Circunferencia

Hai una desemeyanza bien nidia ente circunferencia y círculu: la primera, la circunferencia, ye la llinia que llenda l'área, y el segundu, el círculu, ye la llinia más tol área interior.

Circunferencia
forma
anallagmatic curve (en) , Ribaucour curve (en) , espiral sinusoidal (es) , llugar xeométricu, variedá analítica, elipse, Rosa polar (es) , hiperesfera, curva de ancho constante (es) , Zindler curve (en) , círculo generalizado (es) , Sección cónica, primitiva geométrica (es) y figura geométrica (es)

Ye la curva de máxima simetría bidimensional y les sos aplicaciones son mui numberoses. En xeometría analítica, l'ecuación en coordenaes cartesianes d'una circunferencia centrada nel puntu (h, k) y de radiu "r", ye:

${\displaystyle (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\,}$

Desendolcando l'ecuación, tenemos:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\,}$

siendo ${\displaystyle h={\frac {-D}{2}}}$; ${\displaystyle k={\frac {-E}{2}}}$ y ${\displaystyle r={\sqrt {h^{2}+k^{2}-F}}}$

La llonxitú d'una circunferencia ye:

${\displaystyle L=2\cdot \pi \cdot r}$

onde ${\displaystyle r}$ = radiu; y ${\displaystyle \pi }$ (el númberu pi) ye'l cociente ente'l diámetru y la llonxitú de la circunferencia.

La circunferencia de centru nel orixe de coordenaes y radiu 1 denómase circunferencia unidá y en matemática universal úsase pa desiñar la llonxitú de la llende d'un discu de radiu finitu.

 

Ecuación en coordenaes cartesianes

Nún sistema de coordenaes cartesianes x-y, la circunferencia con centru nel puntu (a, b) y radiu c consta de tolos puntos (x, y) que faen cumplir l'ecuación

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2}\,}$ .

Cuando'l centru tá nel orixe (0, 0), l'ecuación d'enantes simplifícase a:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}.\,}$ 

La circunferencia con centru nel orixe y de radiu igual a ${\displaystyle 1}$  ye nomada circunferencia unidá (o circunferencia xunitaria).

Si n'arróu del centru y el radiu, dannos dos puntos ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$  estremos d'un diámetru, la circunferencia queda describía pola ecuación.

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0.\,}$ 

Ecuación en coordenaes polares

Cuando la circunferencia tien centru nel orixe y el radiu ye c, descríbese en coordenaes polares como ${\displaystyle (r,\theta )}$ 

${\displaystyle r=c.\,}$ 

Cuando'l centru nun tá nel orixe, sino nel puntu ${\displaystyle (s,\alpha )}$  y el radiu ye ${\displaystyle c}$ , l'ecuación conviértese en:

${\displaystyle r^{2}-2sr\,\cos(\theta -\alpha )+s^{2}=c^{2}}$ 

Ecuación en coordenaes paramétriques

Tamién ye dable describir una circunferencia usando parametrizaciones. La circunferencia con centru en (a, b) y radiu c parametrízase con funciones trigonométriques como:

${\displaystyle x=a+c\cos t,\ y=b+c\sin t,\qquad t\in [0,2\pi ]}$ 

y con funciones racionales como

${\displaystyle x=a+c\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right),\ y=b+c\left({\frac {2t}{1+t^{2}}}\right),\qquad -\infty \leq t\leq \infty }$ 

 

Hai delles reutes y puntos especiales na circunferencia. Un segmentu que xune dos puntos de la circunferencia nómase cuerda. A les cuerdes de llonxitú máximo (aquelles que pasen pel centru) nómase-yos diámetros. Coñozse como radiu del círculu a cualesquier segmentu que xune'l centru cola circunferencia, asina como a la llonxitú de los mesmos.

Una llinia qu'atraviesa la circunferencia, tayándola en dos puntos, nómase secante, metantu que una llinia que cinca a la circunferencia namái nún puntu denómase tanxente. El puntu de contautu de la tanxente cola circunferencia nómase puntu de tanxencia. El radiu que xune'l centru col puntu de tanxencia ye perpendicular a la tanxente.

L'área del círculu dellimitáu pola circunferencia ye:

${\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}}$ 

Esta fórmula débese a que, sabiendo que l'área de cualesquier polígonu regular ye igual al productu de la apotema y el perímetru del polígonu, dixebráu por 2, ye dicir: ${\displaystyle A={\frac {p\cdot a}{2}}}$ .

...y aproximando la circunferencia como'l llímite de polígonos regulares, entós l'apotema coincidi col radiu de la circunferencia, y el perímetru cola llonxitú, poro:

${\displaystyle A={\frac {p\cdot a}{2}}={\frac {L\cdot r}{2}}={\frac {(2\cdot \pi \cdot r)\cdot r}{2}}={\frac {2\cdot \pi \cdot r^{2}}{2}}=\pi \cdot r^{2}}$ 

El teorema de Tales diz que si los tres vértices d'un triángulu tán sobro una circunferencia dada, con ún de los sos llaos siendo'l diámetru de la circunferencia, entóncenes l'ángulu aviesu a ésti ye un ángulu reutu.

 

Daos tres puntos cualesquier que nun pertenezcan a una mesma reuta, existe una única circunferencia que caltién a estos tres puntos (esta circunferencia refierse como circunscrita al triángulu definíu por estos puntos). Daos tres puntos ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$ , l'ecuación de la circunferencia tá dada de mena cenciella pola determinante matricial:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}x&y&x^{2}+y^{2}&1\\x_{1}&y_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&1\\x_{2}&y_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&1\\x_{3}&y_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&1\\\end{bmatrix}}=0.}$ 

Una circunferencia ye una seición cónica, con escentricidá cero.

• Círculu
• Seición cónica

•   Wiki Commons tien conteníu multimedia tocante a Circunferencia.