Hitausmomentti: Pyörivässä liikkeessä etenemisliikkeen massaa kuvaava suure

Hitausmomentin SI-järjestelmän mukainen yksikkö on kg·m² (kilogramma kertaa metri toiseen). Mitä suurempi kappaleen hitausmomentti on, sitä suurempi momentti vaaditaan, jotta kappale saadaan kiihtymään halutulla kulmakiihtyvyydellä.

Hitausmomentilla (tarkemmin tasopinnan hitausmomentilla) tarkoitetaan joskus lujuusopissa myös jäyhyyttä.

Etäisyydellä r pyörimisakselista oleva pistemäisen massan m hitausmomentti on

${\displaystyle J=mr^{2}.}$ 

Useista pienistä massoista koostuvassa systeemissä hitausmomentti on kaikkien yksittäisten massojen aiheuttamien hitausmomenttien summa:

${\displaystyle J=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}.}$ 

Jatkuva massajakauma koostuu äärettömästä määrästä pistemäisiä massoja. Kappaleen kokonaishitausmomentti saadaan integroimalla kaikki massat kolmiulotteisen avaruuden yli:

${\displaystyle J=\int r^{2}\,dm,}$ 

missä ${\displaystyle \scriptstyle dm}$  on tiheysjakauma tilan yli. Koska ${\displaystyle \scriptstyle m=\rho V}$ , saadaan

${\displaystyle dm=\rho \,dV.}$ 

• Massattoman varren päässä oleva pieni kappale: J = mr², jossa r on kohtisuora etäisyys pyörimisakselista ja m kappaleen massa
• Tanko, joka toimii heilurina pyörimisakselin ollessa tangon toisessa päässä, hitausmomentti J = 1/3 · ml², jossa l on tangon pituus
• Tangon, jonka pyörimisakseli on keskipisteessä, hitausmomentti J = 1/12 · ml²
• Ympyrälevyn ja umpinaisen sylinterin hitausmomentti J = 1/2 · mr²
• Ympyrärenkaan ja ohutseinäisen sylinterin hitausmomentti J = mr²
• Umpinaisen pallon hitausmomentti J = 2/5 · mr²
• Ohutseinäisen pallon hitausmomentti J = 2/3 · mr²

Tarkastellaan jäykkää kappaletta, joka koostuu ${\textstyle n}$ :stä kappaleesta, joiden massat ovat ${\textstyle m_{\alpha }}$ , missä ${\textstyle \alpha =1,2,3,\dotsc ,n}$ . Oletetaan, että kappale pyörii hetkellisesti kulmanopeudella ${\textstyle {\vec {\omega }}}$  jonkin kappaleeseen kiinnitetyn pisteen suhteen. Jos tämä kiinnitetty piste liikkuu suoraviivaisesti nopeudella ${\textstyle {\vec {v}}}$  ulkoisen tarkastelijan koordinaatistossa, on minkä tahansa massapisteen nopeus

${\displaystyle {\vec {v}}_{\alpha }={\vec {v}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{\alpha }}$ ,

missä ${\textstyle {\vec {r}}_{\alpha }}$  kyseisen pisteen paikkavektori kappaleen omassa koordinaatistossa. Kappaleen kineettinen energia on tällöin

${\displaystyle K=K_{\text{trans}}+K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }v^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{\alpha })^{2}}$ .

Koska ristitulon pituuden neliö voidaan kirjoittaa

${\displaystyle \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)^{2}=\left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)\cdot \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)=a^{2}b^{2}-\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)^{2}}$ ,

on rotaatioenergia on tällöin

${\displaystyle K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\omega ^{2}r_{\alpha }^{2}-\left({\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}_{\alpha }\right)^{2}\right)}$ .

Jaetaan kulmanopeus- ja paikkavektorit komponentteihinsa ${\textstyle {\vec {\omega }}=(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})^{\mathbf {T} }}$  ja ${\textstyle {\vec {r}}_{\alpha }=(x_{\alpha ,1},x_{\alpha ,2},x_{\alpha ,3})^{\mathbf {T} }}$ . Nyt rotaatioenergia kirjoitetaan muodossa

${\displaystyle K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\left(\sum _{i}\omega _{i}^{2}\right)\left(\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}\right)-\left(\sum _{i}\omega _{i}x_{\alpha ,i}\right)\left(\sum _{j}\omega _{j}x_{\alpha ,j}\right)\right)}$ .

