Тригонометријске Функције

Добиле су име по грани математике која их користи за решавање троуглова, а која се назива тригонометрија.

Када је угао, дакле аргумент ових функција реалан број, тада су то функције равнинске тригонометрије: синус и косинус, од којих се изводе све остале. Од осталих основних функција угла често су у употреби тангенс, па и котангенс, затим, мало ређе се срећу косеканс и секанс, и коначно најређе синус версус и косинус версус. Када је угао комплексан број тада функције угла могу прећи у хиперболичке функције.

Инверзне тригонометријске функције зову се циклометријске функције и аркус-функције, тј. функција^-1.

 

Основне тригонометријске функције синус, косинус и тангенс се обично дефинишу помоћу правоуглог троугла, слика десно.

${\displaystyle x=r\cdot \cos \phi ,\;y=r\cdot \sin \phi ,\;{\frac {y}{x}}=\operatorname {tg} \phi .}$ 

Позитиван математички угао има супротан смер од казаљке на сату, слично као и кретање Сунца у односу на сунчеву сенку на слици 2.

На слици (3) доле је кружница полупречника један са центром у исходишту, тј. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,}$  која се зове тригонометријска кружница.

У следећој дефиницији и теореми (1), тангенс и котангенс (б) се у англосаксонским земљама означавају tan и cot, косеканс (в) се и код нас означава cosec.

 

Дефиниција 1

Тригонометријске реалне функције угла φ дефинишу се једнакостима

(а) ${\displaystyle \cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi =1,\,}$  синус и косинус су реални бројеви;
(б) ${\displaystyle \operatorname {tg} \phi ={\frac {\sin \phi }{\cos \phi }},\;\operatorname {ctg} \phi ={\frac {\cos \phi }{\sin \phi }},}$  тангенс и котангенс;
(в) ${\displaystyle \sec \phi ={\frac {1}{\cos \phi }},\;\csc \phi ={\frac {1}{\sin \phi }},}$  секанс и косеканс.
(г) ${\displaystyle \operatorname {vercos} \phi =1-\sin \phi ,\;\operatorname {versin} =1-\cos \phi ,}$  косинус версус и синус версус.

Функције (в), а нарочито (г) ретко срећемо.

Теорема 1

(а) ${\displaystyle {\overline {OA}}=\cos \phi ,\;{\overline {OC}}=\sin \phi ,}$  косинус и синус;
(б) ${\displaystyle {\overline {BE}}=\operatorname {tg} \phi ,\;{\overline {FG}}=\operatorname {ctg} \phi ,}$  тангенс и котангенс;
(в) ${\displaystyle {\overline {OE}}=\sec \phi ,\;{\overline {OG}}=\csc \phi ,}$  секанс и косеканс.

Доказ
Тачка Т са слике 1. овде (сл.2.) је тачка D.
(а) Следи непосредно због полупречника r = 1.
(б) Уочимо сличне троуглове ${\displaystyle \Delta EBO\sim \Delta DAO,}$  одакле ${\displaystyle {\overline {BE}}:{\overline {OB}}={\overline {AD}}:{\overline {OA}},}$  тј. ${\displaystyle {\overline {BE}}:1=\sin \phi :\cos \phi ;}$  уочимо сличне троуглове ${\displaystyle \Delta GFO\sim \Delta OAD,}$  одатле ${\displaystyle {\overline {FG}}:{\overline {FO}}={\overline {OA}}:{\overline {AD}},}$  тј. ${\displaystyle {\overline {FG}}:1=\cos \phi :\sin \phi .}$ 
(в) Из истих сличних троуглова (б) добијамо ${\displaystyle {\overline {OE}}:{\overline {OB}}={\overline {OD}}:{\overline {OA}},}$  тј. ${\displaystyle {\overline {OE}}:1=1:\cos \phi ;}$  затим ${\displaystyle {\overline {OG}}:{\overline {OF}}={\overline {OD}}:{\overline {AD}},}$  тј. ${\displaystyle {\overline {OG}}:1=1:\sin \phi .}$ 

Крај доказа.

Овде ће бити анализиране особине вредности тригонометријских функција за посебне углове.

