Trigonometrijska Funkcija

Pomoću trigonometrijskih funklcija moguće je odrediti nepoznatu dimenziju, ugao nagiba u matematičkim i tehničkim proračunima.

Trigonometrijske funkcije su: sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg), kotangens (ctg), sekans (sec) i kosekans (csc).

Odnosno:

${\displaystyle \sin \alpha ={{\mbox{a}} \over {\mbox{c}}}}$ 

Sinus ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne katete i hipotenuze pravouglog trougla.

${\displaystyle \csc \alpha ={{\mbox{c}} \over {\mbox{a}}}}$ 

Kosekans ugla je recipročna vrijednost od sinus ugla.

${\displaystyle \cos \alpha ={{\mbox{b}} \over {\mbox{c}}}}$ 

Kosinus ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže katete i hipotenuze pravouglog trougla.

${\displaystyle \sec \alpha ={{\mbox{c}} \over {\mbox{b}}}}$ 

Sekans ugla je recipročna vrijednost od kosinus ugla.

${\displaystyle \tan \alpha ={{\mbox{tg}}A}={{\mbox{a}} \over {\mbox{b}}}}$ 

Tangens ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne i bliže katete pravouglog trougla.

${\displaystyle \cot \alpha ={{\mbox{ctg}}A}={{\mbox{b}} \over {\mbox{a}}}}$ 

Kotangens ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže i suprotne katete pravouglog trougla. Kotangens ugla je recipročna vrijednost od tangens ugla.

Inverzne trigonometrijske funkcije su: arkussinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens (arctg), arcuskotangens (arcctg), arcussekans (arcsec) i arkuskosekans (arccsc).

Trigonometrijska kružnica je kružnica sa centrom u centrom u koordinantnom početku ${\displaystyle O(0,0)}$  , tj. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ 

Definicija 1

Trigonometrijske realne funkcije ugla ${\displaystyle \varphi }$  definišu se jednakostima

1. ${\displaystyle \cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi =1,\,}$  sinus i kosinus su realni brojevi.
2. ${\displaystyle \operatorname {tg} \phi ={\frac {\sin \phi }{\cos \phi }},\;\operatorname {ctg} \phi ={\frac {\cos \phi }{\sin \phi }},}$  tangens i kotangens
3. ${\displaystyle \sec \phi ={\frac {1}{\cos \phi }},\;\csc \phi ={\frac {1}{\sin \phi }},}$  sekans i kosenkans
4. ${\displaystyle \operatorname {vercos} \phi =1-\sin \phi ,\;\operatorname {versin} =1-\cos \phi ,}$  kosinus versus i sinus versus

Funkcije sekans, kosenkans, kosinus versus i sinus versus rijetko se susreću

Neka je trigonimetrijska kružnica predstavljena u Dekartovom pravouglom koordinantnom sistenu i tačka D na trigonometrijskoj kružnici. Krečući se po kružnici tačka D prolazi redom kroz prvi, drugi, treći i četvrti kvadrant, a zatim ponovo po istom krugu. Dakle, ugao ${\displaystyle \varphi }$  može rasti do ${\displaystyle 360^{o}}$  i dalje. Pri tome se projekcije tačke D na apscisu i ordinatu uvijek računaju kao kosinus i sinus ugla ${\displaystyle \varphi }$  . To znači da je kosinus pozitivan kada je tačka D u prvom i četvrtom kvadrantu, a da je sinus pozitivan kada je tačka D u prvom i drugom kvadrantu. To se vidi iz tabele

Lahko je preko trigonometrijske kružnice ili adicionih formula provjeriti tačnost formula za svođenje vrijednosti trigonometrijskih funkcija na funkcije uglova iz prvog kvadranta:

${\displaystyle \cos(\pi -\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(\pi -\phi )=\sin \phi ,}$ 
${\displaystyle \cos(\pi +\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(\pi +\phi )=-\sin \phi ,}$ 
${\displaystyle \cos(-\phi )=\cos \phi ,\;\sin(-\phi )=-\sin \phi .}$ 

