Nombre Racional

Los nombres racionals non entièrs (sovent nomenats fraccions) son sovent notats ${\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}}}$, ont a e b son dos entièrs relatius (amb b non nul). Se nomena a lo numerator e b lo denominator.

Cada nombre racional pòt s'escriure d'una infinitat de biais diferents, coma 1/2 = 2/4 = 3/6 = etc. Mas existís una forma privilegiada, quand a e b an pas de divisors comuns autre que 1 (son primièrs entre eles). Tot nombre racional non nul possedís exactament una sola forma d'aqueste tipe amb un denominator positiu. Se dich alara fraccion irreductibla.

Lo desvelopament decimal d'un nombre racional es sempre periodic après una cèrta decimala (per exemple dins lo cas d'una escritura decimala finida, l'apond de zèros assegura la periodicitat). Aquò es verai dins quina que siá basa. Recipròcament, se un nombre possedís un desvelopament decimal periodic dins al mens una basa, alara es un nombre racional.

Un nombre real qu'es pas racional es dich nombre irracional. L'ensemble dels nombres racionals es un còrs commutatiu, notat Q o ℚ (atal nomenat per Peano en 1895 segon l'iniciala del mot italian quoziente, lo quocient). Segon sa definition:

${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{\left.{\frac {m}{n}}\right|(m,n)\in \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})\right\}}$

ont ℤ es l'anèl intègre dels entièrs relatius.

Coma totes los reals, los racionals admeton una representacion en desvelopament decimal illimitat. Lo desvelopament decimal dels nombres racionals ten la particularitat d'èsser periodic. Es a dire qu'existís un sufixe constituit d'una sequéncia finida de chifres se repetissent de contunh. Aquesta sequéncia es nomenada: « periòde del desvelopament decimal illimitat ».

Lo desvelopament decimal illimitat d'un nombre real, e a fortiori d'un nombre racional, es unic se s'interdit de finir per una sequéncia periodica compausada de ’9’. En efièch, dins aqueste darrièr cas, existiriá una escritura equivalenta se terminant per un periòde compausat de ’0’, e encara melhor, un desvelopament decimal limitat equivalent.

Convencionalament, quand escrivèm un nombre amb los chifres arabs dins lo sistèma decimal traçam, se cal, una barra orizontala al dejós de la sequéncia periodica. Es tanben possible de metre un punt al dessús de cada chifre del periòde, mas aquesta notacion es fòrça mens utilizada.

Quand un periòde es indicat devèm far referéncia a un nombre racional e es per aquesta rason que d'un biais rigorós:

${\displaystyle 1=1{,}{\underline {0}}...=0{,}{\underline {9}}...=0{,}99999...}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0{,}{\underline {3}}...=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left(\sum _{n=1}^{x}{\frac {3}{10^{n}}}\right).}$ 

Lo desvelopament decimal illimitat d'un nombre racional es periodic e, recipròcament, un nombre de desvelopament decimal periodic es sempre racional. Aqueste critèri es pasmens mal aisit per levar la racionalitat d'un nombre. Un segond critèri es donat per la fraccion continua. Un nombre es racional se e solament se son desvelopament en fraccion continua es finit. aqueste metòde es a l'origina de las primièras demonstracions de l'irracionalitat de la basa e del logaritme neperian e de π.

Atal, lo nombre ${\displaystyle 0{,}12\,122\,1222\,12222...\,}$  (ont avèm de sequéncias de ’2’ sempre mai longas) es irracional que ten pas de periòde.

Sián a, b, c, d quatre entièrs, amb b e d non nuls.

Los dos nombres racionals representats per a/b e c/d son egals se e solament se ad = bc.

L'addicion e donada per:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$ 

Se mòstra qu'aquesta egalitat depend pas de la causida dels representants "a/b" e "c/d".

La multiplicacion per:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}$ 

L'opausat e l'invèrs per:

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}\quad {\mbox{et}}\quad \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}{\mbox{ si }}a\neq 0.}$ 

Se'n deduit que lo quocient es donat per:

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)/\left({\frac {c}{d}}\right)={\frac {ad}{bc}}.}$ 

Tot nombre racional positiu pòt s'exprimir coma soma d'inverses distinctes d'entièrs naturals distinctes. Per exemple, avèm:

${\displaystyle {\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}.}$ 

 

Se pòt veire un nombre racional coma la classa d'equivaléncia d'un parelh ordonat d'entièrs, per la relacion d'equivaléncia seguenta:

${\displaystyle \forall \left(a,b\right)\in \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\})\quad \forall \left(c,d\right)\in \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\})\quad (a,b)\,{\mathcal {R}}\,(c,d)\Longleftrightarrow ad=bc.}$ 

Se nòta alara ${\displaystyle \mathbb {Q} ={\big (}\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\}){\big )}/{\mathcal {R}}}$ , es a dire que l'ensemble dels nombres racionals es lo quocient de ${\displaystyle \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\})}$  per la relacion d'equivaléncia.

