Maksymalną wartość, dla obu funkcji ${\displaystyle 1,}$  sinus przyjmuje w punktach ${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2}}+2k\pi ,}$  a cosinus w punktach ${\displaystyle x=2k\pi ,}$  gdzie ${\displaystyle k}$  jest liczbą całkowitą.
• Minimalną wartość, dla obu funkcji ${\displaystyle -1,}$  sinus przyjmuje w punktach ${\displaystyle x=-{\tfrac {\pi }{2}}+2k\pi ,}$  a cosinus w punktach ${\displaystyle x=\pi +2k\pi ,}$  gdzie ${\displaystyle k}$  jest liczbą całkowitą.

Miejsca zerowe

• Miejscami zerowymi sinusa i tangensa są punkty postaci ${\displaystyle x=k\pi ,}$  gdzie ${\displaystyle k}$  jest liczbą całkowitą.
• Miejscami zerowymi cosinusa i cotangensa są punkty postaci ${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,}$  gdzie ${\displaystyle k}$  jest liczbą całkowitą.

Parzystość i nieparzystość

• Funkcje sinus, tangens, cotangens, cosecans są nieparzyste, a funkcje cosinus i secans parzyste:
  ${\displaystyle {\begin{array}{l l}\sin(-x)=-\sin x&\cos(-x)=\cos x\\\operatorname {tg} (-x)=-\operatorname {tg} x&\operatorname {ctg} (-x)=-\operatorname {ctg} x\\\sec(-x)=\sec x&\operatorname {cosec} (-x)=-\operatorname {cosec} x\end{array}}}$ 

Okresowość

• Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi. Okresem podstawowym sinusa, cosinusa, secansa i cosecansa jest liczba ${\displaystyle 2\pi ,}$  a tangensa i cotangensa ${\displaystyle \pi }$ :
  ${\displaystyle {\begin{array}{l l}\sin x=\sin(x+2k\pi )&\cos x=\cos(x+2k\pi )\\\operatorname {tg} x=\operatorname {tg} (x+k\pi )&\operatorname {ctg} x=\operatorname {ctg} (x+k\pi )\\\sec x=\sec(x+2k\pi )&\operatorname {cosec} x=\operatorname {cosec} (x+2k\pi )\end{array}}}$ 

gdzie ${\displaystyle k}$  jest liczbą całkowitą.
Ciągłość i różniczkowalność

• Funkcje sinus i cosinus są ciągłe i różniczkowalne w każdym punkcie prostej rzeczywistej. Tangens, cotangens, secans i cosecans także są ciągłe i różniczkowalne w swoich dziedzinach (zob. wyżej).

Odwracalność

• Żadna z nich nie jest różnowartościową, a zatem nie istnieją funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych w całej dziedzinie. W pewnych przedziałach funkcje te są jednak różnowartościowe i można tam określić funkcje do nich odwrotne.

Własności algebraiczne

• Funkcje trygonometryczne zalicza się do funkcji elementarnych. Nie są one jednak funkcjami algebraicznymi.
• Liczby ${\displaystyle \sin x}$  oraz ${\displaystyle \cos x}$  są liczbami algebraicznymi dla dowolnych liczb postaci ${\displaystyle x=r\pi ,}$  gdzie ${\displaystyle r}$  jest liczbą wymierną.

Wykresy

Cosinusoida jest sinusoidą przesuniętą o wektor ${\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},0\right].}$  Szare linie pionowe na dolnych wykresach to asymptoty. Wykresy można powiększyć przez kliknięcie myszką.

