விகிதமுறு எண்

அனைத்து முழு எண்களும் விகிதமுறு எண்கள்தாம்; ஏனென்றால் ஒவ்வொரு முழுஎண் ${\displaystyle n}$ ஐயும் ${\displaystyle n/1}$ என்று எழுதலாம். 2/3, 355/113, -1/2 இவையெல்லாம் முழுஎண்களல்லாத விகிதமுறு எண்கள்.

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ என்று எழுதப்படும்போது, b சூனியமாக இருக்கக்கூடாது. ஏனென்றால் சூனியத்தால் வகுப்பதென்பது கணிதத்தின் விதிகளுக்குப் புறம்பான செயல்.

ஒரு விகிதமுறு எண்ணை பலவிதங்களில் விகிதமுறையில் சொல்லலாம்:

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}={\frac {4}{6}}={\frac {200}{300}}={\frac {2a}{3a}}.}$ இங்கு ${\displaystyle a}$ என்பது ஏதாவது ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருக்கலாம்.

எல்லா விகிதமுறு எண்களின் கணத்தை ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ என்று குறிப்பிடுவது வழக்கம்:

${\displaystyle \mathbf {Q} =\{{\frac {a}{b}}:a\in \mathbf {Z} ,b\in \mathbf {Z} ,b\neq 0\}}$. இங்கு ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ என்பது எல்லா முழு எண்களின் கணம்.

இரண்டு முழுஎண்களின் விகிதமாக எழுதப்படமுடியாத எண்கள் நிறைய இருக்கின்றன. எ.கா. ${\displaystyle \surd {2},\pi ,}$ அடுக்குமாறிலி ${\displaystyle e}$, இன்னும் பல. இவைகளெல்லாம் விகிதமுறா எண்களெனப்படும்.

ஒரு விகிதமுறு எண்ணின் தசம வடிவம் முடிவுறு தசமமாகவோ அல்லது மீளும் தசமமாகவோ இருக்கும். அதாவது ஒரு விகிதமுறு எண்ணைத் தசம வடிவிற்கு மாற்றும் போது, தசமபுள்ளிக்குப் பின் வரும் தானங்கள் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையோடு நின்றுவிடலாம் அல்லது குறிப்பிட்ட எண்கள் மீளலாம். முடிவுறு தசமபின்னங்களும் மீளும் தசமபின்னங்களும் விகிதமுறு எண்களாகும். இக்கூற்று பத்தடிமான எண்களுக்கு மட்டுமில்லாமல், மற்ற அடிமான எண்களுக்கும் (ஈரடிமானம், பதினறும எண் முறைமை)பொருந்தும்.

சுருக்கவியலாப் பின்னம்

சுருக்கவியலாப் பின்னம் (irreducible fraction) என்பது அதன் பகுதியிலும் தொகுதியிலுமுள்ள முழு எண்களுக்கிடையே ’1’ அல்லது ’-1’ ஐத் தவிர வேறு பொதுக்காரணிகளற்ற பின்னமாகும். அதாவது சுருக்கவியலாப் பின்னத்தின் பகுதி, தொகுதிகளின் மீ. பொ. வ 1 ஆக இருக்கும்.

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$  ஒரு சுருக்கவியலாப் பின்னம் எனில்:

${\displaystyle gcd(a,b)=1}$ 

சுருக்கவியாலாப் பின்னம், எளிய பின்னம் அல்லது சுருக்கிய பின்னம் (reduced fraction) எனவும் அழைக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

${\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {113}{131}}}$  ஆகியவை சுருக்கவியலாப் பின்னங்கள்.

மாறாக, ${\displaystyle {\frac {2}{6}}}$  ஒரு சுருக்கவியலாப் பின்னம் அல்ல. இதன் தொகுதி, பகுதிகளான 2, 6 ஆகிய எண்களுக்குப் பொதுக்காரணியாக 2 உள்ளதால் இப் பின்னத்தை மேலும் சுருக்கி இதற்குச் சமமான பின்னத்தைப் சுருக்கவியலா வடிவில் பெறலாம்:

${\displaystyle {\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}}$ 

சுருக்கக் கூடிய பின்னங்களின் பகுதியையும் தொகுதியையும் அப்பகுதி, தொகுதிகளின் பொதுக் காரணிகளால் படிப்படியாக வகுப்பதன் மூலமாகவோ அல்லது நேரிடையாக அவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியால் வகுத்தோ, அப்பின்னத்தின் சுருக்கவியலா வடிவினைக் கொண்ட சமபின்னத்தைக் காணலாம்.

முழுவெண்களின் உட்பொதிவு

முழுவெண்களின் கணமானது விகிதமுறு எண்களின் கணத்தின் உட்பொதிவாக உள்ளது. எந்தவொரு முழுவெண் n என்பதை n/1 என்ற விகிதமுறு எண்ணாக எழுதலாம்.

