Fungsi Trigonometri: Fungsi sudut

Fungsi ini memiliki penerapan yang sangat luas dalam bidang sains terkait dengan geometri (misalnya navigasi, geodesi, mekanika benda langit, mekanika zat padat, dan cabang lainnya). Fungsi ini merupakan contoh fungsi periodik paling sederhana, dan juga memiliki penerapan yang sangat luas dalam mempelajari fenomena periodik melalui analisis Fourier.

Fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus, dan tangen merupakan fungsi yang paling sering dipakai dalam matematika modern; sedangkan fungsi inversnya seperti kosekan, sekan, dan kotangen jarang dipakai. Masing-masing keenam fungsi tersebut mempunyai fungsi invers yang sama dan sejalan di antara fungsi hiperbolik.

Definisi fungsi trigonometri terlama, yang berkaitan dengan segitiga bersudutkan siku-siku, hanya mendefinisikannya untuk sudut lancip. Secara geometris, fungsi sinus dan kosinus seringkali dapat diperluas menjadi fungsi yang mempunyai domain yang mengandung seluruh garis bilangan real, maka domain fungsi lainnya adalah garis bilangan real dengan setiap titik terpencilnya hilang. Definisi modern yang mengekspresikan fungsi trigonometri sebagai deret takhingga atau sebagai penyelesai dari persamaan diferensial, memungkinkan perluasan domain dari fungsi sinus dan kosinus menjadi domain yang mengandung seluruh bidang kompleks, dan domain dari fungsi trigonometri lain menjadi domain mengandung bidang kompleks dengan setiap titik terpencilnya hilang.

Fungsi trigonometri biasanya menyingkatkan namanya menggunakan tiga huruf, contohnya: sinus disingkat "sin", kosinus "cos", tangen disingkat "tan", sekan disingkat "sec", kosekan disingkat "csc", dan kotangen disingkat "cot". Terlebih lagi, fungsi trigonometri juga menggunakan notasi fungsional, misalnya sin(x). Tanda kurung wajib digunakan karena dapat menimbulkan kebingungan. Sebagai contohnya seperti fungsi ${\displaystyle \sin x+y}$  dapat dipandang sebagai ${\displaystyle \sin(x)+y}$  atau juga dapat dipandang sebagai ${\displaystyle \sin(x+y)}$ .

Tidak seperti notasi fungsi lainnya, bilangan bulat positif yang muncul sebagai superskrip setelah simbol fungsi, bukan dinyatakan sebagai perpangkatan terhadap komposisi fungsi, melainkan dinyatakan sebagai perkalian teriterasi. Sebagai contoh, ${\displaystyle \sin ^{2}x}$  dan ${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$  berarti ${\displaystyle \sin(x)\sin(x)}$ , bukan ${\displaystyle \sin(\sin x)}$ .

Eksponen ${\displaystyle {-1}}$  biasanya dipakai untuk menyatakan fungsi invers, bukan invers perkalian. Sebagai contoh, ${\displaystyle \sin ^{-1}x}$  dan ${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$  menyatakan fungsi invers trigonometri, dan notasi tersebut dapat ditulis pula sebagai ${\displaystyle \arcsin x}$ . Persamaan ${\displaystyle \theta =\sin ^{-1}x}$  menyiratkan ${\displaystyle \sin \theta =x}$ , bukan ${\displaystyle \theta \cdot \sin x=1}$ . Pada kasus tersebut, superskrip dapat dipandang untuk menyatakan fungsi yang berulang, tetapi superskrip yang bernilai negatif selain ${\displaystyle {-1}}$  jarang dipakai.

 

 

Jika sudut lancip dinyatakan sebagai θ, maka setiap sudut siku-siku yang mempunyai sudut θ dikatakan sebangun terhadap satu sama lain; dalam artian, perbandingan dari setiap dua panjang sisinya hanya bergantung pada θ. Jadi, keenam perbandingan tersebut mendefinisikan enam fungsi trigonometri dari θ. Definisi berikut mengatakan bahwa hipotenusa (sisi miring) merupakan panjang dari sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku, sisi depan merupakan panjang sisi yang berhadap dari sudut θ, dan sisi samping merupakan panjang sisi yang berhadapan dengan sudut θ dan sudut siku-siku.

