Tvinntölur

Talnamengi í stærðfræði
${\displaystyle \mathbb {N} }$	Náttúrlegar tölur
${\displaystyle \mathbb {Z} }$	Heiltölur
${\displaystyle \mathbb {Q} }$	Ræðar tölur
${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$	Óræðar tölur
${\displaystyle \mathbb {R} }$	Rauntala
${\displaystyle \mathbb {C} }$	Tvinntölur
${\displaystyle \mathbb {H} }$	Fertölur
${\displaystyle \mathbb {O} }$	Áttundatölur
${\displaystyle \mathbb {S} }$	Sextándatölur

Þannig er tvinntalan ${\displaystyle z}$ skilgreind sem ${\displaystyle z=x+iy}$, þar sem ${\displaystyle i}$ er ${\displaystyle i^{2}=-1\!}$ og ${\displaystyle y}$ og ${\displaystyle x}$ eru rauntölur. Mengi þetta er táknað með stafnum ${\displaystyle \mathbb {C} }$, og er það skilgreint með mengjaskilgreiningarhætti á eftirfarandi hátt:

${\displaystyle \mathbb {C} =\left\{(x+iy)|x,y\in \mathbb {R} \land i^{2}=-1\right\}}$

Breyturnar ${\displaystyle x}$ og ${\displaystyle y}$ í tvinntölunni ${\displaystyle x+yi}$ eru notaðar sem hnit í hnitakerfi tvinntalna, sem gjarnan er kallað tvinnsléttan. Er tvinntalan x+yi þá oft táknuð sem hnitið (x,y). Tvinnsléttan er í raun bara tvívíð talnalína þar sem að önnur víddin lýsir rauntölum, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, en hin lýsir þvertölum, þ.e. þeim tölum sem fást með því að margfalda saman rauntölu ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ og fastann ${\displaystyle i^{2}=-1\!}$. Tvinntalan x + yi er sögð vera á rétthyrndu formi.

Aðgerðir í mengi tvinntalna eru þær sömu og í rauntalnamenginu, en eru víðtækari að því leyti, að í ${\displaystyle \mathbb {C} }$  eru allar margliðujöfnur með rauntölustuðlum leysanlegar og hafa jafnmargar lausnir og stig margliðunnar segir til um þ. e. a. s. að margliðujafna af stigi n hefur n lausnir í ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ). Einnig er hægt að draga hvaða rót sem vera skal af sérhverri rauntölu og enn fremur að reikna logra af sérhverri tölu nema af núlli. Ekkert af þessu er mögulegt í mengi rauntalna nema að sérstaklega vel standi á.

Helstu aðgerðirnar eru skilgreindar á eftirfarandi hátt, þar sem ${\displaystyle z=x_{1}+y_{1}i}$  og ${\displaystyle w=x_{2}+y_{2}i}$  :

• Samsemd: ${\displaystyle z=w}$  þ.þ.a.a. ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$  og ${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$ 
• Samlagning: ${\displaystyle z+w=\left(x_{1}+y_{1}i\right)+\left(x_{2}+y_{2}i\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)+\left(y_{1}+y_{2}\right)i}$ 
• Margföldun: ${\displaystyle zw=\left(x_{1}+y_{1}i\right)\left(x_{2}+y_{2}i\right)=\left(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}\right)+\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)i}$ 
• Deiling: ${\displaystyle {\frac {z}{w}}={\frac {z{\bar {w}}}{|w|^{2}}}={\frac {\left(x_{1}+y_{1}i\right)\left(x_{2}-y_{2}i\right)}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}$ 

• Margföldunarandhverfa: Ef ${\displaystyle zw=1}$  eru tvinntölurnar sagðar (margföldunar)andhverfa hvor annarrar. Þá er:

${\displaystyle z={\frac {\bar {w}}{|w|^{2}}}}$  eða ${\displaystyle w={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}}$ 

Ef ${\displaystyle z=x+yi}$  er talan ${\displaystyle {\bar {z}}=x-yi}$  sögð vera samoka henni. Samoka tvinntölur hafa ýmsa áhugaverða eiginleika:

${\displaystyle z+{\bar {z}}=2x}$ 
${\displaystyle z-{\bar {z}}=2yi}$ 
${\displaystyle z{\bar {z}}=|z|^{2}}$ 
${\displaystyle {\frac {z}{\bar {z}}}={\frac {z^{2}}{|z|^{2}}}}$ 

Til þess að fá uppgefinn eingöngu raunhluta tvinntölunnar ${\displaystyle z=x+yi}$  er notað fallið ${\displaystyle \Re \left(z\right)}$  og er það skilgreint svo:

${\displaystyle \Re \left(z\right)=x={\frac {1}{2}}\left(z+{\bar {z}}\right)}$ 

Fyrir þverhlutann er fallið ${\displaystyle \Im \left(z\right)}$  notað, en skilgreining þess er:

${\displaystyle \Im \left(z\right)=y={\frac {1}{2i}}\left(z-{\bar {z}}\right)}$ 

Í stað ${\displaystyle \Re \left(z\right)}$  og ${\displaystyle \Im \left(z\right)}$  er oft ritað Re(z) og Im(z). Báðir rithættirnir eru jafngildir þar sem Re stendur fyrir real og á við raunhlutann og Im stendur fyrir imaginary og á við þverhlutann. Sérstaka athygli skal vekja á því að ${\displaystyle \Im \left(z\right)}$  gefur rauntöluna ${\displaystyle y}$ , ekki þvertöluna ${\displaystyle yi}$ .

Hægt er að nota algildisfallið til þess að fá uppgefna fjarlægð tvinntölu frá núllpunkti tvinnsléttunnar:

${\displaystyle u=p+iq,\ |u|={\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}$ 

Pólhnit

Pólhnit eru á forminu ${\displaystyle \left(r,\theta \right)}$ , þar sem að ${\displaystyle r}$  lýsir lengd punktsins frá miðpunkti, og ${\displaystyle \theta }$  lýsir horni punktsins frá raunásnum í jákvæða stefnu. Til þess að reikna tvinntölu yfir í pólhnit er notuð reglan

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\land \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}$  fyrir tvinntöluna ${\displaystyle x+yi}$ 

Til þess að reikna þetta til baka er svo reiknað:

${\displaystyle x=r\cdot \cos \left(\theta \right)}$ 
${\displaystyle y=r\cdot \sin \left(\theta \right)}$ 

Helsta ástæða þess að gott sé að breyta tvinntölum í pólhnit er sú að þá verður margföldun og deiling að hægðarleik, og jafnframt gildir regla De Moivres um tvinntölu í rauntöluveldi:

${\displaystyle \left(r\left(\cos \left(\theta \right)+i\cdot \sin(\theta \right)\right)^{n}=r^{n}\left(\cos \left(n\theta \right)+i\sin \left(n\theta \right)\right)}$ 

Margföldun og deiling virka þannig:

${\displaystyle \left(a,\alpha \right)\left(b,\beta \right)=\left(a\cdot b,\alpha +\beta \right)}$ 

${\displaystyle {\frac {\left(a,\alpha \right)}{\left(b,\beta \right)}}=\left({\frac {a}{b}},\alpha -\beta \right)}$ 

og frá margföldunarreglunni er hægt að draga veldisreiknireglu:

${\displaystyle (r,\theta )^{n}=(r^{n},n\cdot \theta )}$ 

Veldareglan gildir jafnframt um brotin veldi (rætur), þannig að:

${\displaystyle {\sqrt {(r,\theta )}}=(r,\theta )^{\frac {1}{2}}=({\sqrt {r}},{\frac {\theta }{2}})}$ 

Veldi

Hægt er að rita tvinntölur sem veldi af e, þ.e. ${\displaystyle e^{z}}$  þar sem að z er tvinntala.

${\displaystyle z=x+yi}$ 
${\displaystyle e^{z}=e^{x+yi}=e^{x}\cdot e^{yi}}$ 

Raunhluti tvinntölunnar er þá samsvarandi vísisfallinu ${\displaystyle e^{x}}$ , en um þverhlutann gildir að

${\displaystyle e^{yi}=cos(y)+isin(y)}$ 

Þar sem að allar rétthyrndar tvinntölur má líka rita í pólhnitum, þannig að

${\displaystyle z=r\cdot \left(\cos(\theta )+i\sin(\theta )\right)}$ 
má segja að:
${\displaystyle z=x+iy=(r,\theta )=re^{i\theta }}$ 

Margföldun tvinntalna í þessu formi er þannig að:

${\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}e^{i\phi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\phi _{2}}=r_{1}r_{2}\cdot e^{i\phi _{1}+i\phi _{2}}=r_{1}r_{2}\cdot e^{i(\phi _{1}+\phi _{2})}}$ 

Hægt er að leiða reglu Eulers út frá þessu:

${\displaystyle e^{i\phi }=\cos(\phi )+i\sin(\phi )\land e^{-i\phi }=\cos(\phi )-i\sin(\phi )}$ 
${\displaystyle \cos(\phi )={\frac {e^{i\phi }+e^{-i\phi }}{2}}\land \sin(\phi )={\frac {e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}}}$