Предзнак

На претходној слици (3) представљен је Декартов правоугли систем координата и тачка D на тригонометријској кружници. Угао BOD = φ може неограничено расти док покретни крак угла (OD) пролази редом кроз први, други, трећи и четврти квадрант, а затим поново по истом кругу. Дакле, угао φ може расти до 360° и даље. При томе се пројекције тачке D на апсцису и ординату увек рачунају као косинус и синус угла φ. То значи да је косинус позитиван када је тачка D у првом и четвртом квадранту, а да је синус позитиван када је тачка D у првом и другом квадранту. Детаљно то видимо у следећој табели:

Свођење на први квадрант

Лако је преко тригонометријске кружнице или адиционих формула проверити тачност формула за свођење вредности тригонометријских функција на функције углова из првог квадранта:

${\displaystyle \cos(180^{o}-\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(180^{o}-\phi )=\sin \phi ,}$ 
${\displaystyle \cos(180^{o}+\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(180^{o}+\phi )=-\sin \phi ,}$ 
${\displaystyle \cos(-\phi )=\cos \phi ,\;\sin(-\phi )=-\sin \phi .}$ 

Функције косинус и синус су периодичне са основним периодом 360°, a функција тангенс је периодична са периодом 180°:

${\displaystyle \cos(360^{o}+\phi )=\cos \phi ,\;\sin(360^{o}+\phi )=\sin \phi ,\;\operatorname {tg} (180^{o}+\phi )=\operatorname {tg} \phi .}$ 

Период синусне и косинусне функције може се наћи из формуле: ${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}}$ 

Тако је период функције ${\displaystyle \sin {2\alpha }}$  једнак ${\displaystyle T={\frac {2\pi }{2}}}$ , односно ${\displaystyle \pi }$ .

Функције углове већих од 360 степени претходним формулама се своде на функције мањих углова, а затим даље, ако је потребно, на први квадрант, на начин видљив у следећој табели:

${\displaystyle \beta \,}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\alpha }$	${\displaystyle \pi +\alpha \,}$	${\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }$	${\displaystyle \pi -\alpha \,}$	${\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha }$	${\displaystyle 2\,\pi -\alpha }$
${\displaystyle \sin \beta \,}$	${\displaystyle \cos \alpha \,}$	${\displaystyle -\sin \alpha \,}$	${\displaystyle -\cos \alpha \,}$	${\displaystyle \cos \alpha \,}$	${\displaystyle \sin \alpha \,}$	${\displaystyle -\cos \alpha \,}$	${\displaystyle -\sin \alpha \,}$
${\displaystyle \cos \beta \,}$	${\displaystyle -\sin \alpha \,}$	${\displaystyle -\cos \alpha \,}$	${\displaystyle \sin \alpha \,}$	${\displaystyle \sin \alpha \,}$	${\displaystyle -\cos \alpha \,}$	${\displaystyle -\sin \alpha \,}$	${\displaystyle \cos \alpha \,}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \,\beta }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\beta }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$

У општем случају то се може записати овако:

${\displaystyle f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha )}$ 
${\displaystyle f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha )}$ 
${\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha )}$ 
${\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha )}$ 

Притом је f — произвољна тригонометријска функција, g — одговарајућа јој функција (косинус за синуса, синус за косинус и аналогно за остале функције), а n — цео број.

 

За неке од углова из првог квадранта се функције лакше израчунавају:

Најчешће вредности тригонометријских функција

${\displaystyle \phi \,}$	0°	30°	45°	60°	90°
${\displaystyle \sin \phi \,}$	0	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	1
${\displaystyle \cos \phi \,}$	1	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0
${\displaystyle \operatorname {tg} \phi }$	0	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	1	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \pm \infty }$

Један од начина израчунавања ових вредности је приказан у прегледу основних углова. Из табеле се види да су већ код „основних“ углова тригонометријске функције ирационални бројеви и да би слични изрази за друге углове могли бити још сложенији. Једноставнији од тих сложенијих израза био би, на пример ${\displaystyle \sin 15^{o}={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}},}$  и то је најмањи угао чији се синус може представити писањем просте алгебарске комбинације рационалних бројева и коренова. Вековима су тригонометријске вредности записиване у тригонометријске таблице, на 5 до 10 децимала, a у последње време користи се скоро искључиво рачунар или калкулатор.