Dalam segitiga siku-siku, jumlah dari dua sudut lancip sama dengan sudut siku-siku, yaitu 90° atau π2 radian. Karena itu, ${\displaystyle \sin(\theta )}$  dan ${\displaystyle \cos(90^{\circ }-\theta )}$  mewakili perbandingan yang sama sehingga menjadi sama. Identitas dan kaitan antara fungsi trigonometri lainnya yang sejalan diringkas dalam tabel berikut.

 

Ringkasan mengenai kaitan antara fungsi trigonometri

Fungsi	Penjelasan	Kaitan
		dalam bentuk radian	dalam bentuk derajat
sinus	depanmiring	${\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle \sin x=\cos \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\csc x}}}$
kosinus	sampingmiring	${\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sec \theta }}\,}$	${\displaystyle \cos x=\sin \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sec x}}\,}$
tangen	depansamping	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta }}}$	${\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}=\cot \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cot x}}}$
kotangen	sampingmiring	${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}=\tan \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\tan x}}}$
sekan	miringsamping	${\displaystyle \sec \theta =\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \sec x=\csc \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cos x}}}$
kosekan	miringdepan	${\displaystyle \csc \theta =\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \csc x=\sec \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sin x}}}$

Dalam penerapan geometri, argumen fungsi trigonometri umumnya merupakan ukuran sudut. Setiap sudut biasanya diukur dan satuan konvensional berupa derajat. Sebagai contoh, sudut siku-siku ditulis 90° dan putaran penuh ditulis 360°.

Namun dalam kalkulus dan analisis matematika, fungsi trigonometri umumnya dipandang lebih abstrak sebagai fungsi real ataupun kompleks, bukan sudut. Bahkan fungsi sepeti sin dan cos dapat didefinisikan untuk semua bilangan kompleks dalam bentuk fungsi eksponensial melalui deret pangkat, atau dapat didefinisikan sebagai penyelesaian nilai awal khusus terhadap persamaan diferensial (lihat dibawah). Definisi tersebut tidak mengacu pada gagasan dalam geometri. Adapun empat fungsi lainnya seperti tan, cot, sec, dan csc dapat didefinisikan sebagia hasil-bagi dan timbal balik dari sin dan cos, kecuali ketika nol muncul di penyebut. Untuk argumen real, hal ini dapat dibuktikan bahwa definisi tersebut sesuai dengan definisi geometri elementer jika argumennya dipandang sebagai sudut yang dinyatakan dalam bentuk radian. Lebih lanjut, definisi tersebut memberikan hasil dalam bentuk yang sederhana untuk turunan dan integral taktentu dari fungsi trigonometri. Jadi dalam cabang selain geometri elementer, radian dipandang sebagai satuan alami dalam matematika untuk menjelaskan ukuran setiap sudut.

Ketika satuan yang dipakai adalah radian, maka sudut dinyatakan sebagai panjang busur dari lingkaran satuan yang berhadapan dengannya. Sebagai contoh, sudut yang berhadapan dengan busur dengan panjang 1 di lingkaran satuan adalah 1 rad (≈ 57,3°), dan putaran penuh (360°) sama dengan 2π (≈ 6,28) rad. Untuk bilangan real x, notasi sin x, cos x, dst. mengacu pada nilai dari fungsi trigonometri yang dihitung pada sudut x rad. Jika satuan yang dimaksud adalah derajat, maka tanda derajat harus diperlihatkan secara eksplisit (sebagai contoh, sin x°, cos x°, dsb.). Dengan menggunakan notasi yang standar, argumen dari x untuk fungsi trigonometri memenuhi kaitan dari rumus

${\displaystyle x=\left({\frac {180x}{\pi }}\right)^{\circ },}$ 

sehingga, sebagai contoh, sin π = sin 180° ketika x = π. Dalam cara ini, simbol derajat dapat dipandang sebagai sebuah konstanta matematika, sehingga 1° = π180 ≈ 0,0175.

