Funkcja Möbiusa: Funkcja używana w teorii liczb

• ${\displaystyle \mu (1)=1}$,
• ${\displaystyle \mu (n)=0}$, jeśli liczba ${\displaystyle n}$ jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej (jest kwadratowa),
• ${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{k}}$, jeśli liczba ${\displaystyle n}$ jest iloczynem ${\displaystyle k}$ parami różnych liczb pierwszych (jest bezkwadratowa).

Funkcja ${\displaystyle \mu }$ wykorzystywana jest często w elementarniej i analitycznej teorii liczb. Występuje w twierdzeniu Möbiusa o odwracaniu.

Wartości funkcji Möbiusa dla małych ${\displaystyle n}$  (ciąg A008683 w OEIS):

${\displaystyle n}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 9}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 11}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 13}$	${\displaystyle 14}$	${\displaystyle 15}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle 17}$	${\displaystyle 18}$	${\displaystyle 19}$	${\displaystyle 20}$
${\displaystyle \mu (n)}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$

Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Möbiusa:

${\displaystyle \mu (n)=-1}$  (A030059 w OEIS)	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31,...
${\displaystyle \mu (n)=0}$  (A013929 w OEIS)	4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32,...
${\displaystyle \mu (n)=1}$  (A030229 w OEIS)	1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35,...

Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną co oznacza, że

${\displaystyle \mu (a)\cdot \mu (b)=\mu (ab)}$ ,

jeśli ${\displaystyle a}$  i ${\displaystyle b}$  są liczbami względnie pierwszymi. Nie jest jednak funkcją całkowicie multiplikatywną.

Dla dowolnej liczby całkowitej ${\displaystyle n}$  zachodzi

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{ gdy }}n=1\\0&{\text{ gdy }}n>1,\end{cases}}}$ 

gdzie ${\textstyle \sum _{d|n}}$  oznacza sumę po wszystkich dodatnich dzielnikach liczby ${\displaystyle n}$ . Fakt ten wykorzystywany jest chociażby w konstrukcji sita Selberga.

Funkcja zeta Riemanna

Funkcja Möbiusa spełnia równości opisujące funkcję zeta Riemanna na półpłaszczyźnie zespolonej. Dla każdej liczby zespolonej ${\displaystyle s}$  o części rzeczywistej ${\displaystyle \Re (s)>1}$  zachodzi równość

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$ .

Można ją wywnioskować z iloczynu Eulera funkcji zeta,

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}}$ 

zbieżnego na tej półpłaszczyźnie.

Ponadto

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}}$ .

Szeregi

Funkcja ${\displaystyle \mu }$  występuje w następujących szeregach zbieżnych:

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0}$ , co jest równoważne z twierdzeniem o liczbach pierwszych,
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\log n}{n}}=-1}$ , gdzie ${\displaystyle \log }$  to logarytm naturalny,
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)(\log n)^{2}}{n}}=-2\gamma }$ , gdzie ${\displaystyle \gamma }$  jest stałą Eulera-Masheroniego.

Szeregiem Lamberta funkcji Möbiusa jest szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q}$ ,

który jest zbieżny dla ${\displaystyle |q|<1}$ . Dodatkowo, dla dowolnej liczby pierwszej ${\displaystyle p\geqslant 2}$  zachodzi

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (pn)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{p^{n}}}$ 

również dla ${\displaystyle |q|<1}$ .

Związek z funkcjami trygonometrycznymi

Spójrzmy na ciąg ułamków

${\displaystyle {\frac {1}{42}},\qquad {\frac {2}{42}},\qquad {\frac {3}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {39}{42}},\qquad {\frac {40}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.}$ 

Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:

${\displaystyle {\frac {1}{42}},\qquad {\frac {5}{42}},\qquad {\frac {11}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {31}{42}},\qquad {\frac {37}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.}$ 

Utwórzmy sumę:

${\displaystyle \cos \left(2\pi \cdot {\frac {1}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {5}{42}}\right)+\ldots +\cos \left(2\pi \cdot {\frac {37}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {41}{42}}\right).}$ 

Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie

${\displaystyle \sum _{1\leqslant x$ 

Osobny artykuł: Funkcja Mertensa.

W teorii liczb inną funkcją zdefiniowaną przy pomocy funkcji Möbiusa, mającą duże znaczenie jest funkcja Mertensa

${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)}$ .

Zależność ${\displaystyle M(x)=o(x)}$  jest równoważna z twierdzeniem o liczbach pierwszych, a ${\textstyle M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)}$  - z hipotezą Riemanna.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Möbius Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).