വൃത്തം

ഒരു തലത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന വശങ്ങളില്ലാത്ത ഏക ജ്യാമിതീയ രൂപമാണ്‌ വൃത്തം. വൃത്തം എന്ന പദം പലപ്പോഴും വക്രതയിലുള്ള ബിന്ദുക്കളെ സൂചിപ്പിയ്ക്കുന്നതിലുപരിയായി വൃത്തപരിധിയ്ക്കുള്ളിലെ തലത്തെയാണ് വിവരിയ്ക്കുന്നത്. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചുറ്റളവിൽ ഏറ്റവും കൂടിയ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം ഈ രൂപത്തിന്റെ മറ്റൊരു പ്രത്യേകതയാണ്. ഈ ഒരു പ്രത്യേകതയാണ്‌ കിണറിന്റെ ആകൃതി വൃത്തത്തിൽ ആകാൻ കാരണം.

വൃത്തം എന്ന വാക്കിനർത്ഥം മലയാളം വിക്കി നിഘണ്ടുവിൽ കാണുക

ദ്വിതല യൂക്ലീഡിയൻ രൂപമാണ് വൃത്തം. വൃത്തം കോണികങ്ങൾ എന്ന വിഭാഗത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. ഒരു വൃത്തസ്തൂപിക അതിന്റെ അക്ഷത്തിന് ലംബമായ തലവുമായി യോജിയ്ക്കുമ്പോഴാണ് വൃത്തം ഉണ്ടാകുന്നത്. ഇപ്രകാരം r ആരവും (h,k) കേന്ദ്രവുമായ വൃത്തത്തിന്റെ ${\displaystyle (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}}$ എന്ന സമവാക്യം ലഭിയ്ക്കുന്നു. ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേകരൂപമാണ് വൃത്തം.

വൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നും വൃത്തപരിധിയിലുള്ള ഏതൊരു ബിന്ദുവിലേയ്ക്കുമുള്ള അകലം തുല്യമായിരിയ്ക്കും.

കേന്ദ്രബിന്ദുവിൽ നിന്ന് വൃത്തത്തിലെ ഏതൊരു ബിന്ദുവിലേക്കും ഉള്ള ദൂരത്തെ ആരം എന്നു പറയുന്നു. വൃത്തപരിധിയും വിസ്തീർണ്ണവും ആരത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് നിർണ്ണയിയ്ക്കുന്നത്.

വൃത്തത്തിലെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾ കൂട്ടി യോജിപ്പിക്കുമ്പോഴുണ്ടാകുന്ന രേഖാഖണ്ഡം അതിന്റെ കേന്ദ്രത്തിലൂടെ കടന്നു പോകുന്നുവെങ്കിൽ ആ രേഖാഖണ്ഡത്തിന്റെ നീളത്തെയാണു വ്യാസം എന്നു പറയുന്നത്.

സവിശേഷതകൾ

• വൃത്തത്തിലെ ഒരു വ്യാസത്തിൻ്റെ അറ്റങ്ങൾ വൃത്തത്തിലെ മറ്റേതൊരു ബിന്ദുവുമായി യോജിപ്പിച്ചാലും കിട്ടുന്നത് മട്ടകോൺ ആണ്.
• വൃത്തത്തിലെ ഒരു വ്യാസത്തിൻ്റെ രണ്ടറ്റത്തു നിന്ന് വരയ്ക്കുന്ന വരകൾ പരസ്പരം ലംബമാണെങ്കിൽ അവ കൂട്ടിമുട്ടുന്നത് വ്യത്തിലായിരിക്കും.
• ഒരു വരയുടെ രണ്ടറ്റത്തുനിന്ന് പരസ്പരം ലംബമായി വരയ്ക്കുന്ന വരകളെല്ലാം, ആ വര വ്യാസമായ വൃത്തത്തിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്നു.

 

ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു ബിന്ദുവിൽ ആരംഭിച്ച് അതേ വൃത്തത്തിലെ മറ്റൊരു ബിന്ദുവിൽ അവസാനിക്കുന്ന രേഖയെ ഞാൺ എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഏറ്റവും നീളമേറിയ ഞാൺ അതിന്റെ വ്യാസമാണ്‌.

സവിശേഷതകൾ

• വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസമല്ലാത്ത മറ്റേതെങ്കിലും ഞാൺ അതിന്റെ ഒരു വശത്ത് വൃത്തത്തിലുണ്ടാക്കുന്ന കോണുകളെല്ലാം തുല്യമായിരിക്കും.
• ഒരു വൃത്തത്തിലെ രണ്ടു ഞാണുകൾ വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ മുറിച്ചു കടക്കുമ്പോൾ, രണ്ടു ഞാണുകളുടെയും ഭാഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലം തുല്യമാണ്.
• ഒരു വൃത്തത്തിലെ രണ്ടു ഞാണുകൾ വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ മുറിച്ചുകടക്കുമ്പോൾ, ഓരോ ഞാണിന്റെയും ഭാഗങ്ങൾ വശങ്ങളായ ചതുരങ്ങൾക്ക് ഒരേ പരപ്പളവാണ്.
• വൃത്തത്തിലെ ഒരു വ്യാസത്തിനെ അതിനു ലംബമായ ഒരു ഞാൺ മുറിക്കുന്ന ഭാഗങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം, ഞാണിന്റെ പകുതിയുടെ വർഗമാണ്.
• വൃത്തത്തിലെ ഒരു വ്യാസത്തിനെ അതിനു ലംബമായ ഒരു ഞാൺ മുറിക്കുന്ന ഭാഗങ്ങൾ വശങ്ങളായ ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, ഞാണിന്റെ പകുതി വശമായ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവിനു തുല്യമാണ്.
• ഒരു ചതുരത്തിനെ അതേ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരമാക്കാൻ ഈ തത്വം ഉപയോഗിക്കാം.

വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ മാത്രം കടന്ന് പോകുന്ന ഏത് വരകളേയും തൊടുവരകൾ(tangent) എന്നു പറയുന്നു.

സവിശേഷതകൾ

• തൊടുവര വൃത്തത്തെ സ്പർശിക്കുന്ന ബിന്ദുവിലേക്ക് വരയ്ക്കുന്ന ആരവും തൊടുവരയും പരസ്പരം ലംബമായിരിക്കും.
• വൃത്തത്തിന്റെ പുറത്തുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും വൃത്തത്തിലേക്ക് വരയ്ക്കുന്ന തൊടുവരകളുടെ നീളം തുല്യമായിരിക്കും.
• വൃത്തിന് പുറത്തുള്ള ഒരു ബിന്ദു, P -യിൽ വൃത്തത്തിലെ A, B എന്നീ ബിന്ദുക്കളിൽ നിന്നുള്ള രണ്ട് തെടുവരകൾ സംഗമിക്കുകയാണെങ്കിൽ, (വൃത്തകേന്ദ്രത്തെ O എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു) ∠ AOB യുടെയും ∠ APB യുടെയും തുക 180° ആയിരിക്കും

വൃത്തപരിധിയുടെ ഒരു ഭാഗത്തേയാണ് ചാപം എന്ന് പറയുന്നത്. വൃത്തചാപം ഡിഗ്രിയിലാണ് പറയുന്നത്.

സവിശേഷതകൾ

• വൃത്തത്തിലെ ഏതു ചാപവും കേന്ദ്രത്തിലുണ്ടാക്കുന്ന കോണിന്റെ പകുതിയാണ് മറുചാപത്തിലുണ്ടാക്കുന്ന കോൺ.
• വൃത്തത്തിലെ ഒരു ചാപം, മറുചാപത്തിലുണ്ടാക്കുന്ന കോണുകളെല്ലാം തുലമാണ്; അതേചാപത്തിലും മറുചാപത്തിലുമുണ്ടാക്കുന്ന ഏത് ജോടി കോണുകളും അനുപൂരകമാണ്.

വൃത്തത്തിന്റെ വക്രതയുടെ അതിർത്തിയെയാണ് വൃത്തപരിധി കൊണ്ടുദ്ദേശിക്കുന്നത്. അതിർത്തിയുടെ നീളമാണ് വൃത്തപരിധിയുടെ അളവ്. വൃത്തപരിധിയെ 360 തുല്യഡിഗ്രികളാക്കി ഭാഗിച്ചിരിയ്ക്കുന്നു. വൃത്തപരിധിയും വ്യാസവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധമാണ് പൈ, ഇതിന്റെ അളവാണ് 3.14159265. ദ്വിമാനതലത്തിൽ തുല്യചുറ്റളവുള്ള ഏതൊരു രൂപത്തേക്കാളും വിസ്തീർണ്ണം കൂടുതൽ വൃത്തത്തിനാണ്.

• വൃത്തപരിധിയുടെ നീളം(C) അളക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം:-

${\displaystyle C=\pi d=2\pi \cdot r}$ 

r = ആരം, ${\displaystyle \pi }$  പൈ = 3.1415926

• വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർ‌ണ്ണം(A) അളക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം:-

${\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}}$ 

• വൃത്തത്തിന്റെ ചാപത്തിന്റെ നീളം = വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് × ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ / 360°

•  
  വൃത്തപരിധി

സവിശേഷതകൾ

• ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ മൂലകളെല്ലാം ഒരു വൃത്തത്തിലാണെങ്കിൽ അതിന്റെ എതിർകോണുകൾ അനുപൂരകമാണ്.
• ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ മൂന്നു മൂലകളിൽക്കൂടി വരയ്ക്കുന്ന വൃത്തത്തിനു പുറത്താണ് നാലാമത്തെ മൂലയെങ്കിൽ, ആ മൂലയിലേയും എതിർമൂലയിലേയും കോണുകളുടെ തുക 180° യേക്കാൾ കുറവാണ്; അകത്താണെങ്കിൽ തുക 180 ° യേക്കാൾ കൂടുതലും.
• ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ എതിർകോണുകൾ അനുപൂരകമാണെങ്കിൽ അതിന്റെ നാലു മൂലകളിൽക്കൂടിയും കടന്നു പോകുന്ന വൃത്തം വരയ്ക്കാം.
• നാലു മൂലകളിൽക്കൂടിയും വൃത്തം വരയ്ക്കാൻ കഴിയുന്ന ചതുർഭുജത്തിന് 'ചക്രീയചതുർഭുജം' (Cyclic quadrilateral) പറയുന്നു. എതിർകോണുകൾ അനുപൂരകമായ ചതുർഭുജങ്ങളാണ് ചക്രീയചതുർഭുജങ്ങൾ.
• എല്ലാ ചതുരങ്ങളും സമപാർശ്വലംബകങ്ങളും ചക്രീയചതുർഭുജങ്ങളാണ്.