 

Enam fungsi trigonometri dapat didefinisikan sebagai nilai dari titik koordinat di bidang Euklides yang berkaitan dengan sebuah lingkaran berjari-jari satu yang berpusat di titik asal O dari koordinat sistem, yaitu lingkaran satuan. Sedangkan definisi segitiga bersiku yang memungkinkan definisi fungsi trigonometri untuk sudut di antara 0 dan ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$  radian (90°), maka definisi lingkaran satuan memungkinkan bahwa domain dari fungsi trigonometri diperluas untuk semua bilangan real positif dan negatif.

Misalkan ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$  adalah sinar yang didapatkan dengan memutarnya setengah sudut positif θ dari sumbu-x (putarannya berlawanan arah jarum jam untuk ${\displaystyle \theta >0,}$  dan searah jarum jam untuk ${\displaystyle \theta <0}$ ). Sinar ini memotong lingkaran satuan di titik ${\displaystyle \mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} }).}$  Sinar ${\displaystyle {\mathcal {L}},}$  jika perlu diperpanjang garisnya, memotong garis persamaan ${\displaystyle x=1}$  di titik ${\displaystyle \mathrm {B} =(1,y_{\mathrm {B} }),}$  dan garis persamaan ${\displaystyle y=1}$  di titik ${\displaystyle \mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },1).}$  Garis yang menyinggung lingkaran satuan di titik A dikatakan tegaklurus terhadap ${\displaystyle {\mathcal {L}},}$  serta memotong sumbu-y di titik ${\displaystyle \mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })}$  dan sumbu-x di titik ${\displaystyle \mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0).}$  Koordinat dari titik tersebut yang memberikan nilai dari semua fungsi trigonometri untuk setiap nilai real sebarang θ, dapat dicari sebagai berikut.

Fungsi trigonometri cos didefinisikan sebagai nilai koordinat-x dari titik A, sedangkan fungsi trigonometri sin didefinisikan sebagai nilai koordinat-y dari titik A.

${\displaystyle \cos \theta =x_{\mathrm {A} }\quad }$  and ${\displaystyle \quad \sin \theta =y_{\mathrm {A} }.}$ 

Dengan kisaran (Inggris: range) ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$ , maka definisi ini bertepatan dengan definisi segitiga sudut siku-siku dengan mengambil segitiga siku-siku agar mempunyai jari-jari lingkaran satuan OA sebagai hipotenusa. Karena persamaan ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$  berlaku untuk semua titik ${\displaystyle \mathrm {P} =(x,y)}$  pada lingkran satuan, maka definisi kosinus dan sinus ini juga memenuhi identitas Pythagoras.

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.}$ 

Selain kedua fungsi trigonometri di atas, fungsi lainnya dapat ditemukan di sepanjang lingkaran satuan

${\displaystyle \tan \theta =y_{\mathrm {B} }\quad }$  dan ${\displaystyle \quad \cot \theta =x_{\mathrm {C} },}$ 
${\displaystyle \csc \theta \ =y_{\mathrm {D} }\quad }$  dan ${\displaystyle \quad \sec \theta =x_{\mathrm {E} }.}$ 

Dengan menerapkan identitas Pythagoras dan metode bukti geometri, maka dapat diperlihatkan bahwa definisi ini bertepatan dengan definisi fungsi tangen, kotangen, sekan dan kosekan dalam bentuk fungsi sinus dan kosinus. Dengan kata lain,

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}.}$ 

 

Karena putaran sudut dari ${\displaystyle \pm 2\pi }$  tidak mengubah posisi atau ukuran bentuk, titik-titik A, B, C, D, dan E adalah sama untuk dua sudut yang mempunyai selisihnya yang berupakan kelipatan bilangan bulat dari ${\displaystyle 2\pi }$ . Jadi, fungsi trigonometri merupakan fungsi berkala dengan periode ${\displaystyle 2\pi }$ . Artinya, persamaan

${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)\quad }$  dan ${\displaystyle \quad \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)}$ 

berlaku untuk setiap sudut θ dan setiap bilangan bulat k. Hal ini berlaku benar untuk keempat fungsi trigonometri lainnya. Dengan mengamati tanda dan kemonotonan dari fungsi sinus, kosekan, kotangen, dan sekan dalam yang ada di dalam keempat kuadran, maka untuk fungsi-fungsi yang dikatakan periodik dapat diperlihatkan bahwa ${\displaystyle 2\pi }$  merupakan nilai yang paling terkecil (dengan kata lain, ${\displaystyle 2\pi }$  merupakan periode dasar dari fungsi tersebut). Namun, saat putaran sudut ${\displaystyle \pi }$ , titik B dan C telah kembali ke posisi awal sehingga fungsi tangen dan fungsi kotangen mempunyai periode dasar dari ${\displaystyle \pi }$ . Dengan kata lain, persamaan