Se pòt enseguida injectar ls entièrs dins los racionals, e definir de leis de composicion intèrna per se donar una estructura de còrs.

Aquesta construccion es valabla a partir de quin que siá anèl intègre, se dich alara còrs de las fraccions.

 

• L'ensemble ℚ, dotat de las leis d'addicion e de multiplicacion donadas mai naut, forma un còrs commutatiu, lo còrs de las fraccions dels entièrs ℤ.
• Los racionals son lo mai pichon còrs de caracteristica nula. Tot autre còrs de caracteristica nula conten una copia de ℚ.
• La clausura algebrica de ℚ, es a dire lo còrs de las raiças dels polinòmis de coeficients racioals es l'ensemble dels nombres algebrics.
• ℚ es dens dins ℝ per construccion mèsma de ℝ. Mai « concrètament », per tot real ${\displaystyle x}$ , la seguida ${\displaystyle u}$  definida per${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \qquad u_{n}={\frac {E(10^{n}\times x)}{10^{n}}}}$ (ont ${\displaystyle E}$  es la foncion partida entièra) es de valors racionalas (e quitament decimalas) e tend cap a ${\displaystyle x}$ , que${\displaystyle 0\leq x-u_{n}<10^{-n}.}$ 
• Del vejaire de l'aproximacion diofanciana, los racionals son los reals mens ben aproximablas.
• L'ensemble dels racionals es denombrable. E per l'argument de la diagonala de Cantor, savèm que lo còrs dels nombres reals l'es pas. se dich alara que los nombres reals son gaireben totes irracionals, al sens de la mesura de Lebesgue. Se dich que ℚ es un ensemble negligible. La foncion f seguenta, bijectiva de ℕ dins ℚ⁺, dona totes los nombres racionals positius o nuls, amb lo numerator e lo denominator sempre primièrs entre eles per construccion. Es inspirada de las seguidas de Farey o de la seguida diatomica de Stern:${\displaystyle {\begin{cases}f(0)=0\\f(2n)={\frac {1}{f(n)+1}}\\f(2n+1)=f(n)+1.\end{cases}}}$ 
• S'invèrsa per la foncion g seguenta:${\displaystyle {\begin{cases}g(0)=0\\g\left({\dfrac {p}{q}}\right)={\begin{cases}2g({\frac {q-p}{p}}),&{\text{si }}q>p\\2g({\frac {p-q}{q}})+1,&{\text{si }}q\leq p.\end{cases}}\end{cases}}}$ 

Dotada de la topologia de l'òrdre usual, ℚ es un còrs topologic. Aquò significa que las operacions aritmeticas son continuas. L'addicion es mai compatibla amb l'òrdre (se parla de grop ordonat).

Limitacions

Per contra, ℚ possedís pas la proprietat de la bòrna superiora: l'ensemble dels nombres racionals x tals que x² < 2 es majorat mas possedís pas de mai pichon majorant.

Mai, ℚ es pas un espaci complet: existís de seguidas de Cauchy de nombres racionals que convergisson pas cap a un nombre racional, coma la seguida (x_n) definida per recurréncia seguent lo metòde de Héron:

• x₀ = 1
• per tot n entièr natural non nul:x_n+1 = x_n/2 + 1/x_n

Aquestas doas limitacions mòstran per exemple que de nombres essencials en matematicas, coma √2 o π, son pas racionals. Aquò mena a completar ℚ en bastissent un ensemble mai grand, que possedís la proprietat de la bòrna superiora e ont tota seguida de Cauchy convergís: l'ensemble dels nombres reals.

Se pòt dotar ℚ d'una autra metrica.

Siá ${\displaystyle p}$  un nombre primièr. Pausam:

• per tot entièr non nul ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle |a|_{p}=p^{-n},}$  ont ${\displaystyle p^{n}}$  es la mai granda poténcia de ${\displaystyle p}$  divisant ${\displaystyle a}$ ,
• ${\displaystyle |0|_{p}=0}$ .

La foncion atal definida es complètament multiplicativa, çò que permet de pausar sens ambiguïtat, per tot nombre racional ${\displaystyle a/b}$ :

• ${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}}$ .

Alara ${\displaystyle d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}}$  definís un espaci metric.

L'espaci metric ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)}$ es pas complet, e sa complecion es lo còrs ℚp dels nombres p-adics. Le teorèma d'Ostrowski mòstra que tota valor absoluda non triviala sus ℚ es topologicament equivalenta o de valor absoluda usuala, o amb una valor absoluda p-adica.

Arbre de Stern-Brocot