Κύκλος ή περιφέρεια με κέντρο Κ και ακτίνα ρ, είναι το γεωμετρικό σχήμα που απαρτίζεται από τα σημεία του επιπέδου που ισαπέχουν από το Κ απόσταση ρ.
Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. |
Συμβολίζουμε C(Κ,ρ). Με εναλλακτική διατύπωση, ο κύκλος ορίζεται ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο.
Κάθε σημείο Μ του επιπέδου του κύκλου C(Κ,ρ) για το οποίο ισχύει ΜΚ < ρ, λέγεται εσωτερικό σημείο του κύκλου. Αντίστοιχα κάθε σημείο Ν του επιπέδου για το οποίο ΝΚ > ρ λέγεται εξωτερικό σημείο του κύκλου. Το σύνολο των εσωτερικών σημείων του κύκλου ονομάζεται εσωτερικό του κύκλου και ο κύκλος μαζί με το εσωτερικό του λέγεται κυκλικός δίσκος. Στο σχήμα 2 το εξωτερικό του κύκλου δηλώνεται με το ελαφρό γκρίζο ενώ το εσωτερικό με το έντονο γκρίζο.
Ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία ενός κύκλου λέγεται χορδή του κύκλου. Όταν αυτή περιέχει το κέντρο του, λέγεται διάμετρος και τα άκρα της χαρακτηρίζονται αντιδιαμετρικά.
Κατά τον Ευκλείδη (Στοιχεία, βιβλίο πρώτο), "Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ' ἑνὁς σημείου τῶν εντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται. Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεία τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον".
Στον παραπάνω ορισμός ο Ευκλείδης ταυτίζει τον κύκλο με τον δίσκο. Για αυτό το λόγο εμφανίζεται ο όρος περιφέρεια. Με άλλα λόγια οι λέξεις περιφέρεια και κύκλος περίεγραφαν στην αρχαιότητα αυτά που σε σημερινή ορολογία λέμε κύκλος και δίσκος αντίστοιχα.
Μία γωνία λέγεται επίκεντρη όταν η κορυφή της είναι το κέντρο ενός κύκλου. Κάθε γωνία μπορούμε να την καταστήσουμε επίκεντρη θεωρώντας έναν κύκλο (αυθαίρετης ακτίνας) γύρω από την κορυφή της.
Έστω ένας κύκλος και μια επίκεντρη γωνία που τέμνει τον κύκλο στα Α και Β. Τόξο ΑΒ είναι το σύνολο των σημείων του κύκλου που βρίσκονται εντός της γωνίας. Κάθε ζεύγος σημείων πάνω σε κύκλο ορίζει δύο επίκεντρες γωνίες, άρα και δύο τόξα. Αν η χορδή ΑΒ είναι διάμετρος τότε τα τόξα αυτά λέγονται ημικύκλια. Στην αντίθετη περίπτωση το ένα τόξο λέγεται μείζον και το άλλο έλασσον· μείζον είναι το τόξο της οποίας η επίκεντρη γωνία δεν είναι κυρτή.
Στο σχήμα 3, αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας ΑΚΒ θα λέμε το έλασσον τόξο ΑΒ. Λέμε επίσης ότι η γωνία ΑΚΒ βαίνει στο τόξο ΑΒ, και ότι το τόξο ΑΒ φαίνεται υπό γωνία ΑΚΒ.
Εγγεγραμμένη γωνία σε κύκλο λέγεται η γωνία που έχει τη κορυφή της σε κύκλο και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο αυτό.
Κυκλικός τομέας λέγεται κάθε γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από τα κοινά σημεία ενός κυκλικού δίσκου και μίας επίκεντρης γωνίας του, όπως είναι το γραμμοσκιασμένο σύνολο του σχήματος 3.
Σε έναν κύκλο, ίσες επίκεντρες γωνίες βαίνουν σε ίσα τόξα. Αντίστροφα, σε ένα κύκλο ίσα τόξα φαίνονται υπό ίσες επίκεντρες γωνίες.
Απόδειξη ευθέος: Ας είναι C(Κ,ρ) ένας κύκλος και ΑΚΒ, ΓΚΔ ίσες επίκεντρες γωνίες που βαίνουν αντίστοιχα στα τόξα ΑΒ και ΓΔ. Μετατοπίζουμε τη γωνία ΓΚΔ έτσι ώστε η ημιευθεία ΚΔ να ταυτιστεί με την ημιευθεία ΚΒ. Τότε η ημιευθεία ΚΓ θα ταυτιστεί με την ημιευθεία ΚΑ από την ισότητα των γωνιών και τα σημεία Γ και Δ θα ταυτιστούν με τα σημεία Α και Β αντίστοιχα επειδή ΚΑ = ΚΒ = ΚΓ = ΚΔ = ρ (ισότητα ευθύγραμμων τμημάτων).