${\displaystyle \tan \theta =\tan(\theta +k\pi )\quad }$  dan ${\displaystyle \quad \cot \theta =\cot(\theta +k\pi )}$ 

berlaku untuk setiap sudut θ dan setiap bilangan bulat k.

 

Bentuk aljabar yang berupakan sudut yang sangat penting dinyatakan sebagai berikut:

${\displaystyle \sin 0=\sin 0^{\circ }\quad ={\frac {\sqrt {0}}{2}}=0}$  (sudut nol)
${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}}$ 
${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ 
${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ 
${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }={\frac {\sqrt {4}}{2}}=1}$  (sudut siku-siku)

Dengan menulis pembilang sebagai akar kuadrat dari bilangan bulat taknegatif berurutan serta penyebutnya adalah 2, maka cara ini dengan mudah mengingat nilai-nilai fungsi trigonometri.

Namun, bentuk aljabar yang sederhana biasanya tidak ada untuk sudut lainnya yang merupakan kelipatan rasional sudut siku-siku.

• Untuk sudut yang diukur dalam satuan derajat merupakan kelipatan dari tiga, nilai trigonometri eksak dari fungsi sinus dan kosinus dapat dinyatakan dalam bentuk akar kuadrat. Jadi, nilai tersebut dapat dikonstruksi dengan menggunakan penggaris dan jangka.
• Untuk sudut berupa bilangan bulat dalam satuan derajat, nilai dari fungsi sinus dan kosinus dapat dinyatakan dalam bentuk akar kuadrat dan akar kubik dari bilangan kompleks takreal. Teori Galois membuktikan bahwa jika sudut bukan kelipatan dari 3°, maka akar kubik dari bilangan takreal tidak dapat dihindari.
• Untuk sudut yang dinyatakan dalam satuan derajat adalah bilangan rasional, nilai fungsi sinus dan kosinus merupakan bilangan aljabar yang dapat dinyatakan dalam bentuk akar ke-n. Hasil ini berasal dari suatu pernyataan yang mengatakan bahwa grup Galois dari polinomial siklotomik dikatakan siklik.
• Untuk sudut yang dinyatakan dalam satuan derajat bukanlah bilangan rasional, maka nilai sudut dari fungsi sinus maupun kosinus merupakan bilangan transendental. Pernyataan ini merupakan korolari dari teorema Baker yang dibuktikan pada tahun 1966.

Nilai aljabar sederhana

Berikut ada sebuah tabel yang memuat kumpulan-kumpulan nilai fungsi sinus, kosinus, dan tangen yang merupakan kelipatan dari 15 derajat, dimulai dari 0 derajat sampai dengan 90 derajat.

θ dalam satuan radian	θ dalam satuan derajat	${\displaystyle \sin(\theta )}$	${\displaystyle \cos(\theta )}$	${\displaystyle \tan(\theta )}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	takterdefinisikan

 

 

 

 

Fungsi trigonometri dikatakan terdiferensialkan dan analitik di setiap titik yang didefinisikannya. Artinya, titik-titik tersebut ada dimana-mana untuk fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus. Titik-titik tersebut ada dimana-mana di fungsi tangen, kecuali di π/2 + kπ untuk setiap bilangan bulat k.

Fungsi trignometri merupakan fungsi berkala, dan periode primitifnya bernilai 2π untuk fungsi sinus dan kosinus, dan π untuk fungsi tangen, yang naik di masing-masing selang terbuka (π/2 + kπ, π/2 + (k + 1)π). Pada masing-masing titik akhir selang tersebut, fungsi tangen mempunyai asimtot yang mengarah vertikal.

