Momenti I Inercisë

Ndyshe ai mund të kuptohet si inercia e një trupi të ngurtë në rrotullim në lidhje me pikën e rrotullimit. Moment i inercisë luan të njëjtin rol në lëvizjen rrotulluese që masa luan në dinamikën e thjeshte, kjo madhësi përcakton lidhjet mes momentit këndor dhe shpejtësisë këndore, krahut të forcës dhe nxitimit këndor, si dhe shume madhësive të tjera. Edhe pse një trajtim i thjeshtë skalar i momentit të inercisë mjafton për një pjesë të mirë rastesh, një trajtim më i avancuar i bazuar në analizën tensoriale duhet të bëhet për sisteme më të komplikuar si për trupat rrotullues apo për lëvizjen xhiroskopike.

Simboli ${\displaystyle I}$ ose ndonjëherë ${\displaystyle J}$ përdoren zakonisht për të treguar momentin e inercisë.

Momenti i inercisë u paraqit për herë të parë nga Ojleri në librin e tij Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum në 1730. Në këtë libër, ai diskuton me detaje të shumta momentin e inercisë dhe koncepte të tjera të si, akset principale të inercisë, të cilat kanë të bëjnë me momentin e inercisë.

Përcaktimi

Nje përcaktim i thjeshte i momentit të inercisë së çdo objekti, qoftë ai i një pikë lëndore apo një strukturë 3-dimensionale, jepet nga :

${\displaystyle I=\int r^{2}\,dm}$ 

ku

m është masa,
dhe r është distance (pingule) e pikës lëndore nga boshti i rrotullimit.

Një analizim i detajuar

Momenti (skalar) i inercisë i një pikë lëndore që rrotullohet rreth një aksi jepet nga

${\displaystyle I\triangleq mr^{2}\,\!}$ .

Momenti i inercise eshte aditiv. Pra, per nje trup të ngurtë që konsiston nga ${\displaystyle N}$  pika lëndore ${\displaystyle m_{i}}$  me distanca ${\displaystyle r_{i}}$  nga boshti i rrotullimit, moment total i inercisë është i barabartë më shumën e momenteve të inercisë së pikave lëndore:

${\displaystyle I\triangleq \sum _{i=1}^{N}{m_{i}r_{i}^{2}}\,\!}$ 

Për një trup të ngurtë që përshkruhet nga një funksion densiteti të vazhdueshem të masës ρ(r), moment i inercise rreth një aksi të njohur mund te llogaritet duke integruar katrorin e distances (të peshuar nga densiteti i masës) nga një pikë e trupit deri tek bosti i rrotullimit:

${\displaystyle I\triangleq \iiint _{V}r^{2}\,\rho ({\boldsymbol {r}})\,dV\!}$ 

ku

V është volume i zënë nga objekti.
ρ është funksioni i densitetit hapesinore të objektit dhe
${\displaystyle {\boldsymbol {r}}\equiv (r,\theta ,\phi ),(x,y,z),ose(r,\theta ,z)}$  janë kordinatat e pikës brenda trupit.

 

Vetem duke u bazuar n analizen dimensionale , shikojmë se moment i inercise in je trupi qe nuk mund te modelohet si pikë lendore duhet të marre formën:

${\displaystyle I=k\cdot M\cdot {R}^{2}\,\!}$ 

ku

M është masa
R është rrezja e objektit nga qendra e mases (ne disa raste , gjatesia e objektit perdoret.)
k është nje konstate pa dimensione e quajtur konstantja e inercise e cila varjon per objektin qe merret ne konsiderate.

Konstantet inerciale përdoren për të marrë parasysh diferencat në vendosjen e masës nga qëndra e rrotullimit. Disa shembuj janë:

• k = 1, unazë e hollë ose cilinder me mure shumë të holla rreth qëndrës së tij,
• k = 2/5, sfere e ngurte rreth qendres
• k = 1/2, cylinder i ngurtë ose disk rreth qëndrës.

Per shembuj te tjere ,shikoni Lista e momenteve të inercisë.

Teorema e aksit parallel

Trupat e përbërë

Ekuacione që përfshine momentin e inercisë

Percaktimi

Per nje object te ngurte te perbere nga ${\displaystyle N}$  pika lendore ${\displaystyle m_{k}}$ , tensori i momentit te inercise jepet nga

${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}}$ .