Вредности тригонометријских функција неких углова које се нешто дужим путем израчунавају дати су у следећој табели:

${\displaystyle \alpha \,}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}=15^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{10}}=18^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}=22.5^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}=36^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\,\pi }{10}}=54^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\,\pi }{8}}=67.5^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {2\,\pi }{5}}=72^{\circ }}$
${\displaystyle \sin \alpha \,}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2\,{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}$
${\displaystyle \cos \alpha \,}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}+1}{2\,{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}$

Када тачка D једном обиђе кружницу пређе пут 2π односно направи 360°. Лук дужине π одговара углу 180° - испружени угао, π/2 је 90° - прави угао, π/3 је 60°, π/4 је 45°, π/6 је 30°, и уопште лук дужине x радијана одговара углу 360x/2π степени. За један радијан, х = 1, добија се угао 57,2957795... степени, тј. у степенима, минутима и секундама 57°17'44,8". Један степен има 60 минута, а једна минута има 60 секунди. Изрази минуте и секунде потичу од латинских речи: partes minutae primae и partes minutae secundae, тј. први мали делови и други мали делови. Математички текстови за јединицу угла подразумевају радијан.

Тригонометријске функције се, такође, могу представљати (бесконачним) редовима:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$ 
${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+...==\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}$ 

Ови редови се могу употребити и за дефинисање тригонометријских функција комплексног броја z, и хиперболичких функција.

Имајући у виду једнакости ${\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},}$  ${\displaystyle \operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}},}$  ${\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}$  и ${\displaystyle \operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},}$  у Тејлоров ред се могу разложити следеће функције:

${\displaystyle {\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}$ 
${\displaystyle {\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi$ 
${\displaystyle {\sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\cdots =1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}$ 
${\displaystyle {\csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\,(2^{2n-1}-1)B_{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-\pi$ 

Тригонометријске функције се могу графички представити. На следећим сликама су приказани њихови графици:

 

 

Косинус и секанс су парне функције, док су преостале четири непарне функције:

${\displaystyle \sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \,,}$ 
${\displaystyle \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \,,}$ 
${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \,,}$ 
${\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,,}$ 
${\displaystyle \sec \left(-\alpha \right)=\sec \alpha \,,}$ 
${\displaystyle \mathop {\mathrm {cosec} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {cosec} } \,\alpha \,.}$ 

 

На слици (4) лево видимо тетиву ${\displaystyle {\overline {DAH}}}$  која је сигурно краћа од лука ${\displaystyle {\widehat {DBH}}.}$  Тетива је најкраће растојање између две тачке на кружници. Зато је полутетива ${\displaystyle {\overline {DA}}}$  краћа од полулука ${\displaystyle {\widehat {DB}}.}$  Троугао OAD, са оштрим углом φ је правоугли. Прави угао је у темену А, катета ОА износи ${\displaystyle \cos \phi }$ , катета DA износи ${\displaystyle \sin \phi }$ , хипотенуза је дужине један. Када је угао у радијанима и ${\displaystyle 0<\phi <{\frac {\pi }{2}},}$  тада је

Теорема 1
${\displaystyle \lim _{\phi \to 0}\sin \phi =0,\;\lim _{\phi \to 0}\cos \phi =1.}$ 

Доказ: Следи из ${\displaystyle 0<\sin \phi <{\widehat {DB}}=\phi }$  и ${\displaystyle 0<1-\cos \phi <{\overline {AB}}<{\overline {DB}}<{\widehat {DB}}=\phi .}$  Крај.

Када угао тежи нули преко позитивних вредности, синус је тада позитиван, а негативан је када угао тежи нули преко негативних вредности. Напротив, косинус је у оба случаја позитиван. Из тога произилазе лимеси за котангенс: ${\displaystyle \lim _{x\to +0}\operatorname {ctg} x=+\infty ,\;\lim _{x\to -0}\operatorname {ctg} x=-\infty .}$  Заменом х са комплементним углом добићете одговарајуће лимесе за тангенс.

 

Теорема 2
${\displaystyle \lim _{x\to \ 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$ 

Доказ
На слици (5) десно, површина правоуглог троугла OAD мања је од површине кружног исечка OBD, а ова опет мања од површине правоуглог троугла OBE. Назовимо са х угао BOE. Отуда ${\displaystyle {\frac {\sin x\cos x}{2}}<{\frac {x}{2}}<{\frac {\operatorname {tg} x}{2}}.}$  Поделимо ли ове неједнакости са (позитивним) ${\displaystyle {\frac {\sin x}{2}},}$  добићемо ${\displaystyle \cos x<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}},}$  а отуда ${\displaystyle {\frac {1}{\cos x}}>{\frac {\sin x}{x}}>\cos x.}$  Са ${\displaystyle x\to 0}$  вреди ${\displaystyle \cos x\to 1,\;{\frac {1}{\cos x}}\to 1,}$  па је ${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\to 1.}$  Синус је парна функција па је доказ за негативне углове исти. Крај доказа.

