Annars Stigs Jafna

Sérhverja annars stigs jöfnu má draga saman á staðlað form, sem er ${\displaystyle Ax^{2}+Bx+C=0}$ þar sem það skilyrði er sett að ${\displaystyle A}$ sé ekki 0, vegna þess að þá er jafnan ekki annars stigs í raun. Í þessari jöfnu eru A, B og C rauntölur, sem nefnast stuðlar. Ferill sá, sem markaður er með annars stigs jöfnu, nefnist fleygbogi. Þrjár mismunandi leiðir eru hugsanlegar til þess að leysa annars stigs jöfnur, en með því að leysa jöfnuna er átt við það að finna hvaða gildi á x gera jöfnuna sanna, það er gefa útkomuna núll. Þessar þrjár leiðir eru:

• Þáttun (sem er stundum þægileg, stundum erfið og stundum ekki möguleg)
• Fyllt í ferninginn (sjá lýsingu á því hér á eftir)
• Annars stigs lausnareglan (D-reglan) notuð
  

Hér á eftir verður þessum þremur leiðum lýst lauslega.

Í sumum tilvikum er auðvelt að þátta margliðuna ${\displaystyle Ax^{2}+Bx+C}$ . Þáttunin getur verið með ýmsu móti. Til dæmis er hugsanlegt að x sé tekið út fyrir sviga (það er hægt ef stuðullinn C=0). Einnig er hugsanlegt að leyst sé upp í sviga samkvæmt þáttunarreglunum ${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}}$ ; ${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}}$  eða ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$ . Eða að þáttunin getur gefið tvo sviga, sem eru á forminu ${\displaystyle (x+a)(x+b)}$ , þar sem a og b geta verið hvaða rauntölur sem vera skal. Ef þáttunin gengur, þá er jafnan leyst með því að setja hvorn þátt fyrir sig jafnan núlli og leysa svo. Þannig fást tvær lausnir, sem (oftast) eru tvær mismunandi tölur. Ef báðir þættirnir eru eins, þá kemur að sjálfsögðu sama lausn úr þeim báðum og kallast hún þá tvöföld lausn. Hér eru dæmi um annars stigs margliður, leystar með þáttun:
i) ${\displaystyle 2x^{2}+x=0}$ ; þáttast í ${\displaystyle x(2x+1)=0}$ ; þættirnir leystir hvor fyrir sig: x=0 og 2x+1=0, sem gefur x=-1/2. Þar með eru fengnar tvær lausnir jöfnunnar ${\displaystyle 2x^{2}+x=0}$ , sem eru x=0 og x=-1/2.
ii) ${\displaystyle 4x^{2}+12x+9=0}$  þáttast í ${\displaystyle (2x+3)^{2}=0}$  eða ${\displaystyle (2x+3)(2x+3)=0}$ . Hér eru svigarnir báðir eins, svo að lausnin úr hvorum um sig er x=-3/2. Slík lausn kallast tvöföld, eins og áður sagði.
iii) ${\displaystyle 9x^{2}-12x+4=0}$  gefur þáttunina ${\displaystyle (3x-2)^{2}=0}$ . Tvöföld lausn er x=2/3.
iv) ${\displaystyle 4x^{2}-25=0}$  þáttast í ${\displaystyle (2x+5)(2x-5)=0}$ , sem gefur lausnirnar x=-5/2 og x=5/2.
v) ${\displaystyle x^{2}+12x-45=0}$  þáttast í ${\displaystyle (x+15)(x-3)=0}$  og lausnirnar verða því x=-15 og x=3.
vi) ${\displaystyle 3x^{2}+5x-4=0}$  er ekki auðvelt að þátta og er því ekki gott að leysa með þessari aðferð.

