Շրջանագիծ

Շրջանագծի երկու կետերը միացնող և նրա կենտրոնով անցնող հատվածը կոչվում է տրամագիծ։ Շրջանագծի երկարության հարաբերությունը տրամագծի երկարությանը միևնույնն է բոլոր շրջանագծերի համար։ Այդ հարաբերությունը տրանսցենդենտ թիվ է․ այն նշանակում են հունարեն այբուբենի π տառով (π=3, 14159․․․)։

Շրջանագծի կառուցման համար օգտագործվում է կարկին։

Շրջանագիծը կոչվում է միավոր շրջանագիծ, եթե նրա շառավիղը հավասար է մեկ միավորի։ Միավոր շրջանագիծը եռանկյունաչափության հիմնական օբյեկտներից մեկն է։

 

Ուղիղը կարող է շրջանագծի հետ ունենալ առավելագույնը երկու ընդհանուր կետ։

Ուղիղը, որն անցնում է շրջանագծի երկու տարբեր կետերով, կոչվում է հատող։ Այդ ուղղի՝ շրջանագծի ներսում ընկած հատվածը կոչվում է լար։ Շրջանագծի կենտրոնով անցնող լարը կոչվում է շրջանագծի տրամագիծ։ Տրամագծի երկարությունը երկու անգամ ավելի շառավղի երկարությունից․ ${\displaystyle D=2R,}$ : Այն շրջանագիծը բաժանում է երկու հավասար մասերի, հետևաբար, տրամագիծը շրջանագծի համաչափության առանցքն է։ Տրամագծի երկարությունն ավելի մեծ է, քան ցանկացած այլ լարի երկարությունը։

Շրջանագծի ցանկացած երկու տարբեր կետեր այն բաժանում են երկու մասի, որոնցից յուրաքանչյուրը կոչվում է շրջանագծի աղեղ։ Աղեղը կոչվում է կիսաշրջանագիծ, եթե այն հատվածը, որը կապում է նրա ծայրերը, տրամագիծ է։

Տվյալ շրջագծի համար գործում են հետևյալ հատկությունները․

• Կենտրոնից հավասարահեռ լարերը հավասար են։ Եվ հակառակը, եթե երկու լարերն ունեն հավասար երկարություն, ապա նրանք գտնվում են կենտրոնից հավասար հեռավորության վրա։
• Հավասար լարերին համապատասխանում են հավասար աղեղներ, և հակառակը։

 

Ուղիղը, որը շրջանագծի հետ ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ, կոչվում է շրջանագծի շոշափող, իսկ նրանց ընդհանուր կետը կոչվում է ուղղի և շրջանագծի հատման կետ։ Շրջանագծի շոշափողը միշտ ուղղահայաց է նրա այն շառավղին (և տրամագծին), որն անցնում է հատման կետով։ Այսինքն, շառավիղը միաժամանակ և նորմալ է շրջանագծի համար։

Մի կետից շրջանագծին տարված շոշափողների՝ շրջանագծից դուրս գտնվող հատվածները հավասար են և հավասար անկյուններ են կազմում այն ուղղի հետ, որն անցնում է այդ կետով և շրջանագծի կենտրոնով։

 

Կենտրոնական անկյունն այն անկյունն է, որի գագաթը շրջանագծի կենտրոնն է։ Ներգծյալ է կոչվում այն անկյունը, որի գագաթը գտնվում է շրջանագծի վրա, իսկ նրա կողմերը հատում են այդ շրջանագիծը։ Կենտրոնական կամ ներգծյալ անկյունները հենվում են այն աղեղի վրա, որը շրջանագծի վրա առանձնացնում են նրանց կողմերը։

Կենտրոնական անկյան աստիճանային չափը հավասար է այն աղեղի աստիճանային չափին, որի վրա այն հենված է։ Այն կենտրոնական անկյունը, որի հենման աղեղի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին, մաթեմատիկայում դիտարկվում է որպես անկյունների չափման միավոր և կոչվում է ռադիան։

Ռադիանի սահմանումից հետևում է, որ շրջանագծի ցանկացած աղեղի ${\displaystyle L}$  երկարությունը կապված է այդ աղեղի վրա հենված ${\displaystyle \theta }$ , կենտրոնական անկյան հետ պարզ հարաբերակցությամբ․ ${\displaystyle L=R\theta ,}$ , միևնույն ժամանակ, նույն աղեղի ծայրակետերով անցնող լարի երկարությունը հավասար է${\displaystyle 2R\sin {\theta \over 2}$ ։ Քանի որ շրջանագծի երկարությունը հավասար է ${\displaystyle 2\pi R}$ , անկյան մեծանալուն զուգահեռ նրա ռադիանային արժեքը փոխվում է 0-ից ${\displaystyle 2\pi }$ ։ Ներգծյալ անկյունների հատկություններ․

• Ներգծյալ անկյունը կամ հավասար է նույն աղեղի վրա հենված կենտրոնական անկյան կեսին, կամ լրացնում է այդ անկյան կեսը մինչև 180°։ Ներգծյալ անկյունը, որը հենվում է շրջանագծի երկարության կեսին հավասար աղեղի (կիսաշրջանագիծ) վրա, միշտ ուղիղ է (հավասար է 90°):
• Ներգծյալ անկյունը չի փոխում իր չափը, երբ նրա գագաթը տեղափոխվում է շրջանագծի երկայնքով։
• Նույն աղեղի վրա հենված երկու ներգծյալ անկյունները հավասար են։

