Racionalni Broj

1:2, 1:3, 555:333. Skup racionalnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ uveden je zato što operacija dijeljenja nije uvijek moguća na skupu cijelih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Racionalni broj se može napisati u obliku razlomka ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$  gdje je ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} ,y\in \mathbb {N} .}$  x se naziva brojnik, a y nazivnik. Neki primjeri takvog zapisa su:

${\displaystyle {\frac {2}{7}},{\frac {6}{1}},{\frac {0}{3}},{\frac {-2}{4}},{\frac {5}{5}}.}$ 

Drugi mogući zapis racionalnog broja je u obliku decimalnog broja. Postoje tri vrste zapisa:

Konačni decimalni broj:

${\displaystyle {\frac {9}{20}}=9:20=0,45}$ 

zapis koji se pojavljuje kad se u nazivniku kao jedini prim faktori javljaju brojevi 2 i 5.

Periodični decimalni broj:

${\displaystyle {\frac {4}{21}}=4:21=0,{\dot {1}}9047{\dot {6}}}$ 

zapis koji se pojavljuje kada se niti broj 2 niti broj 5 ne javljaju kao prim faktori nazivnika, interval znamenki od prve do druge točke se ponavlja (tzv. period) do beskonačnog broja znamenki iza decimalnog zareza.

Mješoviti decimalni broj:

${\displaystyle {\frac {7}{12}}=7:12=0,58{\dot {3}}}$ 

zapis koji se pojavljuje kad nazivnik sadrži i prim faktore 2 ili 5 i neke druge prim faktore, znamenka nad kojom je točka se ponavlja do beskonačnog broja znamenki iza decimalnog zareza.

Razlomci istih nazivnika se zbrajaju tako da se zbroje brojnici, dok je nazivnik rezultata jednak nazivniku razlomaka :

${\displaystyle {\frac {5}{7}}+{\frac {1}{7}}={\frac {5+1}{7}}={\frac {6}{7}}}$ 

Razlomci različitih nazivnika se zbrajaju tako da ih svedemo na najmanji zajednički nazivnik i onda ih zbrojimo:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}={\frac {3}{12}}+{\frac {2}{12}}={\frac {5}{12}}}$ 

Umnožak dvaju razlomaka jednak je razlomku čiji je brojnik jednak umnošku brojnika, a nazivnik jednak umnošku nazivnika razlomaka koje množimo:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}={\frac {8}{15}}}$ 

Razlomak se dijeli razlomkom tako da se djeljenik pomnoži recipročnom vrijednošću djelitelja:

${\displaystyle {\frac {2}{5}}:{\frac {1}{3}}={\frac {6}{5}}}$ 

Dva racionalna broja ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$  i ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$  jednaka su ako je ${\displaystyle ad=bc}$ . Razlomci istih nazivnika se uspoređuju tako da se usporede njihovi brojnici. Veći je onaj razlomak čiji je brojnik veći, i obratno, manji je onaj razlomak koji ima manji brojnik. Ako su nazivnici različiti prethodno se razlomci svode na zajednički nazivnik, pa se onda uspoređuju.

Aritmetička sredina

Aritmetička sredina dva racionalna broja ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ , ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$  je broj ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {ad+bc}{bd}}}$ . Lako se pokaže da je aritmetička sredina dva racionalna broja po veličini između ta dva broja.

Medijant

Ako su prirodni brojevi ${\displaystyle a,b}$  te ${\displaystyle c,d}$  redom relativno prosti, kažemo da je ${\displaystyle m={\frac {a+c}{b+d}}}$  medijant racionalnih brojeva ${\displaystyle r={\frac {a}{b}},s={\frac {c}{d}}}$ . Nije teško pokazati da vrijedi ${\displaystyle r\leq m\leq s}$ , tj. da se medijant nalazi između dvaju zadanih racionalnih brojeva, a otuda dolazi i naziv medijant.

Tada pišemo ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\oplus {\frac {c}{d}}={\frac {a+c}{b+d}}}$ . Taj se simbol koristi zbog toga što podsjeća na čestu grešku u zbrajanju dva razlomka.

Konveksna kombinacija

Također, za svaki racionalni broj ${\displaystyle \lambda }$ , ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$  vrijedi ${\displaystyle r\leq (1-\lambda )r+\lambda s\leq s}$ . Izraz u sredini nazivamo konveksnom kombinacijom brojeva ${\displaystyle r,s.}$  Gornji identitet pokazuje da je zapravo bilo koji interval racionalnih brojeva bijektivan s bilo kojim drugim intervalom racionalnih brojeva jer su potonja dva oba bijektivna s intervalom ${\displaystyle [0,1]}$ .

Ako su a, b, c brojevi iz skupa cijelih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  a je djeljiv s b ako postoji cijeli broj c takav da je a = b × c. Tu činjenicu upotrebljavamo kod "skraćivanja" razlomaka, naime, ako se razlomak ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$  može napisati kao ${\displaystyle {\frac {xk}{yk}}}$  gdje je ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$  tada su razlomci ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$  i ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$  jednaki.

Skup racionalnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  skup je svih klasa ekvivalencije na skupu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  x ${\displaystyle \mathbb {N} }$ , odnosno izomorfan je skupu ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  = {m/n : m ${\displaystyle \in \mathbb {Z} }$ , n ${\displaystyle \in \mathbb {N} }$ }.

Dok su skupovi prirodnih ${\displaystyle \mathbb {N} }$  i cijelih ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  brojeva diskretni, tj. sastoje se od izoliranih točaka, skup racionalnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  je gust, jer se između svaka dva različita racionalna broja nalazi još beskonačno mnogo racionalnih brojeva.

Skup ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  je prebrojiv, tj. ekvipotentan skupu prirodnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {N} }$ . To znači da između skupa prirodnih i racionalnih brojeva postoji bijekcija, odnosno da ta dva skupa imaju jednak, beskonačan, broj elemenata. Za razliku od skupa realnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , skup racionalnih brojeva nije prebrojiv skup.

Skup racionalnih brojeva je uređeno polje. Kako za njeg vrijedi Arhimedov aksiom, kažemo da je ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  uređeno Arhimedovo polje.