•  
  Sinusoida: wykres funkcji ${\displaystyle y=\sin x}$ 
•  
  Cosinusoida: wykres funkcji ${\displaystyle y=\cos x}$ 

•  
  Tangensoida: wykres funkcji ${\displaystyle y=\operatorname {tg} x}$ 
•  
  Cotangensoida: wykres funkcji ${\displaystyle y=\operatorname {ctg} x}$ 

•  
  Wykres funkcji secans ${\displaystyle y=\sec x={\frac {1}{\cos x}}}$ 
•  
  Wykres funkcji cosecans ${\displaystyle y=\operatorname {cosec} x={\frac {1}{\sin x}}}$ 

Wartości dla typowych kątów

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, 180°:

radiany	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi }$
stopnie	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 180^{\circ }}$
${\displaystyle \sin }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle \operatorname {tg} }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	nieokreślony	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} }$	nieokreślony	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 0}$	nieokreślony
${\displaystyle \sec }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	nieokreślony	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle \operatorname {cosec} }$	nieokreślony	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 1}$	nieokreślony

Wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla argumentów postaci ${\displaystyle {\tfrac {n\pi }{m}},n\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {N_{+}} }$  dają się zapisać za pomocą skończonego wzoru z użyciem podstawowych działań arytmetycznych i pierwiastka kwadratowego wtedy i tylko wtedy, gdy po skróceniu ułamka ${\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}$  liczba ${\displaystyle m}$  jest iloczynem potęgi dwójki i różnych liczb pierwszych Fermata (jak dotąd znanych jest pięć takich liczb: 3, 5, 17, 257, 65537). W szczególności nie da się zapisać w ten sposób dokładnej wartości funkcji kąta 1°, gdyż ${\displaystyle 1^{\circ }={\tfrac {\pi }{180}},}$  a ${\displaystyle 180=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5}$  ma drugą potęgę przy trójce. Warunek na ${\displaystyle m}$  jest identyczny jak warunek konstruowalności ${\displaystyle m}$ -kąta foremnego za pomocą cyrkla i linijki (por. twierdzenie Gaussa-Wantzela).

Wzory redukcyjne

Osobny artykuł: Trygonometryczne wzory redukcyjne.

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić dowolny rzeczywisty argument funkcji trygonometrycznej do argumentu z przedziału ${\displaystyle [0,{\tfrac {\pi }{2}}),}$  czyli ${\displaystyle [0^{\circ },90^{\circ })}$ :

	I ćwiartka	II ćwiartka		III ćwiartka		IV ćwiartka
${\displaystyle \phi }$	${\displaystyle 90^{\circ }-\alpha }$	${\displaystyle 90^{\circ }+\alpha }$	${\displaystyle 180^{\circ }-\alpha }$	${\displaystyle 180^{\circ }+\alpha }$	${\displaystyle 270^{\circ }-\alpha }$	${\displaystyle 270^{\circ }+\alpha }$	${\displaystyle 360^{\circ }-\alpha }$
	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-\alpha }$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+\alpha }$	${\displaystyle \pi -\alpha }$	${\displaystyle \pi +\alpha }$	${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\pi -\alpha }$	${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\pi +\alpha }$	${\displaystyle 2\pi -\alpha }$
${\displaystyle \sin \phi }$	${\displaystyle \cos \alpha }$	${\displaystyle \cos \alpha }$	${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle -\sin \alpha }$	${\displaystyle -\cos \alpha }$	${\displaystyle -\cos \alpha }$	${\displaystyle -\sin \alpha }$
${\displaystyle \cos \phi }$	${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle -\sin \alpha }$	${\displaystyle -\cos \alpha }$	${\displaystyle -\cos \alpha }$	${\displaystyle -\sin \alpha }$	${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle \cos \alpha }$
${\displaystyle \operatorname {tg} \phi }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \alpha }$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \phi }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \alpha }$
${\displaystyle \sec \phi }$	${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {cosec} \alpha }$	${\displaystyle -\sec \alpha }$	${\displaystyle -\sec \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {cosec} \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha }$	${\displaystyle \sec \alpha }$
${\displaystyle \operatorname {cosec} \phi }$	${\displaystyle \sec \alpha }$	${\displaystyle \sec \alpha }$	${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {cosec} \alpha }$	${\displaystyle -\sec \alpha }$	${\displaystyle -\sec \alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {cosec} \alpha }$