Επίσης, κάθε σημείο του τόξου ΓΔ συμπίπτει κατά τη μετατόπισή του με ένα σημείο του τόξου ΑΒ: αν υπήρχε σημείο του τόξου ΓΔ που δεν θα ανήκε στο τόξο ΑΒ, τότε θα έπρεπε να είναι είτε εξωτερικό είτε εσωτερικό σημείο του κύκλου, που είναι σε κάθε περίπτωση αδύνατο αφού είναι σημείο τόξου του κύκλου (απαγωγή σε άτοπο)· συνεπώς τα τόξα είναι ίσα.
Απόδειξη αντίστροφου: Ας είναι C(Κ,ρ) ένας κύκλος και ΑΒ, ΓΔ ίσα τόξα που φαίνονται αντίστοιχα υπό τις επίκεντρες γωνίες ΑΚΒ και ΓΚΔ. Μετατοπίζουμε το τόξο ΓΔ έτσι ώστε να ταυτιστεί με το τόξο ΑΒ. Τότε η πλευρά γωνίας ΚΓ ταυτίζεται με την ΚΑ και η ΚΔ ταυτίζεται με την ΚB και έτσι οι γωνίες είναι ίσες.
Απόδειξη: Αν Μ είναι το μέσο ενός τόξου ΑΒ, τότε θα είναι ΑΜ = ΜΒ (ισότητα τόξων). Για τις αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες θα ισχύει ΑΚΜ = ΜΚΒ (ισότητα γωνιών), που σημαίνει ότι η ημιευθεία ΚΜ είναι η διχοτόμος της γωνίας ΑΚΒ. Η διχοτόμος μίας γωνίας όμως είναι από αξίωμα μοναδική, συνεπώς το Μ θα είναι και αυτό μοναδικό.
Απόδειξη ευθέος: Ας είναι C(Ο,ρ) ένας κύκλος και ΑΒ, ΓΔ δύο ίσα τόξα σε αυτόν. Θεωρούμε τις ακτίνες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ και τις χορδές ΑΒ και ΓΔ. Σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ είναι ίσα. Συνεπώς θα είναι και ΑΒ = ΓΔ.
Απόδειξη αντίστροφου: Θεωρούμε δύο ίσες χορδές ΑΒ, ΓΔ σε κύκλο C(Ο,ρ). Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ που σχηματίζονται είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς. Συνεπώς ΑΟΒ = ΓΟΔ (ισότητα γωνιών) από όπου ΑΒ = ΓΔ (ισότητα τόξων).
Απόδειξη: Ας είναι C(Ο,ρ) κύκλος και ΑΒ μία χορδή του. Αν ΟΜ είναι το απόστημα της ΑΒ τότε τα τρίγωνα ΟΜΒ και ΟΜΑ είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη και υποτείνουσα ίση. Έτσι ΜΑ = ΜΒ, άρα το Μ θα είναι μέσο της ΑΒ και ΜΟΑ = ΜΟΒ (ισότητα γωνιών), δηλαδή ΝΑ = ΝΒ (ισότητα τόξων) και το Ν είναι το μέσο του τόξου ΑΒ.
Απόδειξη ευθέος: Ας είναι ΑΒ και ΓΔ ίσες χορδές σε κύκλο C(Ο,ρ). Φέρνουμε τα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ και τις ακτίνες ΟΑ και ΟΓ αντίστοιχα. Τα τρίγωνα ΟΚΑ και ΟΛΓ είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με ρ. Έτσι και οι ΟΚ και ΟΛ θα είναι ίσες.
Απόδειξη αντίστροφου: Έστω ΑΒ και ΓΔ χορδές σε κύκλο C(Ο,ρ) με ίσα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ αντίστοιχα. Φέρνουμε τις ακτίνες ΟΑ και ΟΓ. Τα τρίγωνα ΟΚΑ και ΟΛΓ είναι ίσα ως ορθογώνια με ίση κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα ίση με ρ. Έτσι και ΑΚ = ΓΛ, δηλαδή οι χορδές θα είναι ίσες μεταξύ τους.
όπου .
Η εξίσωση, σε Καρτεσιανές συντεταγμένες, του κύκλου με κέντρο και ακτίνα είναι:
Όταν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων τότε η εξίσωση του κύκλου έχει τη μορφή :
Η εφαπτομένη του κύκλου αυτού σε ένα σημείο έχει εξίσωση της μορφής :
Η εξίσωση :
όταν , είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο το σημείο και ακτίνα
Οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου είναι:
με παράμετρο το .
Η εξίσωση ενός κύκλου σε πολικές συντεταγμένες με κέντρο το είναι:
Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |
This article uses material from the Wikipedia Ελληνικά article Κύκλος, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Το περιεχόμενο είναι διαθέσιμο υπό CC BY-SA 4.0 εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Ελληνικά (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.