Funkcije kosinus i sinus imaju period ${\displaystyle 2\pi }$  , a tangens ${\displaystyle \pi }$  :

${\displaystyle \cos(2\pi +\phi )=\cos \phi ,\;\sin(2\pi +\phi )=\sin \phi ,\;\operatorname {tg} (\pi +\phi )=\operatorname {tg} \phi .}$ 

Period sinusne i kosinusne funkcije nalazimo iz formule

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}}$ 

Period funkcije ${\displaystyle \sin {2\alpha }}$  je

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{2}}}$ , odnosno ${\displaystyle \pi }$ .

Funkcije uglova većih od 360 stepeni prethodnim formulama se svode na funkcije manjih uglova, a zatim dalje, ako je potrebno, na prvi kvadrant, na način vidljiv u sljedećoj tabeli

${\displaystyle \beta \,}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\alpha }$	${\displaystyle \pi +\alpha \,}$	${\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha }$	T${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }$	${\displaystyle \pi -\alpha \,}$	${\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha }$	${\displaystyle 2\,\pi -\alpha }$
${\displaystyle \sin \beta \,}$	${\displaystyle \cos \alpha \,}$	${\displaystyle -\sin \alpha \,}$	${\displaystyle -\cos \alpha \,}$	${\displaystyle \cos \alpha \,}$	${\displaystyle \sin \alpha \,}$	${\displaystyle -\cos \alpha \,}$	${\displaystyle -\sin \alpha \,}$
${\displaystyle \cos \beta \,}$	${\displaystyle -\sin \alpha \,}$	${\displaystyle -\cos \alpha \,}$	${\displaystyle \sin \alpha \,}$	${\displaystyle \sin \alpha \,}$	${\displaystyle -\cos \alpha \,}$	${\displaystyle -\sin \alpha \,}$	${\displaystyle \cos \alpha \,}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \,\beta }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\beta }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$

U opšte slučaju to se može zapisati na sljedeći način

${\displaystyle f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha )}$ 
${\displaystyle f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha )}$ 
${\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha )}$ 
${\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha )}$ 

f — proizvoljna trigonometrijska funkcija,
g — odgovarajuća joj funkcija (kosinus za sinusa, sinus za kosinus i analogno za ostale funkcije), a n — cio broj.

Za neke od uglova iz prvog kvadranta funkcije selakše izračunavaju:

Najčešće vrijednosti trigonometrijskih funkcija

${\displaystyle \phi \,}$	0°	30°	45°	60°	90°
${\displaystyle \sin \phi \,}$	0	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	1
${\displaystyle \cos \phi \,}$	1	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0
${\displaystyle \operatorname {tg} \phi }$	0	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	1	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \pm \infty }$

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova koje se nešto dužim putem izračunavaju dati su u sljedećoj tabeli:

${\displaystyle \alpha \,}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}=15^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{10}}=18^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}=22.5^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}=36^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\,\pi }{10}}=54^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\,\pi }{8}}=67.5^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {2\,\pi }{5}}=72^{\circ }}$
${\displaystyle \sin \alpha \,}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2\,{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}$
${\displaystyle \cos \alpha \,}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}+1}{2\,{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}$

Trigonometrijske funkcije se mogu predstavljati (beskonačnim) redovima.