Kroneckerin deltan avulla vektorien komponenteille pätee ${\textstyle \omega _{i}=\sum _{j}\omega _{j}\delta _{ij}}$ , joten:

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{rot}}&={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }\sum _{i,j}m_{\alpha }\left(\omega _{i}\omega _{j}\delta _{ij}\left(\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}\right)-\omega _{i}\omega _{j}x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\omega _{i}\omega _{j}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}-x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)\end{aligned}}}$ 

Määritellään ${\textstyle \alpha }$ -summan ${\textstyle ij}$ :s termi suureeksi ${\textstyle J_{ij}}$ , ts.

${\displaystyle J_{ij}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{\alpha ,k}^{2}-x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)}$ .

Tällöin rotaatioenergia voidaan kirjoittaa tutumpaan muotoon:

${\displaystyle K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}J_{ij}\omega _{i}\omega _{j}={\frac {1}{2}}J\omega ^{2}}$ ,

missä ${\textstyle J}$  on kappaleen hitausmomentti (skalaari). Termejä ${\textstyle J_{ij}}$  on yhdeksän kappaletta ja ne voidaan sijoittaa ${\textstyle 3\times 3}$ -matriisin alkioiksi:

${\displaystyle \{\mathbf {J} \}=\left\{{\begin{matrix}\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,2}^{2}+x_{\alpha ,3}^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,1}x_{\alpha ,2}&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,1}x_{\alpha ,3}\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,2}x_{\alpha ,1}&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,1}^{2}+x_{\alpha ,3}^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,2}x_{\alpha ,3}\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,3}x_{\alpha ,1}&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha ,3}x_{\alpha ,2}&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(x_{\alpha ,1}^{2}+x_{\alpha ,2}^{2})\end{matrix}}\right\}}$ 

Matriisia ${\textstyle \left\{\mathbf {J} \right\}}$  kutsutaan hitausmomenttitensoriksi ja se on luonteeltaan tensori. Matriisin lävistäjäalkiot ${\textstyle J_{11}}$ , ${\textstyle J_{22}}$  ja ${\textstyle J_{33}}$  ovat kappaleen hitausmomentit ${\textstyle x_{1}}$ -, ${\textstyle x_{2}}$ - ja ${\textstyle x_{3}}$ -akselien suhteen. Jos käytetään koordinaattien ${\textstyle (x_{\alpha ,1},x_{\alpha ,2},x_{\alpha ,3})}$  sijaan karteesisia koordinaatteja ${\textstyle (x_{\alpha },y_{\alpha },z_{\alpha })}$  ja merkitsemällä ${\textstyle r_{\alpha }^{2}=x_{\alpha }^{2}+y_{\alpha }^{2}+z_{\alpha }^{2}}$ , tensori ${\textstyle \left\{\mathbf {J} \right\}}$  voidaan kirjoittaa helppokäyttöisempään muotoon:

${\displaystyle \{\mathbf {J} \}=\left\{{\begin{matrix}\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-x_{\alpha }^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }y_{\alpha }&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }z_{\alpha }\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }y_{\alpha }x_{\alpha }&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-y_{\alpha }^{2})&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }y_{\alpha }z_{\alpha }\\-\sum _{\alpha }m_{\alpha }z_{\alpha }x_{\alpha }&-\sum _{\alpha }m_{\alpha }z_{\alpha }y_{\alpha }&\sum _{\alpha }m_{\alpha }(r_{\alpha }^{2}-z_{\alpha }^{2})\end{matrix}}\right\}}$ 

Hitausmomenttitensori on symmetrinen, ts. ${\textstyle J_{ij}=J_{ji}}$ . Hitausmomenttitensorille pätevät samat matriisien yhteenlaskusäännöt, joten mielivaltaisen muotoisen kappaleen hitausmomenttitensori voidaan rakentaa summaamalla sen eri osien hitausmomenttitensorit. Edelleen, jos kappaleen massajakauma on jatkuva siten, että sen tiheys on ${\textstyle \rho =\rho ({\vec {r}})}$ , niin

${\displaystyle J_{ij}=\iiint _{V}\rho ({\vec {r}})\left(\delta _{ij}\sum _{k}x_{k}^{2}-x_{i}x_{j}\right)\,\mathrm {d} V}$ ,

missä ${\textstyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x_{1}\,\mathrm {d} x_{2}\,\mathrm {d} x_{3}}$  on paikkavektorin ${\textstyle {\vec {r}}}$  osoittamassa pisteessä oleva differentiaalinen tilavuusalkio ja ${\textstyle V}$  on kappaleen tilavuus.

• Liikemäärä
• Pyörimismäärä
• Steinerin sääntö