Momentu D'inercia

Cuando un cuerpu xira en redol a unu de los exes principales d'inercia, la inercia rotacional pue ser representada como una magnitú vectorial llamada momentu d'inercia. Sicasí, nel casu más xeneral posible la inercia rotacional tien de representase per mediu d'un conxuntu de momentos d'inercia y componentes que formen el llamáu tensor d'inercia. La descripción tensorial ye necesaria pal analís de sistemes complexos, por casu en movimientos giroscópicos.

El momentu d'inercia reflexa la distribución de masa d'un cuerpu o d'un sistema de partícules en rotación, al respeutive de una exa de xiru. El momentu d'inercia solo depende de la xeometría del cuerpu y de la posición de la exa de xiru; pero nun depende de les fuercies qu'intervienen nel movimientu.

El momentu d'inercia desempeña un papel análogu al de la masa inercial nel casu del movimientu rectillinio y uniforme. Ye'l valor esguilar del momentu angular llonxitudinal d'un sólidu ríxidu.

 

Dau un sistema de partícules y una exa arbitraria, el momentu d'inercia del mesmu defínese como la suma de los productos de les mases de les partícules pol cuadráu de la distancia r de cada partícula a dichu exa. Matemáticamente esprésase como:

${\displaystyle I=\sum m_{i}r_{i}^{2}\,}$ 

Pa un cuerpu de masa continuo (mediu continuu), xeneralízase como:

${\displaystyle I=\int _{m}r^{2}dm=\int _{V}\rho r^{2}\,dV}$ 

El subíndice V de la integral indica que s'integra sobremanera'l volume del cuerpu. Resuélvese al traviés d'una integral triple.

Esti conceutu desempeña nel movimientu de rotación un papel análogu al de masa inercial nel casu del movimientu rectillinio y uniforme. La masa inercial ye la resistencia que presenta un cuerpu a ser aceleráu en traslación y el momentu d'Inercia ye la resistencia que presenta un cuerpu a ser aceleráu en rotación. Asina, por casu, la Lleis de Newton#Segunda Llei de Newton o Llei de la Fuercia segundo llei de Newton: ${\displaystyle \scriptstyle {F=ma}}$  tien como equivalente pa la rotación:

${\displaystyle \tau =I\alpha \,}$ 

onde:

• ${\displaystyle \scriptstyle {\tau }}$  ye'l torque aplicáu al cuerpu.
• ${\displaystyle \scriptstyle {I}}$  ye'l momentu d'inercia del cuerpu con respectu a la exa de rotación y *

${\displaystyle \textstyle {\alpha ={d^{2}\theta \over dt^{2}}}}$  ye l'aceleración angular. Siempres y cuando la distancia con respectu al sistema de referencia permaneza constante.

La enerxía cinética d'un cuerpu en movimientu con velocidá v ye ${\displaystyle \scriptstyle {{1 \over 2}mv^{2}}}$ , ente que la enerxía cinética d'un cuerpu en rotación con velocidá angular ω ye ${\displaystyle \scriptstyle {{1 \over 2}I\omega ^{2}}}$ , onde ${\displaystyle I}$  ye'l momentu d'inercia con respectu a la exa de rotación.

El caltenimientu de la cantidá de movimientu o momentu llinial tien por equivalente'l caltenimientu del momentu angular ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {L} }}$ :

${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}}$ 

El vector momentu angular, polo xeneral, nun tien la mesma direición que'l vector velocidá angular ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\omega }}}$ . Dambos vectores tienen la mesma direición si la exa de xiru ye un exa principal d'inercia. Cuando una exa ye de simetría entós ye exa principal d'inercia y entós un xiru alredor d'esa exa conduz a un momentu angular empobináu tamién a lo llargo d'esa exa.

Teorema de Steiner o teorema de les exes paraleles

El teorema de Steiner (denomináu n'honor de Jakob Steiner) establez que'l momentu d'inercia con al respeutive de cualquier exa paralela a una exa que pasa pel centru de masa, ye igual al momentu d'inercia con respectu a la exa que pasa pel centru de masa más el productu de la masa pol cuadráu de la distancia ente los dos exes:

${\displaystyle I_{\rm {exa}}=I_{\rm {exa}}^{\rm {(CM)}}+Mh^{2}\,}$ 

onde: I_exa ye'l momentu d'inercia respeuto a la exa que nun pasa pel centru de masa; I^(CM)_exa ye'l momentu d'inercia pa una exa paralela al anterior que pasa pel centru de masa; M (Masa Total) y h (Distancia ente los dos exes paraleles consideraos).