Այլ հատկություններ․

• Շրջանագծից դուրս գտնվող կետում հատվող երկու հատողների միջև ընկած անկյունը հավասար է հատողների միջև ընկած աղեղների տարբերության կեսին։
• Հատվող լարերի կազմված անկյունը հավասար է նրանց անջատած աղեղների կիսագումարին։
• Ընդհանուր կետ ունեցող շոշափողի և լարի կազմած անկյունը հավասար է լարով առանձնացված աղեղի անկյունային չափի կեսին։

 

• Իզոպերիմետրական անհավասարություն․ տրված երկարությունն ունեցող փակ կորերից շրջանագիծը սահմանափակում է ամենամեծ մակերեսն ունեցող տարածությունը։
• Նույն ուղղի վրա չընկած երեք կետով կարելի է տանել շրջանագիծ, ընդ որում՝ միայն մեկը։
• Ասում են՝ երկու շրջանագծեր ունեն շոշափում, եթե նրանք ունեն միայն մեկ ընդհանուր կետ։ Երկու շրջանագծերի շոշափման կետը գտնվում է դրանց կենտրոններով անցնող ուղղի վրա։
• Եթե շրջանագծի երկու լարերը հատվում են, ապա լարերից մեկի հատվածների արտադրյալը հավասար է մյուս լարի հատվածների արտադրյալին. ${\displaystyle AE\cdot EB=CE\cdot ED}$ ։

 

Շրջանագծի երկարություն

${\displaystyle C=2\pi R=\pi D}$ 

Շրջանագծի շառավիղ

${\displaystyle R={\frac {C}{2\pi }}={\frac {D}{2}}}$ 

Շրջանագծի տրամագիծ

${\displaystyle D={\frac {C}{\pi }}=2R}$ 

Շրջանագիծը, ուղղի հետ միասին, առավել տարածված կորն է մարդկային գործունեության գրեթե բոլոր ոլորտներում։ Նրա ուսումնասիրության ու կիրառման պատմությունն սկիզ է առնում շատ հնուց։ Այդ թեմային հատուկ կարեւորություն է տվել անվի գյուտը։ Անտիկ գիտնականներն ուղիղներն ու շրջանագծերը դիտարկել են որպես «կատարյալ» կորերի միակ օրինակ, այդ պատճառով երկրաչափությունում թույլատրելի են համարվել միայն կարկինի և քանոնի օգնությամբ կառուցումները, իսկ մոլորակների շարժումը մոդելավորվել է որպես պտույտներ շրջանագծերով։ Շրջանագծերի տեսությանն է նվիրված Էվկլիդեսի «Սկզբունքների» III գիրքը։

Բացի այդ, հին ժամանակներում հայտնաբերվել է, որ շրջանագծի երկարության հարաբերակցությունը նրա տրամագծին (π թիվը) նույնն է բոլոր շրջանագծների համար։ Բազմադարյա հետազոտությունների կարևոր թեմա են եղել այդ հարաբերակցության ճշգրտումը, ինչպես նաև «շրջանի քառակուսացման» խնդիրը լուծելու փորձերը։ Շրջանագծի տեսության հետագա զարգացումը հանգեցրել է եռանկյունաչափության, տատանումների տեսության, գիտության ու տեխնոլոգիաների այլ կարևոր բաժինների ստեղծմանը։

 

Շրջանագիծը շրջանի և գնդի հետ միասին հնում համարվել է բարձրագույն կատարելության աստվածային խորհրդանիշ, գեղեցկության և հավասարության խորհրդանիշ։ Անտիկ աստղագետները համոզված էին, որ երկնային լուսատուները տեղակայված են պտտվող ոլորտներում և, այդպիսով, շարժվում են շրջանագծով։ Արթուր թագավորի ասպետները նստել են կլոր սեղանի շուրջ, ինչը ընդգծում էր նրանց իրավահավասարությունը։

Եգիպտական դիցաբանության մեջ Խնում արարիչ աստվածը մարդկանց ստեղծել է բրուտի կլոր սարքավորման վրա։ «Անմաքուր ուժից» պաշտպանվելու համար հարկավոր էր անձի շուրջը գծել շրջանաձև գիծ (մոգական շրջան)։ Քրիստոնեական սրբերի պատկերներում նրանց դեմքերը շրջապատված են կլոր լուսապսակով։ Շատ կրոնների մեջ դժոխքը կազմված է համակենտրոն շրջանակներից, ինչը խորհրդանշում է անելանելիությունը։ Սթոունհենջում և այլ կրոմլեխներում քարերը դասավորված են շրջանագծով։

Տարբեր առեղծվածային վարդապետություններում շրջանագիծը հաճախ խորհրդանշում է գոյության անսահմանությունն ու ցիկլային բնույթը (ուրոբորոս, Սանսարա), հավասարակշռությունը (Ին/Յան, կայունությունը և այլն։ Նմանատիպ իմաստ ունի նաև շատ ժողովուրդների առածներում և ասացվածքներում, օրինակ՝ «կլոր տարի», «շփման շրջանակ», «արատավոր շրջան» և այլն։

Շրջանագիծն օգտագործվում է բազմաթիվ խորհրդանիշների գրաֆիկայում, օրինակ՝ պացիֆիզմի նշանը, հեղինակային իրավունքի պահպանության խորհրդանիշ (©) և այլն։