Dalam kalkulus, fungsi trigonometri dapat didefinisikan dengan menggunakan deret kuasa ataupun persamaan diferensial. Namun, menggunakan persamaan diferensial terasa lebih alami saat mendefinisikan fungsi trigonometri, karena, sebagai contoh, pemilihan koefisien dari deret kuasa dapat muncul sebagai bilangan yang cukup sebarang, dan persamaan diferensial juga cukup mudah menyimpulkan identitas Pythagoras.

Definisi dengan menggunakan persamaan diferensial

Fungsi sinus dan kosinus dapat didefinisikan sebagai penyelesaian tunggal untuk masalah nilai awal:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x,\ {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x,\ \sin(0)=0,\ \cos(0)=1.}$ 

Dengan menurunkannya lagi, maka diperoleh ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x={\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}$  dan ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cos x=-{\frac {d}{dx}}\sin x=-\cos x}$ . Jadi, fungsi sinus dan kosinus merupakan penyelesaian untuk persamaan diferensial biasa

${\displaystyle y''+y=0.}$ 

Fungsi tangen ${\displaystyle \tan x=\sin x/\cos x}$  dapat diturunkan dengan menerapkan aturan hasil bagi dari, maka

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x.}$ 

Perluasan deret pangkat

Dengan menerapkan persamaan diferensial untuk deret pangkat dengan koefisien yang belum ditentukan, maka fungsi sinus dan kosinus dapat disimpulkan sebagai relasi rekurensi mengenai koefisien deret Taylor dari kedua fungsi tersebut. Relasi rekurensinya dapat diselesaikan dengan mudah serta memberikan perluasan deret

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}}$ 

Ruji kekonvergenan dari deret tersebut adalah takhingga. Jadi, fungsi sinus dan kosinus dapat diperluas menjadi fungsi menyeluruh, atau fungsi ini disebut "sinus" dan "kosinus"), karena (berdasarkan definisi) fungsi tersebut merupakan fungsi bernilai kompleks yang terdefinisi dan holomorfik di seluruh bidang kompleks.

Ketika kedua fungsi tersebut didefinisikan sebagai pecahan dari fungsi menyeluruh, fungsi trigonometri lainnya dapat diperluas menjadi fungsi meromorfik. Hal ini mengartikan bahwa fungsi adalah holomorfik di seluruh bidang kompleks, kecuali ada setiap titik terpencil yang disebut kutub. Disini, kutubnya merupakan bilangan-bilangan dari bentuk ${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$  untuk fungsi tangen dan fungsi sekan, atau ${\displaystyle k\pi }$  untuk fungsi kotangen dan fungsi kosekan, dengan k adalah bilangan bulat sebarang.

Relasi rekurensi juga dapat dihitung untuk koefisien deret Taylor dari fungsi trigonometri lain. Deret-deret ini mempunyai ruji kekonvergenan terhingga. Koefisiennya mempunyai pandangan kombinatorial, yang mengatakan bahwa koefisiennya menghitung permutasi selang-seling dari himpunan hingga. Lebih tepatnya, dengan mendefinisikan U_n adalah bilangan atas/bawah ke-n, B_n adalah bilangan Bernoulli ke-n, dan E_n adalah bilangan Euler ke-n, maka ada empat perluasan deret berikut didapatkan.

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{untuk }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{untuk }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{untuk }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{untuk }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$ 

Perluasan pecahan berlanjut

Perluasan pecahan berlanjut berikut valid di seluruh bidang kompleks:

${\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$ 

${\displaystyle \cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2-x^{2}+{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$ 

${\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\ddots }}}}}}}}}$ 

Pecahan yang terakhir dipakai pertama kali menurut sejarah dalam bukti bahwa π irasional.

Perluasan darab takhingga

Darab takhingga untuk fungsi sinus sangat penting dalam analisis kompleks, yang dinyatakan sebagai:

${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$ 

Bukti perluasan darab ini dapat dilihat disini. Melalui rumus ini, dapat disimpulkan bahwa

${\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$ 

Kaitan dengan rumus Euler

 

Rumus Euler mengaitkan fungsi sinus dan kosinus dengan fungsi eksponensial:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$ 

Rumus ini biasanya dipandang untuk bilangan real x, tetapi tetap benar untuk semua bilangan kompleks. Rumus ini dapat dibuktikan sebagai berikut: Misalkan ${\displaystyle f_{1}(x)=\cos x+i\sin x}$  dan ${\displaystyle f_{2}(x)=e^{ix}}$ . Karena ${\displaystyle df_{j}(x)/dx=if_{j}(x)}$  untuk j = 1, 2, maka menurut kaidah hasil bagi, ${\displaystyle d/dx\,(f_{1}(x)/f_{2}(x))=0}$ . Jadi, ${\displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)}$  adalah fungsi konstan, yang sama dengan 1, ketika ${\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1.}$  Hal ini membuktikan rumus tersebut.