Извод функције f(x) по дефиницији је гранична вредност: ${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.}$ 

Теорема 3
(а) ${\displaystyle (\sin x)'=\cos x,\,}$ 
(б) ${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x,\,}$ 
(в) ${\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\sec ^{2}x.\,}$ 
(г) ${\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=-\csc ^{2}x.\,}$ 

Доказ
(а) ${\displaystyle \Delta \sin x=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)\sin {\frac {\Delta x}{2}},}$  па је
${\displaystyle {\frac {\Delta \sin x}{\Delta x}}={\frac {\cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}\rightarrow \cos x,}$  када ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$  (теорема 2).
(б) Због ${\displaystyle \cos x=\sin({\frac {\pi }{2}}-x),}$  биће ${\displaystyle (\cos x)'=\cos({\frac {\pi }{2}}-x)\cdot ({\frac {\pi }{2}}-x)'=-\cos({\frac {\pi }{2}}-x)=-\sin x.}$ 
(в) Извод количника ${\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)'=}$ 
${\displaystyle ={\frac {\sin 'x\cos x-\cos 'x\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.}$ 
(г) Извод количника ${\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=\left({\frac {\cos x}{\sin x}}\right)'=}$ 
${\displaystyle ={\frac {\cos 'x\sin x-\sin 'x\cos x}{\sin ^{2}x}}={\frac {-\sin ^{2}x-\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x.}$  Крај доказа 3.

Интеграли неких тригонометријских функција приказани су овде:

${\displaystyle \ \ \ \ f(x)}$	${\displaystyle \ \ \ \ f'(x)}$	${\displaystyle \int f(x)\,dx}$
${\displaystyle \,\ \sin x}$	${\displaystyle \,\ \cos x}$	${\displaystyle \,\ -\cos x+C}$
${\displaystyle \,\ \cos x}$	${\displaystyle \,\ -\sin x}$	${\displaystyle \,\ \sin x+C}$
${\displaystyle \,\ \tan x}$	${\displaystyle \,\ \sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x}$	${\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C}$
${\displaystyle \,\ \cot x}$	${\displaystyle \,\ -\csc ^{2}x=-(1+\cot ^{2}x)}$	${\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C}$
${\displaystyle \,\ \sec x}$	${\displaystyle \,\ \sec x\tan x}$	${\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C}$
${\displaystyle \,\ \csc x}$	${\displaystyle \,\ -\csc x\cot x}$	${\displaystyle \ -\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C}$

Преглед скоро свих особина тригонометријских функција које се тичу решавања троуглова дат је у прилогу: равнинска тригонометрија.

У посебном прилогу могу се пронаћи докази за адиционе формуле, где спадају и формуле за двоструке углове, затим половине углова, те представљање збира и разлике тригонометријских функција помоћу производа и обратно, и изражавање осталих тригонометријских функција помоћу тангенса половине угла.

Такође, у посебном прилогу се налазе тригонометријске једначине.

Тригонометријске функције косинус и синус могу се представити као решења диференцијалне једначине:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}R(\varphi )=-R(\varphi ),}$ 

са почетним условом ${\displaystyle \cos(0)=\sin '(0)=1}$ .

${\displaystyle \ \cos ''x=-\cos x,}$ 
${\displaystyle \ \sin ''x=-\sin x.}$ 

Функције косинус и синус се могу одредити као непрекидна решења система функционалних једначина:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)\end{array}}\right.}$ 

Инверзне тригонометријске функције су arcsin x (аркус синус икс), arccos x (аркус косинус), arctg x (аркус тангенс), arcctg x (аркус котангенс). Оне су инверзне тригонометријским функцијама sin x (синус икс), cos x (косинус), tg x (тангенс), ctg x (котангенс). Префикс аркус потиче од латинске речи arcus - лук, угао. Називају се још и циклометријским функцијама.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{za}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},&y=\arcsin x&{\mbox{ako}}&x=\sin y\,;\\\\{\mbox{za}}&0\leq y\leq \pi ,&y=\arccos x&{\mbox{ako}}&x=\cos y\,;\\\\{\mbox{za}}&-{\frac {\pi }{2}}$ 

Примена тригонометрије и тригонометријских функција у физици је јако велика.

Тако се на пример прилично користе у анализи простирања таласа, описивању хармонијских осцилација као периодичног кретања, представљања наизменичне струје итд.

• Тригонометријске једначине
• Раванска тригонометрија
• Функција
• Списак интеграла тригонометријских функција
• Инверзне тригонометријске функције