Aby zapamiętać zmianę funkcji, można wspomagać się następującą obserwacją: funkcja przechodzi w swoją kofunkcję, jeżeli rozpatrywany kąt ma postać ${\displaystyle 90^{\circ }\pm \alpha }$  bądź ${\displaystyle 270^{\circ }\pm \alpha ,}$  w przypadkach ${\displaystyle 0^{\circ }\pm \alpha =360^{\circ }\pm \alpha }$  oraz ${\displaystyle 180^{\circ }\pm \alpha }$  funkcja nie ulega zmianie. Znaki w poszczególnych ćwiartkach układu dla odpowiednich funkcji w powyższej tabelce zgodne są ze znakami redukowanych funkcji w danej ćwiartce według tabeli:

 

	I ćwiartka	II ćwiartka	III ćwiartka	IV ćwiartka
${\displaystyle \sin \alpha }$	+	+	–	–
${\displaystyle \cos \alpha }$	+	–	–	+
${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }$	+	–	+	–
${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }$	+	–	+	–
${\displaystyle \sec \alpha }$	+	–	–	+
${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha }$	+	+	–	–

Metodą mnemotechniczną zapamiętania znaków dla stosowanych najczęściej w redukcji pierwszych czterech spośród powyższych funkcji jest popularny wierszyk nieznanego autora:

W pierwszej ćwiartce są dodatnie,
w drugiej tylko sinus,
w trzeciej tangens i cotangens,
a w czwartej cosinus.

W innych wersjach pierwszy wers brzmi:

W pierwszej ćwiartce same plusy lub W pierwszej wszystkie są dodatnie.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Osobny artykuł: Tożsamości trygonometryczne.

Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:

• jedynka trygonometryczna:

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$ 

• definicja tangensa i cotangensa za pomocą sinusa i cosinusa (pozwala wyprowadzić tożsamości dla tangensa i cotangensa z tożsamości dla sinusa i cosinusa):

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tg} \alpha &={\tfrac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},\;\alpha \neq {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \\\operatorname {ctg} \alpha &={\tfrac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},\;\alpha \neq k\pi \end{aligned}},\quad k\in \mathbb {Z} .}$ 

 

• wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów:

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta }$ 
${\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta }$ 

• wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów:

${\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\tfrac {\alpha \pm \beta }{2}}\cdot \cos {\tfrac {\alpha \mp \beta }{2}}}$ 
${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\tfrac {\alpha +\beta }{2}}\cdot \cos {\tfrac {\alpha -\beta }{2}}}$ 
${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\tfrac {\alpha +\beta }{2}}\cdot \sin {\tfrac {\alpha -\beta }{2}}}$ 

• wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu:

${\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha }$ 
${\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha }$ 

• wzory na sinus i cosinus połowy argumentu:

${\displaystyle \left|\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \right|={\sqrt {\tfrac {1-cos\alpha }{2}}}}$ 
${\displaystyle \left|\cos {\tfrac {1}{2}}\alpha \right|={\sqrt {\tfrac {1+cos\alpha }{2}}}}$ 

• iloczyn w postaci sumy:

${\displaystyle \cos \alpha \cdot \cos \beta ={\tfrac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}}$ 
${\displaystyle \sin \alpha \cdot \sin \beta ={\tfrac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}}$ 
${\displaystyle \sin \alpha \cdot \cos \beta ={\tfrac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}}$ 

• wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne:

${\displaystyle \sin \alpha =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)}$ 
${\displaystyle \cos \alpha =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)}$ 
${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\tfrac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\operatorname {ctg} \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)={\tfrac {1}{\operatorname {ctg} \alpha }}}$ 
${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\tfrac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\operatorname {tg} \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)={\tfrac {1}{\operatorname {tg} \alpha }}}$ 
${\displaystyle \sec \alpha ={\tfrac {1}{\cos \alpha }}=\operatorname {cosec} \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)}$ 
${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\tfrac {1}{\sin \alpha }}=\sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)}$ 
${\displaystyle {\begin{matrix}\color {red}{\sin ^{2}\alpha }=&1-\cos ^{2}\alpha =&{\tfrac {\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}=&{\tfrac {1}{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}\\1-\sin ^{2}\alpha =&\color {red}{\cos ^{2}\alpha }=&{\tfrac {1}{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}=&{\tfrac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}\\{\tfrac {\sin ^{2}\alpha }{1-\sin ^{2}\alpha }}=&{\tfrac {1-\cos ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}=&\color {red}{\operatorname {tg} ^{2}\alpha }=&{\tfrac {1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}\\{\tfrac {1-\sin ^{2}\alpha }{\sin ^{2}\alpha }}=&{\tfrac {\cos ^{2}\alpha }{1-\cos ^{2}\alpha }}=&{\tfrac {1}{\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}=&\color {red}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }\end{matrix}}}$ 