Selanjutnya, didapatkan persamaan ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$  dan ${\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\sin x}$ . Dengan menyelesaikan sistem linear pada fungsi sinus dan kosinus, maka dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi eksponensial:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}$ 

Ketika x adalah bilangan real, kedua fungsi tersebut dapat ditulis ulang sebagai

${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right).}$ 

Hampir identitas trigonometri dapat dibuktikan dengan memnyatakan fungsi trigonometri dalam bentuk fungsi eksponensial kompleks melalui rumus di atas, dan kemudian menggunakan identitas ${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}$  untuk menyederhanakan hasilnya.

Definisi yang menggunakan persamaan fungsional

Fungsi trigonometri juga dapat didefinisikan dengan menggunakan berbagai persamaan fungsional. Sebagai contoh, fungsi sinus dan kosinus membentuk pasangan tunggal dari fungsi kontinu yang memenuhi rumus selisih.

${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,}$ 

dan ditambah dengan syarat

${\displaystyle 0$ 

Dalam bidang kompleks

Fungsi sinus dan kosinus dari bilangan kompleks ${\displaystyle z=x+iy}$  dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sinus, kosinus, dan hiperbolik sebagai berikut:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}$ 

Grafik fungsi trigonometri sebagai fungsi bernilai kompleks dapat digambarkan dengan memanfaatkan pewarnaan domain. Berbagai tampilan fungsi yang unik hingga fungsi kompleks dapat dilhat dari grafik; contohnya dapat dilihat bahwa fungsi sinus dan kosinus menjadi tidak terbatas ketika bagian imajiner ${\displaystyle z}$  semakin besar (dengan warna putih menyatakan takhingga), dan fungsi yang memuat pole sederhana rupanya merupakan warna yang berputar di sekitar nol atau kutub sekali. Grafik-grafik di bawah yang dibandingkan dengan fungsi hiperbolik yang berpadanan memperlihatkan kaitan antara kedua fungsi tersebut.

Fungsi trigonometri dalam bidang kompleks

${\displaystyle \sin z\,}$    ${\displaystyle \cos z\,}$

${\displaystyle \tan z\,}$    ${\displaystyle \cot z\,}$

${\displaystyle \sec z\,}$    ${\displaystyle \csc z\,}$

Ada banyak identitas yang saling berhubungan dengan fungsi trigonometri. Bagian ini memuat identitas yang paling dasar; identitas yang lebih banyak dapat lihat di Daftar identitas trigonometri. Identitas berikut dapat dibuktikan secara geometri mellaui definisi lingkaran satuan atau definisi bersudut siku-siku (walauapun definisi terakhir harus mengambil sudut yang bukan berada di dalam interval [0, π/2], lihat Bukti identitas trigonometri). Bukti tanpa geometri, yakni hanya dengan menggunakan alat kalkulus, dapat dipakai menggunakan persamaan diferensial langsung, melalui cara yang mirip dengan bukti sebelumnya. Selain itu, buktinya dapat menggunakan identitas Euler pula untuk menyatakan semua fungsi trigonometri dalam benetuk eksponensial kompleks beserta menggunakan sifat-sifat fungsi eksponensial.