Komponentet e saj percaktohen si

${\displaystyle I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(r_{k}^{2}\delta _{ij}-r_{ki}r_{kj})\,\!}$ 

ku

i, j jane te barabarta me 1, 2, or 3 per x, y, and z, respektivisht,
r_k eshte distanca e mases k rreth pikes nga e cila llogaritet tensori, dhe
${\displaystyle \delta _{ij}}$  eshte delta e Kronekerit.

Elementet e diagonals mund te shkruhen ne menyre me te permbledhur si

${\displaystyle I_{xx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!}$ 
${\displaystyle I_{yy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!}$ 
${\displaystyle I_{zz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}),\,\!}$ 

Kurse elementet jashte diagonales, qe njihen si produktet e inercise, jane

${\displaystyle I_{xy}=I_{yx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\,\!}$ 
${\displaystyle I_{xz}=I_{zx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\,\!}$  and
${\displaystyle I_{yz}=I_{zy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k},\,\!}$ 

Ketu ${\displaystyle I_{xx}}$  jep momentin e inercise rreth bushtit-${\displaystyle x}$  kur objektet rrotullohen rreth aksit-x, ${\displaystyle I_{xy}}$  tregon momentin e inercise rreth aksit-${\displaystyle y}$  kur objektet rrotullohen rreth aksit-${\displaystyle x}$ , e keshtu me rradhe.

Keto madhesi mund te pergjithesohen tek nje object me nje densitet constant ne nje menyre te ngjashme me momentin skalar te inercise. Tani marrim

${\displaystyle \mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (x,y,z)\left(r^{2}\mathbf {E} _{3}-\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)\,dx\,dy\,dz,}$ 

ku ${\displaystyle \mathbf {r} \otimes \mathbf {r} }$  eshte produkti i jashtem, E₃ eshte 3 &here; 3 matrica njesi, dhe V eshte nje rajon i hapesires qe e permban komplet objektin.

Derivimi i komponenteve te tensorit

Distanca ${\displaystyle r}$  e nje therrmije tek ${\displaystyle \mathbf {x} }$  nga boshti i rrotullimit qe kalon permes origjines ne drejtimin e ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$  eshte ${\displaystyle |\mathbf {x} -(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\mathbf {\hat {n}} |}$ . Duke perdorur formulen ${\displaystyle I=mr^{2}}$  (dhe pak algjeber te thjeshte vektoriale) del se momenti i inercise e kesaj therrmije (rreth boshtit te rrotullimit qe kalon nga origjina ne drejtimin ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$  ) eshte ${\displaystyle I=m(|\mathbf {x} |^{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {\hat {n}} )-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} )^{2}).}$  Kjo eshte nje formë kuadratike në ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$  dhe, pas disa manipulimesh algjebrike, kjo con tek nje formule tensoriale per momentin e inercise

${\displaystyle {I}=m[n_{1},n_{2},n_{3}]{\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{bmatrix}}}$ .

Kjo eshte formula ekzakte e dhene me poshte per momentin e inercise ne rastin e nje therrmije te vetme. Per shume therrmija duhet te kujtojme qe momenti i inercise eshte aditiv ne menyre qe te veme re qe kjo formule eshte korrekte.

Reduktimi ne nje madhesi skalare

Momentet principale te inercise

Teorema e aksit parallel

Madhesi te tjera mekanike

• Lista e momenteve te inercise
• Lista e momenteve te tensoreve te inercise
• Energjia rrotulluese
• Teoreme e aksit paralel
• Teorema e aksit perpendikular
• Elipsoidi i Poinsots

• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

• Landau LD and Lifshitz EM. (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

• Marion JB and Thornton ST. (1995) Classical Dynamics of Systems and Particles, 4th. ed., Thomson. ISBN 0-03-097302-3

• Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

• Tenenbaum, RA. (2004) Fundamentals of Applied Dynamics, Springer. ISBN 0-387-00887-X

• Angular momentum and rigid-body rotation in two and three dimensions Arkivuar 29 mars 2010 tek Wayback Machine
• A table of moments of inertia
• Lecture notes on rigid-body rotation and moments of inertia
• The moment of inertia tensor
• An introductory lesson on moment of inertia: keeping a vertical pole not falling down (Java simulation)