(Zastrzeżenie formalne: Równości powyżej są prawdziwe tylko dla argumentów, dla których wszystkie użyte funkcje są określone, a w mianownikach nie występują zera)

Pochodne funkcji trygonometrycznych

Zachodzą równości:

${\displaystyle \sin 'x=\cos x=\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}+x\right)}$ 
${\displaystyle \cos 'x=-\sin x=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}+x\right)}$ 
${\displaystyle \operatorname {tg} 'x={\tfrac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x=1+\operatorname {tg} ^{2}x{\mbox{ dla }}x\neq {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} }$ 
${\displaystyle \operatorname {ctg} 'x=-{\tfrac {1}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {cosec} ^{2}x=-(1+\operatorname {ctg} ^{2}x){\mbox{ dla }}x\neq k\pi ,k\in \mathbb {Z} }$ 
${\displaystyle \sec 'x={\tfrac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\operatorname {tg} x\sec x{\mbox{ dla }}x\neq {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} }$ 
${\displaystyle \operatorname {cosec} 'x=-{\tfrac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {ctg} x\operatorname {cosec} x{\mbox{ dla }}x\neq k\pi ,k\in \mathbb {Z} }$ 

Można z nich otrzymać pochodne wyższych rzędów:

${\displaystyle \sin ^{(n)}x=\sin \left({\tfrac {n\pi }{2}}+x\right)={\begin{cases}\sin x&n=4k\\[2pt]\cos x&n=4k+1\\[2pt]-\sin x&n=4k+2\\[2pt]-\cos x&n=4k+3\end{cases}}{\mbox{ dla }}k\in \{0,1,2,\dots \},}$ 

${\displaystyle \cos ^{(n)}x=\cos \left({\tfrac {n\pi }{2}}+x\right)={\begin{cases}\cos x&n=4k\\[2pt]-\sin x&n=4k+1\\[2pt]-\cos x&n=4k+2\\[2pt]\sin x&n=4k+3\end{cases}}{\mbox{ dla }}k\in \{0,1,2,\dots \}.}$ 

Wzory na ${\displaystyle n}$ -te pochodne pozostałych funkcji trygonometrycznych również istnieją, jednak są o wiele bardziej skomplikowane.

Całki funkcji trygonometrycznych

Zobacz więcej w artykule Całkowanie przez podstawienie, w sekcji Całkowanie funkcji trygonometrycznych.

Podstawowe całki to:

${\displaystyle \int \sin x\mathrm {d} x=-\cos x+C,}$ 
${\displaystyle \int \cos x\mathrm {d} x=\sin x+C,}$ 
${\displaystyle \int \operatorname {tg} x\mathrm {d} x=-\ln |\cos x|+C,}$ 
${\displaystyle \int \operatorname {ctg} x\mathrm {d} x=\ln |\sin x|+C,}$ 
${\displaystyle \int \sec x\mathrm {d} x=\ln |\sec x+\operatorname {tg} x|+C,}$ 
${\displaystyle \int \operatorname {cosec} x\mathrm {d} x=-\ln |\operatorname {cosec} x+\operatorname {ctg} x|+C,}$ 

gdzie ${\displaystyle C\in \mathbb {R} .}$ 

Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji trygonometrycznych

Każda całka funkcji wymiernej postaci ${\displaystyle R(\sin x,\cos x)}$  jest elementarna, można ją obliczyć przez podstawienie:

${\displaystyle t=\operatorname {tg} {\tfrac {x}{2}},}$ 

wówczas:

${\displaystyle \operatorname {d} x={\tfrac {2\operatorname {d} t}{1+t^{2}}},}$ 
${\displaystyle \sin x={\tfrac {2t}{1+t^{2}}},}$ 
${\displaystyle \cos x={\tfrac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},}$ 
${\displaystyle \operatorname {tg} x={\tfrac {2t}{1-t^{2}}},}$ 
${\displaystyle \operatorname {ctg} x={\tfrac {1-t^{2}}{2t}},}$ 
${\displaystyle \sec x={\tfrac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},}$ 
${\displaystyle \operatorname {cosec} x={\tfrac {1+t^{2}}{2t}}.}$ 

Używając definicji analitycznych funkcji trygonometrycznych można te funkcje uogólnić m.in. na liczby zespolone.

Porównanie z funkcjami zmiennej rzeczywistej

Uogólnione w ten sposób funkcje trygonometryczne zachowują większość własności zmiennej rzeczywistej:

• okresowość (w tym okres podstawowy),
• tożsamości trygonometryczne,
• miejsca zerowe,
• punkty nieokreśloności:
  • sinus i cosinus są określone w całym zbiorze liczb zespolonych,
  • tangens jest określony w zbiorze liczb zespolonych, których usunięto liczby postaci ${\displaystyle {\tfrac {(2k-1)\pi }{2}},}$  a cotangens – punktów postaci ${\displaystyle k\pi ,}$  gdzie ${\displaystyle k}$  jest całkowita.

Zasadniczą różnicą jest brak ograniczoności funkcji sinus i cosinus. Przykładowo cosinus niezerowego argumentu urojonego jest zawsze liczbą rzeczywistą większą od ${\displaystyle 1,}$  w szczególności:

${\displaystyle \cos i={\tfrac {1}{2}}(e^{-1}+e)\approx 1{,}543;\qquad \sin i={\tfrac {1}{2i}}(e^{-1}-e)\approx 1{,}175i}$ 

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są (nieskończenie) wielokrotne na całej płaszczyźnie zespolonej.

Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumenty

Funkcja	Część rzeczywista	Część urojona	Moduł
${\displaystyle \sin(x\pm iy)}$	${\displaystyle \sin x\cosh y}$	${\displaystyle \pm \cos x\sinh y}$	${\displaystyle {\sqrt {\sin ^{2}x+\sinh ^{2}y}}}$
${\displaystyle \cos(x\pm iy)}$	${\displaystyle \cos x\cosh y}$	${\displaystyle \mp \sin x\sinh y}$	${\displaystyle {\sqrt {\cos ^{2}x+\sinh ^{2}y}}}$
${\displaystyle \operatorname {tg} (x\pm iy)}$	${\displaystyle {\frac {\sin 2x}{\cos 2x+\cosh 2y}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sinh 2y}{\cos 2x+\cosh 2y}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\sin ^{2}2x+\sinh ^{2}2y}{(\cos 2x+\cosh 2y)^{2}}}}}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} (x\pm iy)}$	${\displaystyle -{\frac {\sin 2x}{\cos 2x-\cosh 2y}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sinh 2y}{\cos 2x-\cosh 2y}}}$	${\displaystyle {\sqrt {-{\frac {\cos 2x+\cosh 2y}{\cos 2x-\cosh 2y}}}}}$

Argument ${\displaystyle \varphi }$  oblicza się według wzorów:

${\displaystyle \sin \varphi ={\tfrac {\operatorname {Im} \omega }{|\omega |}},}$ 
${\displaystyle \cos \varphi ={\tfrac {\operatorname {Re} \omega }{|\omega |}},}$ 

gdzie ${\displaystyle \omega }$  to wartość odpowiedniej funkcji trygonometrycznej.

Wzór Eulera

Osobny artykuł: Wzór Eulera.

W dziedzinie zespolonej zachodzi związek, zwany wzorem Eulera:

${\displaystyle e^{iz}=\cos z+i\sin z.}$