Paritas

Fungsi kosinus dan sekan merupakan fungsi genap, sedangkan fungsi trigonometri lain merupakan fungsi ganjil. Paritas dari fungsi-fungsi ini ditulis sebagai berikut:

Periode

Semua fungsi trigonometri merupakan fungsi periode. Fungsi-fungsi tersebut mempunyai periode yang paling terkecil 2π, kecuali untuk fungsi tangen dan kotangen yang mempunyai π sebagai periode yang paling terkecil. Hal ini mengartikan bahwa untuk setiap bilangan bulat k, maka diperoleh:

Identitas Pythagoras

Identitas Pythagoras merupakan ekspresi teorema Pythagoras yang berupa fungsi trigonometri. Identitasnya adalah

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.}$ 

Rumus jumlah dan selisih

Rumus jumlah dan selisih dapat memperluas fungsi sinus, kosinus, dan tangen dari jumlah atau selisih dari dua sudut yang dipandang sebagai fungsi sinus dan kosinus dan tangen dari sudut tersendiri. Rumus-rumus ini dapat diturunkan melalui geometri, berdasarkan argumen Ptolemaus. Selain itu, rumus ini juga dapat diturunkan secara aljabar menggunakan rumus Euler.

Penjumlahan
${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$ 
Selisih
${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$ 

Ketika dua sudut adalah sama, maka rumus penjumlahan mereduksi ke persamaan yang lebih sederhana, yang dikenal sebagai rumus rangkap dua.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}}$ 

Identitas tersebut dapat dipakai untuk menurunkan identitas darab-ke-jumlah.

Dengan memisalkan ${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }$ , maka semua fungsi trigonometri dari ${\displaystyle \theta }$  dapat dinyatakan sebagai pecahan rasional dari ${\displaystyle t}$ :

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\tan \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}},d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt.}$ 

Fungsi yang terakhir merupakan substitusi setengah sudut tangen, yang dipakai untuk membantu perhitungan integral dari fungsi trigonometri lain menjadi fungsi rasional tersebut.

Turunan dan integral dari fungsi trigonometri

${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle f'(x)}$	${\textstyle \int f(x)\,dx}$
${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\cos x+C}$
${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\sin x}$	${\displaystyle \sin x+C}$
${\displaystyle \tan x}$	${\displaystyle \sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x}$	${\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C}$
${\displaystyle \csc x}$	${\displaystyle -\csc x\cot x}$	${\displaystyle -\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C}$
${\displaystyle \sec x}$	${\displaystyle \sec x\tan x}$	${\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C}$
${\displaystyle \cot x}$	${\displaystyle -\csc ^{2}x=-1-\cot ^{2}x}$	${\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C}$

Turunan dari fungsi trigonometri dihasilkan dari fungsi sinus dan kosinus dengan menerapkan kaidah hasil-bagi. Pada tabel berikut, terdapat antiturunan dari fungsi trigonometri yang dapat dibenarkan dengan mendiferensialkannya. Catatan bahwa C merupakan konstanta integrasi.

Di sisi lain, turunan dari 'ko-fungsi' dapat diperoleh dengan menggunakan identitas trigonometri serta aturan rantai:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\cos x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=-\sin x\,,\\{\frac {d\csc x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sec \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=-\sec \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=-\csc x\cot x\,,\\{\frac {d\cot x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=-\sec ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=-\csc ^{2}x\,.\end{aligned}}}$ 

Fungsi	Definisi fungsi	Domain fungsi	Himpunan dari nilai prinsip
${\displaystyle y=\arcsin x}$	${\displaystyle \sin y=x}$	${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$	${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle y=\arccos x}$	${\displaystyle \cos y=x}$	${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$	${\textstyle 0\leq y\leq \pi }$
${\displaystyle y=\arctan x}$	${\displaystyle \tan y=x}$	${\displaystyle -\infty$	${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}$
${\displaystyle y=\operatorname {arccot} x}$	${\displaystyle \cot y=x}$	${\displaystyle -\infty$	${\textstyle 0$
${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x}$	${\displaystyle \sec y=x}$	${\displaystyle x<-1{\text{ atau }}x>1}$	${\textstyle 0\leq y\leq \pi ,\;y\neq {\frac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x}$	${\displaystyle \csc y=x}$	${\displaystyle x<-1{\text{ atau }}x>1}$	${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},\;y\neq 0}$

Fungsi trigonometri merupakan fungsi periodik, karena itu fungsi trigonometri bukanlah injektif. Lebih tepatnya, fungdi trigonometri tidak mempunyai kebalikannya. Akan tetapi, karena adanya kemonotonan pada masing-masing interval dari fungsi trigonometri, maka dapat didefinisikan sebagai fungsi invers, dan ini mendefinisikan fungsi invers trigonometri sebagai fungsi bernilai banyak. Fungsi ini dapat didefinisikan dengan membatasi domain ulang ke interval saat fungsi adalah monotonik, dan bijektif dari interval tersebut ke citra fungsi. Interval umum yang dipilih di tabel disebut himpunan dari nilai prinsip.

