Pitagora Teorēma

Pitagora teorēma skan šādi: Taisnleņķa trijstūrī hipotenūzas garuma kvadrāts vienāds ar abu katešu garumu kvadrātu summu.

Teorēma ir nosaukta par godu sengrieķu matemātiķim un filozofam Pitagoram, kurš to pirmais ir pierādījis.

Trīs praktiski pielietojamas teorēmas formas:

${\displaystyle c={\sqrt {b^{2}+a^{2}}},}$     ${\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}$   un  ${\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}.}$

Vizuāls (intuitīvs) pierādījums:

Pitagora teorēma ir visvairāk veidos pierādāmā teorēma, grāmatā The Pythagorean Proposition ir 370 dažādi pierādījumi. Populārākais Pitagora teorēmas pierādījuma veids ir Pitagora skaitļi. Pitagora teorēmas vispārinājums ir Ptolemaja teorēma un de Guā teorēma.

Pierādījums, izmantojot līdzīgu trijstūri

 

${\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)}$ 

${\displaystyle {\frac {e}{b}}={\frac {b}{c}}\quad \Rightarrow \quad e={\frac {b^{2}}{c}}\quad (2)}$ 

No attēla ${\displaystyle c=d+e\,\!}$ . Un, aizstājot izteiksmes (1) un (2):

${\displaystyle c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}}$ 

Reizinot ar c:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!.}$ 

 

Riņķa līnijas mērīšanā Arhimēds izmantoja Pitagora teorēmu, lai aprēķinātu π vērtību. To viņš darīja, apvelkot ap riņķi regulāru sešstūri un ievelkot riņķī mazāku sešstūri (riņķa līnijas garums bija pa vidu starp šo sešstūru perimetriem). Pēc tam viņš pakāpeniski dubultoja regulāro daudzstūru malu skaitu (iegūstot divpadsmitstūrus, divdesmitčetrstūrus utt.), ar katru soli tuvinot to perimetrus riņķa līnijas garumam. Šos perimetrus viņš izrēķināja ar Pitagora teorēmas palīdzību.

Kvadrāta diagonāles

 

${\displaystyle d^{2}=l^{2}+l^{2}=2\,l^{2}.}$ 
${\displaystyle d={\sqrt {2\,l^{2}}}=l{\sqrt {2}}.}$ 

Vienādmalu trīsstūra augstums

 

${\displaystyle l^{2}=h^{2}+\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}=h^{2}+{\frac {l^{2}}{4}}}$ 
${\displaystyle h^{2}={\frac {3\,l^{2}}{4}}.}$ 

${\displaystyle h={\sqrt {\frac {3\,l^{2}}{4}}}={\frac {l{\sqrt {3}}}{2}}.}$ 

Kuba diagonāles

 

Ja a ir kuba vienas šķautnes garums, tad skaldnes diagonāles AC garuma kvadrāts saskaņā ar Pitagora teorēmu ir:

${\displaystyle AC^{2}=a^{2}+a^{2}.}$  (I)

Pēc tās pašas teorēmas, kuba diagonāles AC' kvadrāts ir:

${\displaystyle AC'^{2}=a^{2}+AC^{2}.}$  (II)

No I un II:

${\displaystyle AC'^{2}=a^{2}+a^{2}+a^{2}.}$ 

Tātad:

${\displaystyle AC'={\sqrt {3a^{2}}}={\sqrt {3}}a.}$ 

Ja trijstūra vienas malas garuma kvadrāts vienāds ar abu pārējo malu garumu kvadrātu summu, tad šīs malas pretleņķis ir taisns un trijstūris ir taisnleņķa.

Piemērs: vai trijstūris, kam malu garumi ir 6 cm, 7 cm un 9 cm, ir taisnleņķa?

Risinājums: Izvēlas garāko malu un pārbauda, vai izpildās Pitagora teorēma: 9²=6²+7² redzam, ka 81≠36+49, tātad šis nav taisnleņķa trijstūris.

• Taisnleņķa trijstūris
• Katete
• Hipotenūza
• Pitagora trijnieks