Persamaan Kuadratik

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

mana x mewakili anu, dan a, b, dan c mewakili nombor yang diketahui, di mana a ≠ 0. Sekiranya a = 0, maka persamaannya adalah linear, bukan kuadratik, kerana tidak ada ${\displaystyle ax^{2}}$ istilah. Nombor a, b, dan c adalah pekali persamaan dan boleh dibezakan dengan gelaran pekali kuadratik, pekali linear dan pemalar.

Nilai x yang memenuhi persamaan disebut penyelesaian persamaan, dan punca atau pensifar ungkapan di sebelah kiri. Persamaan kuadratik mempunyai paling banyak pun dua penyelesaian. Sekiranya tidak ada penyelesaian sebenar, ada dua penyelesaian yang kompleks. Sekiranya hanya ada satu penyelesaian, ia dikatakan bahawa punca ganda. Persamaan kuadratik selalu mempunyai dua akar, jika akar kompleks disertakan dan akar berganda dikira untuk dua. Persamaan kuadratik boleh difaktorkan menjadi persamaan yang setara

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-r)(x-s)=0}$

di mana r dan s adalah penyelesaian untuk x. Melengkapkan kuasa dua pada persamaan kuadratik dalam bentuk piawai menghasilkan rumus kuadratik, yang menyatakan penyelesaian dari segi a, b, dan c. Penyelesaian terhadap masalah yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadratik telah diketahui seawal tahun 2000 SM.

Kerana persamaan kuadratik hanya melibatkan satu anu yang tidak diketahui, ia disebut "univariat". Persamaan kuadratik hanya mengandungi kuasa x yang merupakan integer bukan negatif, dan oleh itu ia juga adalah persamaan polinomial. Khususnya, ini adalah persamaan polinomial darjah kedua, kerana kekuatan terbesar adalah dua.

 

Persamaan kuadratik dengan pekali nyata atau kompleks mempunyai dua penyelesaian, yang disebut punca. Kedua-dua penyelesaian ini mungkin atau mungkin tidak berbeza, dan mungkin atau mungkin tidak berbentuk nyata.

Pemfaktoran melalui pemeriksaan

Kemungkinan untuk menyatakan persamaan kuadratik ax² + bx + c = 0 sebagai produk (px + q)(rx + s) = 0. Dalam beberapa kes, adalah mungkin, dengan pemeriksaan sederhana, untuk menentukan nilai p, q, r, dan s yang menjadikan kedua-duanya setara satu sama lain. Sekiranya persamaan kuadratik ditulis dalam bentuk kedua, maka "Siat Faktor Sifar" menyatakan bahawa persamaan kuadratik puas jika px + q = 0 atau rx + s = 0. Menyelesaikan dua persamaan linear ini memberikan punca kuadratik.

Bagi kebanyakan pelajar, pemfaktoran melalui pemeriksaan adalah kaedah pertama untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. ^:202–207 Sekiranya seseorang diberi persamaan kuadratik dalam bentuk x² + bx + c = 0, pemfaktoran yang dicari mempunyai bentuk (x + q)(x + s), dan seseorang harus mencari dua nombor q dan s yang jika ditambah menjadi b dan didarab menjadi c (ini kadang-kadang disebut "hukum Vieta" dan berkaitan dengan rumus Vieta). Sebagai contoh, x² + 5x + 6 difaktorkan sebagai (x + 3)(x + 2). Kes yang lebih umum di mana a tidak sama dengan 1 memerlukan usaha yang besar dalam kaedah cuba-cuba untuk meneka dan memeriksa, dengan anggapan bahawa ia boleh difaktorkan sama sekali melalui pemeriksaan.

Kecuali untuk kes khas seperti di mana b = 0 atau c = 0, pemfaktoran melalui pemeriksaan hanya berfungsi untuk persamaan kuadratik yang mempunyai punca yang bernisbah. Ini bermaksud bahawa sebilangan besar persamaan kuadratik yang timbul dalam aplikasi praktikal tidak dapat diselesaikan dengan memfaktorkan melalui pemeriksaan begini. ^:207

Melengkapkan kuasa dua

 

Proses menyelesaikan kuasa dua menggunakan identiti algebra

${\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}$ 

yang mewakili algoritma yang ditentukan dengan baik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik. ^:207 Bermula dengan persamaan kuadratik dalam bentuk piawai, ax² + bx + c = 0

1. Bahagikan setiap sisi dengan a, pekali bagi kuasa dua.
2. Tolakkan pemalar c/a dari kedua-dua belah sisi.
3. Tambahkan setengah b/a kuasa dua, pekali x, ke kedua-dua sisi. Ini "melengkapkan kuasa dua", mengubah sisi kiri menjadi kuasa dua yang sempurna.
4. Tuliskan sisi kiri sebagai kuasa dua dan permudahkan bahagian kanan jika perlu.
5. Hasilkan dua persamaan linear dengan menyamakan punca kuasa dua sisi kiri dengan punca kuasa dua positif dan negatif dari sisi kanan.
6. Selesaikan setiap dua persamaan linear.