Notasi dari fungsi invers trigonometri seringkali dilambangkan sebagai perpangkatan dari −1, sebagai contoh: sin⁻¹, cos⁻¹, dst. Namun perpangkatan tersebut dapat mengartikan invers perkalian. Jadi, untuk mencegah terjadinya keambiguan, notasi tersebut digantikan dengan prefiks "arc-", sebagai contoh: arcsin,arccos, dst.

Mirip dengan fungsi sinus dan kosinus, fungsi invers trigonometri juga dapat dinyatakan dalam bentuk deret takhingga dan logaritma kompleks.

Sudut dan sisi segitiga

Penerapan trigonometri ini dapat dipakai dalam hukum-hukum berikut.

• Hukum sinus, hukum yang menjelaskan perbandingan sisi dan sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi pada segitiga sembarang. Hukum sinus dapat dibuktikan dengan membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku dan menggunakan definisi dari fungsi sinus. Hukum sinus berguna dalam menghitung panjang dari sisi segitiga yang tidak diketahui jika ada dua sudut dan sisi yang diketahui. Hal ini muncul dalam sebuah teknik bernama triangulasi, teknik yang menentukan jarak yang tidak diketahui dengan mengukur dua sudut dan jarak yang diperoleh.
• Hukum kosinus, hukum yang mengaitkan panjang sisi-sisi segitiga dengan kosinus sudut pada segitiga sembarang. Hukum ini dapat dibuktikan dengan membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku dan menggunakan teorema Pythagoras. Hukum ini dipakai untuk mencari panjang sisi ketiga dari segitiga jika hanya diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit dua sisi tersebut, dan juga untuk menentukan besar sudut pada segitiga jika semua panjang sisinya diketahui.
• Hukum tangen, hukum yang mengaitkan fungsi tangen dari dua sudut segitiga dan panjang dari sudut yang berhadapan. Mirip dengan hukum sinus, hukum ini dapat dipakai pada setiap kasus untuk dua sisi dan sudut yag diketahui, atau dua sudut dan satu sisi yang diketahui.
• Hukum kotangen, hukum yang mempunyai kaitan antara panjang sisi segitiga dengan kotangen dari setengah sudut. Hukum ini dipakai untuk membuktikan rumus-rumus lain, seperti rumus Heron, rumus pertama Mollweide, dan rumus kedua Mollweide.

Fungsi periodik

 

Fungsi-fungsi trigonometri juga penting dalam ilmu fisika. Sebagai contoh, fungsi sinus dan kosinus digunakan untuk menjelaskan gerak harmonis sederhana seperti gerakan suatu benda bermassa yang terikat pada sebuah pegas, dan gerak pendulum sederhana pada sudut yang kecil dan dengan benda bermassa yang terikat pada sebuah tali, yang keduanya merupakan pemodelan dari banyak fenomena alam. Fungsi sinus dan kosinus adalah proyeksi satu dimensi dari gerak melingkar yang seragam. Fungsi-fungsi trigonometri juga terbukti berguna dalam kajian fungsi periodik umum. Pola-pola bergelombang karakteristik dari fungsi periodik berguna dalam menggambarkan fenomena yang berulang seperti gelombang suara atau cahaya.

 

Fungsi periodik f (x) umumnya dapat dinyatakan sebagai jumlah gelombang sinus atau gelombang kosinus dalam deret Fourier. Dengan Melambangkan fungsi basis sinus atau kosinus sebagai φ_k, maka ekspansi dari fungsi periodik f (t) membentuk:

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t).}$ 

Sebagai contoh, fungsi dari gelombang persegi dapat ditulis sebagai deret Fourier

${\displaystyle f_{\text{persegi}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.}$ 

Dalam animasi gelombang persegi, dapat diperlihatkan bahwa hanya beberapa suku sudah menghasilkan aproksimasi yang hampir baik. Pada gambar bawah memperlihatkan superposisi dari beberapa suku dalam ekspansi gelombang geriji.