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$ 
${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+...==\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}$ 

Ovi redovi se mogu upotrebiti i za definisanje trigonometrijskih funkcija kompleksnog broja z, i hiperboličkih funkcija. majući u vidu jednakosti

${\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},}$ 
${\displaystyle \operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}}}$ ,

${\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}$ 
${\displaystyle \operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},}$ 

u Tejlorov red se mogu razložiti sledeće funkcije:

${\displaystyle {\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}$ 
${\displaystyle {\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi$ 
${\displaystyle {\sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\cdots =1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}$ 
${\displaystyle {\csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\,(2^{2n-1}-1)B_{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-\pi$ 

Kosinus i sekans su parne funkcije, dok su preostale četiri neparne funkcije:

${\displaystyle \sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \,,}$ 
${\displaystyle \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \,,}$ 
${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \,,}$ 
${\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,,}$ 
${\displaystyle \sec \left(-\alpha \right)=\sec \alpha \,,}$ 
${\displaystyle \mathop {\mathrm {cosec} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {cosec} } \,\alpha \,.}$ 

${\displaystyle \lim _{\phi \to 0}\sin \phi =0,\;\lim _{\phi \to 0}\cos \phi =1.}$ 
${\displaystyle \lim _{x\to +0}\operatorname {ctg} x=+\infty ,\;\lim _{x\to -0}\operatorname {ctg} x=-\infty .}$  З
${\displaystyle \lim _{x\to \ 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$ 

Izvod funkcije f(x) po definiciji je granična vrijednost

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.}$ 

${\displaystyle (\sin x)'=\cos x,\,}$ 
${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x,\,}$ 
${\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\sec ^{2}x.\,}$ 
${\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=-\csc ^{2}x.\,}$ 

Dokaz
${\displaystyle \Delta \sin x=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)\sin {\frac {\Delta x}{2}},}$  pa je
${\displaystyle {\frac {\Delta \sin x}{\Delta x}}={\frac {\cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}\rightarrow \cos x,}$  kada ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$ 
Zbog ${\displaystyle \cos x=\sin({\frac {\pi }{2}}-x),}$  биће ${\displaystyle (\cos x)'=\cos({\frac {\pi }{2}}-x)\cdot ({\frac {\pi }{2}}-x)'=-\cos({\frac {\pi }{2}}-x)=-\sin x.}$ 
Izvod količnika ${\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)'=}$ 
${\displaystyle ={\frac {\sin 'x\cos x-\cos 'x\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.}$ 
Izvod količnika ${\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=\left({\frac {\cos x}{\sin x}}\right)'=}$ 
${\displaystyle ={\frac {\cos 'x\sin x-\sin 'x\cos x}{\sin ^{2}x}}={\frac {-\sin ^{2}x-\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x.}$ 

Integrali nekih trigonometrijskih funkcija prikazani su ovdje:

${\displaystyle \ \ \ \ f(x)}$	${\displaystyle \ \ \ \ f'(x)}$	${\displaystyle \int f(x)\,dx}$
${\displaystyle \,\ \sin x}$	${\displaystyle \,\ \cos x}$	${\displaystyle \,\ -\cos x+C}$
${\displaystyle \,\ \cos x}$	${\displaystyle \,\ -\sin x}$	${\displaystyle \,\ \sin x+C}$
${\displaystyle \,\ \tan x}$	${\displaystyle \,\ \sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x}$	${\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C}$
${\displaystyle \,\ \cot x}$	${\displaystyle \,\ -\csc ^{2}x=-(1+\cot ^{2}x)}$	${\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C}$
${\displaystyle \,\ \sec x}$	${\displaystyle \,\ \sec x\tan x}$	${\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C}$
${\displaystyle \,\ \csc x}$	${\displaystyle \,\ -\csc x\cot x}$	${\displaystyle \ -\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C}$

Trigonometrijske funkcije kosinus i sinus mogu se predstaviti kao rešenja diferencijalne jednačine:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}R(\varphi )=-R(\varphi ),}$ 
uslov ${\displaystyle \cos(0)=\sin '(0)=1}$ .
${\displaystyle \ \cos ''x=-\cos x,}$ 
${\displaystyle \ \sin ''x=-\sin x.}$ 