Dæmi vi) hér að ofan er illþáttanlegt með þeim aðferðum sem venjulega er beitt við þáttun. En þá má beita eftirfarandi aðferð, sem of kallast „að fylla í ferninginn“: Fyrst er deilt í gegnum jöfnuna með stuðlinum A, sem í þessu tilviki er 3. Við það kemur fram ný jafna, sem er þó jafngild hinni upphaflegu, vegna þess að þær hafa sama lausnamengi. Jafnan umritast í ${\displaystyle x^{2}+{\frac {5}{3}}x-{\frac {4}{3}}=0}$ . Nú flytjum við aftasta liðinn aftur fyrir jafnaðarmerkið og fáum ${\displaystyle x^{2}+{\frac {5}{3}}x={\frac {4}{3}}}$ . Nú þarf að finna tölu, sem geri mögulegt að umrita vinstri hlið jöfnunnar í ferning (það er að segja sviga í öðru veldi). Þetta er hægt ef við leggjum ákveðna tölu við báðar hliðar jöfnunnar. Sú tala verður að vera hálfur stuðullinn við x, hafinn upp í annað veldi. Í þessu tilviki er það ${\displaystyle \left({\frac {5}{6}}\right)^{2}={\frac {25}{36}}}$ . Þá er komin jafnan ${\displaystyle x^{2}+{\frac {5}{3}}x+{\frac {25}{36}}={\frac {4}{3}}+{\frac {25}{36}}}$  eða ${\displaystyle x^{2}+{\frac {5}{3}}x+{\frac {25}{36}}={\frac {73}{36}}}$ . Nú þáttast vinstri hliðin auðveldlega í annars veldis sviga (ferning) og kemur þá fram jafnan ${\displaystyle \left(x+{\frac {5}{6}}\right)^{2}={\frac {73}{36}}}$ . Nú má fella niður veldið í vinstri hlið með því að draga rót í hægri hlið um leið og fæst þá ${\displaystyle x+{\frac {5}{6}}=\pm {\sqrt {\frac {73}{36}}}}$ , sem að lokum er leyst með því að einangra x og fást þá lausnirnar tvær, sem eru ${\displaystyle x=-{\frac {5}{6}}\pm {\frac {\sqrt {73}}{6}}}$ .

Annars stigs reglan er leidd út með því að taka jöfnuna Ax² + Bx + C = 0 og leysa hana með því að fylla í ferninginn. Hér verður það gert með nákvæmlega sama hætti og sýnt var í dæminu hér á undan. Það gengur þannig fyrir sig skrefin eru númeruð):

1. Ax² + Bx + C = 0 (upphaflega jafnan)
   
2. x² + (B/A)x + C/A = 0 (deilt í gegn með A)
   
3. x² + (B/A)x = -C/A (brotið fært aftur fyrir)
   
4. ${\displaystyle x^{2}+{\frac {B}{A}}x+\left({\frac {B}{2A}}\right)^{2}=\left({\frac {B}{2A}}\right)^{2}-{\frac {C}{A}}}$  (hálfur stuðullinn við x settur í annað veldi og lagður við báðar hliðar
   
5. ${\displaystyle \left(x+{\frac {B}{2A}}\right)^{2}={\frac {B^{2}}{4A^{2}}}-{\frac {4AC}{4A^{2}}}}$  (ferningurinn vinstra megin búinn til, gert samnefnt hægra megin)
   
6. ${\displaystyle x+{\frac {B}{2A}}=\pm {\sqrt {{\frac {B^{2}}{4A^{2}}}-{\frac {4AC}{4A^{2}}}}}}$  (2. veldi fellt út, dregin rót hægramegin)
   
7. ${\displaystyle x=-{\frac {B}{2A}}\pm {\sqrt {{\frac {B^{2}}{4A^{2}}}-{\frac {4AC}{4A^{2}}}}}}$  (sem á einfaldara formi umritast í)
   
8. ${\displaystyle x={\frac {-B\pm {\sqrt {{B^{2}}-{4AC}}}}{2A}}}$  (sem kallast allra helst imban eða stundum annars stigs reglan, Regla 13, D-reglan, Batman, Jónas og ýmislegt fleira)
   

Stærðin innan rótarmerkisins í lausnaformúlunni heitir á ensku discriminant og er þess vegna táknuð með D, sem gefur reglunni eitt af nöfnum sínum. Á íslensku heitir þessi stærð aðgreinir eða greinir. Það er vegna þess að þessi stærð aðgreinir eða greinir að þrjú möguleg tilvik við lausn annars stigs jöfnu. ${\displaystyle D=B^{2}-4AC}$  getur verið jákvæð, núll eða neikvæð. Sé aðgreinirinn jákvæður (D>0), þá hefur jafnan tvær rauntölulausnir. Sé aðgreinirinn núll (D=0), þá hefur jafnan eina tvöfalda rauntölulausn. En sé aðgreinirinn neivæður (D<0), þá hefur jafnan enga rauntölulausn heldur tvær samoka tvinntölulausnir.
Notum nú annars stigs regluna til að leysa dæmi vi) hér að ofan, sem þar var leyst með því að fylla í ferninginn:
${\displaystyle 3x^{2}+5x-4=0}$  Hér er A=3, B=5 og C=-4. Þá er aðgreinirinn D=${\displaystyle B^{2}-4AC=25+48=73}$ , sem sýnir að jafnan hefur tvær lausnir í mengi rauntalna. Lausnirnar eru ${\displaystyle x={\frac {-B\pm {\sqrt {{B^{2}}-{4AC}}}}{2A}}={\frac {-5\pm {\sqrt {73}}}{6}}}$  eins og áður fékkst. Þetta er þó áberandi þægilegri leið.