Kami menggambarkan penggunaan algoritma ini dengan menyelesaikan 2x² + 4x − 4 = 0

${\displaystyle 1)\ x^{2}+2x-2=0}$ 
${\displaystyle 2)\ x^{2}+2x=2}$ 
${\displaystyle 3)\ x^{2}+2x+1=2+1}$ 
${\displaystyle 4)\ \left(x+1\right)^{2}=3}$ 
${\displaystyle 5)\ x+1=\pm {\sqrt {3}}}$ 
${\displaystyle 6)\ x=-1\pm {\sqrt {3}}}$ 

Simbol tambah-tolak "±" menunjukkan bahawa kedua-dua x = −1 + √3 dan x = −1 − √3 adalah penyelesaian bagi persamaan kuadratik yang tersebut.

Formula kuadratik dan terbitannya

Melengkapkan kuasa dua dapat digunakan untuk memperoleh rumus umum untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, yang disebut rumus kuadratik. Bukti matematik kini akan dimudahkan secara ringkas. Dapat dilihat dengan mudah oleh pengembangan polinomial, bahawa persamaan berikut setara dengan persamaan kuadratik:

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}$ 

Mengambil punca kuasa dua dari kedua-dua sisi, dan mengasingkan x, memberikan:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$ 

Beberapa sumber, terutamanya yang lebih tua, menggunakan pemparameteran alternatif dari persamaan kuadratik seperti ax² + 2bx + c = 0 atau ax² − 2bx + c = 0 , di mana b mempunyai magnitud setengah dari yang lebih biasa, mungkin dengan tanda yang bertentangan. Ini menghasilkan bentuk yang sedikit berbeza untuk penyelesaiannya, tetapi selainnya adalah sama.

Sejumlah terbitan alternatif boleh didapati dalam literatur. Bukti ini lebih sederhana daripada piawaian melengkapkan kaedah kuasa dua, mewakili aplikasi teknik lain yang menarik yang sering digunakan dalam algebra, atau memberikan pandangan mengenai bidang matematik yang lain.

Rumus kuadratik yang kurang dikenali, seperti yang digunakan dalam kaedah Muller memberikan punca yang sama melalui persamaan

${\displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}$ 

Ini dapat disimpulkan dari rumus kuadratik piawai dengan rumus Vieta, yang menegaskan bahawa produk puncanya adalah c/a.

Satu sifat dari bentuk ini adalah ia menghasilkan satu punca yang sah ketika a = 0, sementara punca yang lain mengandungi pembahagian dengan sifar, kerana ketika a = 0, persamaan kuadratik menjadi persamaan linear, yang memiliki satu punca. Sebaliknya, dalam kes ini, formula yang lebih umum mempunyai pembahagian dengan sifar untuk satu punca dan bentuk tidak tentu 0/0 untuk akar yang lain. Sebaliknya, apabila c = 0, rumus yang lebih umum menghasilkan dua punca yang betul sedangkan bentuk ini menghasilkan punca sifar dan bentuk tidak tentu 0/0.

Penurunan persamaan kuadratik

Kadang-kadang lebih senang mengurangkan persamaan kuadratik sehingga pekali utamanya adalah satu. Ini dilakukan dengan membahagikan kedua-dua sisi dengan a, yang selalu mungkin dilakukan kerana a bukan sifar. Ini menghasilkan persamaan kuadratik terturun :

${\displaystyle x^{2}+px+q=0,}$ 

di mana p = b / a dan q = c / a. Persamaan monik ini mempunyai penyelesaian yang sama dengan yang asal.

Rumus kuadratik untuk penyelesaian persamaan kuadratik terturun, yang ditulis dalam bentuk pekali, adalah:

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right),}$ 

atau setara:

${\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.}$ 

Pembeza layan

 

Dalam rumus kuadratik, ungkapan di bawah tanda punca kuasa dua disebut pembeza layan persamaan kuadratik, dan sering diwakili menggunakan huruf besar D atau huruf Yunani besar delta :

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}$ 

Persamaan kuadratik dengan pekali nyata boleh mempunyai satu atau dua punca nyata yang berbeza, atau dua punca kompleks yang berbeza. Dalam kes ini, pembeza layan menentukan nombor dan sifat puncanya. Terdapat tiga kes:

• Sekiranya pembeza layan itu positif, maka ada dua punca yang berbeza

${\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},}$ 
kedua-duanya adalah nombor nyata. Untuk persamaan kuadratik dengan pekali bernisbah, jika pembeza layan adalah nombor kuasa dua, maka puncanya adalah bernisbah — dalam kes lain ia mungkin tidak nisbah kuadratik.

• Sekiranya pembeza layan adalah sifar, maka sebenarnya ada satu punca nyata

${\displaystyle -{\frac {b}{2a}},}$ 
kadang-kadang dipanggil punca berulang atau berganda.

• Sekiranya pembeza layan itu negatif, maka tidak ada punca nyata. Sebaliknya, terdapat dua punca kompleks yang berbeza (tidak nyata)

${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}\quad {\text{and}}\quad -{\frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},}$ 
yang merupakan konjugat kompleks antara satu sama lain. Dalam ungkapan ini i adalah unit khayalan.

Oleh itu, puncanya berbeza jika dan hanya jika pembeza layan itu tidak sifar, dan puncanya nyata jika dan hanya jika pembeza layan itu tidak negatif.

• Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan pecahan berterusan
• Persamaan linear
• Fungsi kubik
• Persamaan kuartik
• Persamaan kuintik
• Teorem asas algebra