La demostración d'esti teorema resulta inmediata si considérase la descomposición de coordenaes relativa al centru de mases C ${\displaystyle {\bar {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} _{C}+\mathbf {h} }$  inmediata:

${\displaystyle I_{\rm {exa}}=\int _{V}{\bar {\mathbf {r} }}\cdot {\bar {\mathbf {r} }}\quad dm=\int _{V}(\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {r} _{C}+2\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {h} +\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} )\quad dm=\int _{V}\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {r} _{C}\quad dm+\int _{V}2\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {h} \quad dm+\int _{V}\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} \quad dm}$ 
${\displaystyle I_{\rm {exa}}=I_{\rm {exa}}^{\rm {(CM)}}+\underbrace {2\mathbf {h} \cdot \int _{V}\mathbf {r} _{C}dm} _{=0}+Mh^{2}}$ 

onde'l segundu términu ye nulu yá que la distancia vectorial permediu de masa en redol al centru de masa ye nula, pola mesma definición de centru de masa.

El centru de gravedá y el centru de masa pueden nun ser coincidentes, yá que el centru de masa namái depende de la densidá de masa que tenga'l cuerpu, sicasí, el centru de gravedá depende del campu gravitacional nel que ta somorguiáu dichu cuerpu.

Pasos pa calcular el momentu d'inercia d'árees compuestes

1. Estremar l'área compuesta en delles partes que sían simples
2. Determinar les árees de les partes, designales por ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$ .
3. Determinar les coordenaes del centru de mases (cdm) d'estes partes ${\displaystyle (x_{i},y_{i})\,}$  con al respeutive de les exes X y Y. Y calcular el cdm ${\displaystyle (x_{G},y_{G})\,}$  de tola figura formada por toles árees parciales anteriores.
4. Calcular les distancies de los cdm de cada área respeuto al cdm total de la figura.
5. Calcular los momentos d'inercia de les partes al respeutive de les sos exes de centru de mases (que van ser paralelos a x y y). Designar como: ${\displaystyle I_{i,x}}$  y ${\displaystyle I_{i,y}}$ , pa l'área i-ésima.
6. Calcular el momentu d'inercia de cada parte al respeutive de les exes x y y aplicando'l teorema de la exa paralela, esto ye, el teorema de Steiner: ${\displaystyle {\bar {I}}_{i,x}=I_{i,x}+M_{i}(y_{i}-y_{G})^{2}}$  y ${\displaystyle {\bar {I}}_{i,y}=I_{i,y}+M_{i}(x_{i}-x_{G})^{2}}$ 
7. Calcular los momentos d'inercia del área compuesta a partir de los momentos anteriores: ${\displaystyle I_{x,\mathrm {tot} }=\sum _{i}{\bar {I}}_{i,x}}$  y ${\displaystyle I_{y,\mathrm {tot} }=\sum _{i}{\bar {I}}_{i,y}}$ 

Los siguientes momentos d'inercia tán escritos para cuerpos ríxidos de composición uniforme y que los sos exes de rotación pasen al traviés d'un planu de simetría (esto ye, perpendiculares a dichu planu) del cuerpu que contién al centru de mases.

Cuerpu Ríxidu !Posición de la exa de rotación	Momentu d'Inercia (I)
Baniella delgada de llargor L y masa M	CM	${\displaystyle {\frac {1}{12}}ML^{2}}$
Conu sólidu de radiu R (de la base) y masa M	CM	${\displaystyle {\frac {3}{10}}MR^{2}}$
Baniella delgada de llargor L y masa M	${\displaystyle {\frac {1}{3}}ML^{2}}$
Aru delgáu de radio R y masa M	CM	${\displaystyle MR^{2}}$
Cilindru sólidu de radio R y masa M	CM	${\displaystyle {\frac {1}{2}}MR^{2}}$
Discu de radio R y masa M	CM	${\displaystyle {\frac {1}{2}}MR^{2}}$
Placa rectangular de llaos a y b asitiada con masa M	CM	${\displaystyle {\frac {1}{12}}M(a^{2}+b^{2})}$
Placa rectangular parada con llau perpendicular a la exa de rotación L con masa M	CM	${\displaystyle {\frac {1}{12}}ML^{2}}$
Placa rectangular parada con llau perpendicular a la exa de rotación L con masa M	${\displaystyle {\frac {1}{3}}ML^{2}}$
Esfera sólida de radio R y masa M	CM	${\displaystyle {\frac {2}{5}}MR^{2}}$
Cascarón esféricu de radio R y masa M	CM	${\displaystyle {\frac {2}{3}}MR^{2}}$
Corona esférica de radiu internu R1, radiu esternu R2 y masa M	CM	${\displaystyle {\frac {2}{5}}M{\frac {R_{2}^{5}-R_{1}^{5}}{R_{2}^{3}-R_{1}^{3}}}}$
Cilindru buecu de radios R1 y R2 con masa M	CM	${\displaystyle {\frac {1}{2}}M(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})}$
Partícula de masa M a una distancia R de la exa de rotación	${\displaystyle MR^{2}}$