Inverzne trigonometrijske funkcije su

${\displaystyle arcsinx}$  arkus sinus

${\displaystyle arccosx}$  arkus kosinus

${\displaystyle arctgx}$  arkus tangens

${\displaystyle arcctgx}$  arkus kotangens

One su inverzne trigonometrijskim funkcijama sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa. Prefiks arkus potiče od latinske riječi arcus - luk, ugao. Nazivaju se još i ciklometrijskim funkcijama.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{za}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},&y=\arcsin x&{\mbox{ako}}&x=\sin y\,;\\\\{\mbox{za}}&0\leq y\leq \pi ,&y=\arccos x&{\mbox{ako}}&x=\cos y\,;\\\\{\mbox{za}}&-{\frac {\pi }{2}}$ 

inus versus je trigonometrijska funkcija

${\displaystyle y=\operatorname {versin} x=1-\cos x}$ 

Funkcija se naziva i versinus. Ovi nazivi se rijetko upotrebljavaju. Graf versinusa je kosinusoida translirana za jedan gore.

Svugdje je definisana.

Nule su u tackama ${\displaystyle \left(2k\pi ,0\right)}$ , a na ostalim mjestima je pozitivna, osnovni period je ${\displaystyle 2\pi }$ , minimumi su u nulama, a maksimumi ${\displaystyle ((2k+1)\pi ,2)}$ 

Funkcija sinus versus ugla alfa je

${\displaystyle {\textrm {versin}}(\alpha )=1-cos\alpha }$ .

Pojam sinusa versusa uveden je u XVII vijeku i danas se skoro uopšte ne upotrebljava. Ruski matematičar P. L. Cebisev je smatrao da će sinus versus igrati važnu ulogu u matematici.

(Latinski: sinus - ispupčenost, nadutost, versus - (prije) okrenut, sinvers - (prije) okrenuti sinus.)

${\displaystyle {\textrm {versin}}(\theta )=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,}$

${\displaystyle {\textrm {vercosin}}(\theta )=2\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1+\cos(\theta )\,}$

${\displaystyle {\textrm {coversin}}(\theta )={\textrm {versin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta )\,}$

${\displaystyle {\textrm {covercosin}}(\theta )={\textrm {vercosin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1+\sin(\theta )\,}$

${\displaystyle {\textrm {haversin}}(\theta )={\frac {{\textrm {versin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,}$

${\displaystyle {\textrm {havercosin}}(\theta )={\frac {{\textrm {vercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\,}$

${\displaystyle {\textrm {hacoversin}}(\theta )={\frac {{\textrm {coversin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\sin(\theta )}{2}}\,}$

${\displaystyle {\textrm {hacovercosin}}(\theta )={\frac {{\textrm {covercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\sin(\theta )}{2}}\,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {versin} (x)=\sin {x}}$	${\displaystyle \int \mathrm {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {vercosin} (x)=-\sin {x}}$	${\displaystyle \int \mathrm {vercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\sin {x}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {coversin} (x)=-\cos {x}}$	${\displaystyle \int \mathrm {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {covercosin} (x)=\cos {x}}$	${\displaystyle \int \mathrm {covercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\cos {x}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {haversin} (x)={\frac {\sin {x}}{2}}}$	${\displaystyle \int \mathrm {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {havercosin} (x)={\frac {-\sin {x}}{2}}}$	${\displaystyle \int \mathrm {havercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\sin {x}}{2}}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacoversin} (x)={\frac {-\cos {x}}{2}}}$	${\displaystyle \int \mathrm {hacoversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\cos {x}}{2}}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacovercosin} (x)={\frac {\cos {x}}{2}}}$	${\displaystyle \int \mathrm {hacovercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\cos {x}}{2}}+C}$

Primjena trigonometrije i trigonometrijskih funkcija u fizici je velika. Koristi se u analizi prostiranja talasa, opisivanju harmonijskih oscilacija kao periodičnog kretanja, predstavljanja naizmjenične struje itd.

• Eulerova formula
• Hiperbolička funkcija
• Spisak integrala trigonometrijskih funkcija