சமத்தன்மை

${\displaystyle ad=bc.}$  என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே,
${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$  ஆகும்.

இரு பின்னங்களும் நியமன வடிவில் இருந்தால்:

${\displaystyle a=c}$  மற்றும் ${\displaystyle b=d}$  என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே,
${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$  ஆகும்.

வரிசைமுறை

இரு பின்னங்களின் பகுதிகளும் நேர்ம எண்களாகவும் பின்னங்கள் நியமன வடிவிலும் இருந்தால்:

${\displaystyle ad$  என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே
${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$  ஆகும்.

ஏதாவதொரு பின்னத்தின் பகுதி எதிர்ம எண்ணாக இருந்தால் முதலில் அப்பின்னத்தின் பகுதி மற்றும் தொகுதியின் குறியினை மாற்றுவதன் மூலம், பகுதியை நேர்மமாக கொண்ட சமான பின்னமாக மாற்ற வேண்டும்.

கூட்டல்

இரு பின்னங்கள் கீழுள்ளவாறு கூட்டப்படுகின்றன:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$ 

கூட்டப்படும் இரு பின்னங்களும் நியமனவடிவிலிருந்தால், b, d இரண்டும் சார்பகா முழு எண்களாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே கூட்டப்படும் பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகைப் பின்னமும் நியமன வடிவில் இருக்கும்.

கழித்தல்

${\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.}$ 

கழிக்கப்படும் இரு பின்னங்களும் நியமன வடிவிலிருந்தால், b, d இரண்டும் சார்பகா முழு எண்களாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே கழிக்கப்படும் பின்னங்களின் கழித்தல் வேறுபாட்டுப் பின்னமும் நியமன வடிவில் இருக்கும்.

பெருக்கல்

பின்னங்களின் பெருக்கல் விதி:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}$ 

இரு பின்னங்களும் நியமன வடிவில் இருந்தாலும் அவற்றின் பெருக்குத்தொகைப் பின்னம் சுருக்கவியலும் பின்னமாக இருக்கலாம்.

நேர்மாறு

ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண் a/b க்கும் ஒரு கூட்டல் நேர்மாறு உண்டு; இக்கூட்டல் நேர்மாறு மூல பின்னத்தின் "எதிரெண்" எனப்படும்,

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}.}$ 

a/b நியமன வடிவில் இருந்தால், அதன் கூட்டல் நேர்மாறும் நியமன வடிவில் இருக்கும்.

ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற விகிதமுறு எண் a/b க்கும் ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்கும்; இந்தப் பெருக்கல் நேர்மாறு மூல பின்னத்தின் "தலைகீழி" எனப்படும்.

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}.}$ 

a/b நியமன வடிவிலிருந்தால், அதன் தலைகீழியின் நியமன வடிவம் ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$  அல்லது ${\displaystyle {\frac {-b}{-a}}}$  ஆக இருக்கும் (a இன் குறியைப் பொறுத்து).

வகுத்தல்

b இரண்டும் c பூச்சியமில்லை எனில், வகுத்தல் விதி:

${\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}.}$ 

a/b ஐ c/d ஆல் வகுத்தலானது a/b ஐ c/d இன் தலைகீழியால் பெருக்குவதற்குச் சமனாகும்:

${\displaystyle {\frac {ad}{bc}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}.}$ 

முழுவெண் அடுக்கேற்றம்

n ஒரு எதிர்மமில்லா முழுவெண் எனில்,

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}.}$ 
a/b நியமனவடிவில் இருந்தால் முழுவெண் அடுக்கேற்ற விடையும் நியமன வடிவில் இருக்கும்.
${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{0}=1.}$ 

a ≠ 0 எனில்,

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}}.}$ 

a/b நியனம வடிவம் எனில் விடையின் நியமன வடிவம்:

• a > 0 அல்லது n இரட்டை எண் எனில்:

${\displaystyle {\frac {b^{n}}{a^{n}}}}$ 

• மற்றபடி,

${\displaystyle {\frac {-b^{n}}{-a^{n}}}.}$ 

ஒரு முடிவுறு தொடரும் பின்னம்:

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}},}$ 

இதில் a_n முழு எண்கள். ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண் a/b ஒரு முடிவுறு தொடரும் பின்னமாக உருவகிக்கலாம். அத்தொடரும் பின்னத்தின் கெழுக்களான a_n களை (a,b) க்கு யூக்ளிடிய படிமுறைத்தீர்வு மூலம் காணலாம்.

ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணையும் ஒரு முடிவுறு தொடரும் பின்னமாக்கலாம் என்பதை ஆய்லர் நிறுவினார். ஒரு முடிவுறா தொடரும் பின்னம் ஒரு விகிதமுறா எண்ணைத்தான் குறிக்கும்.

• எண்
• பை
• அடுக்குமாறிலி e