Cuando s'estudien problemes con sólidos 3D que xiren nel espaciu, polo xeneral ye necesariu, usar un conceutu un pocu más xeneral d'inercia rotacional, llamáu tensor d'inercia. El tensor d'inercia d'un sólidu ríxidu, ye un tensor simétricu de segundu orde, qu'espresáu nuna base ortonormal vien dau por una matriz simétrica, que les sos componentes tensoriales son:

${\displaystyle I_{ij}=I_{ji}=\int _{M}\left[\delta _{ij}r^{2}-x_{i}x_{j}\right]\ dm=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\left[\delta _{ij}r^{2}-x_{i}x_{j}\right]d^{3}\mathbf {r} }$ 

Onde ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\,}$  son les coordenaes cartesianes rectangulares.

${\displaystyle \delta _{ij}\;}$ , ye'l símbolu de Kronecker o delta de Kronecker definida como: ${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}}$ 

Los elementos ${\displaystyle I_{ii},\,i=1,2,3}$  reciben el nome pel momento d'inercia respeuto a la exa ${\displaystyle x_{i}}$ , y son les componentes diagonales del tensor. Les componentes del tensor d'inercia nun sistema de coordenaes cartesianes rectangulares son:

${\displaystyle I_{xx}=\int _{V}\rho (y^{2}+z^{2})d^{3}\mathbf {r} }$ 
${\displaystyle I_{yy}=\int _{V}\rho (z^{2}+x^{2})d^{3}\mathbf {r} }$ 
${\displaystyle I_{zz}=\int _{V}\rho (x^{2}+y^{2})d^{3}\mathbf {r} }$ 

Y los trés productos d'inercia según les mesmes exes:

${\displaystyle I_{xy}=I_{yx}=\int _{M}-xy\ dm=\int _{V}-\rho xy\ d^{3}\mathbf {r} }$ 
${\displaystyle I_{yz}=I_{zy}=\int _{M}-yz\ dm=\int _{V}-\rho yz\ d^{3}\mathbf {r} }$ 
${\displaystyle I_{zx}=I_{xz}=\int _{M}-zx\ dm=\int _{V}-\rho zx\ d^{3}\mathbf {r} }$ 

Toles formes anteriores pueden derivase de la definición del tensor pel momento d'inercia faciendo :

${\displaystyle \delta _{ij}=0;i\neq j}$ .

El momentu con al respeutive de cualesquier otra exa puede espresase como combinación llinial anterior de les anteriores magnitúes:

${\displaystyle I_{exa}=\mathbf {t} \cdot (\mathbf {I} \mathbf {t} )=\left({\begin{matrix}t_{x}&t_{y}&t_{z}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}t_{x}\\t_{y}\\t_{z}\\\end{matrix}}\right)=\sum _{j}\sum _{k}I_{jk}t_{j}t_{k}}$ 

Onde la matriz ye'l tensor d'inercia espresáu na base XYZ y ${\displaystyle t=(t_{x},t_{y},t_{z})\,}$  ye'l vector paralelu a la exa según el cual pretende atopase el momentu d'inercia.

• segundu momentu d'área (tamién llamáu momentu d'inercia de la seición tresversal)
• Círculu de Mohr
• Exa principal d'inercia
• Exa de rotación

Bibliografía

• Landau & Lifschitz: Mecánica, Ed. Reverté, Barcelona, 1991, ISBN 84-291-4081-6.

Enllaces esternos

• Programes pal cálculu del momentu d'inercia y otros problemes matemáticos n'inxeniería (n'alemán).