一元二次方程

因式分解法

化方程爲${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,\!}$ 者。若可拆之為因式積，則可以因式分解之。

公式法

方程如${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\quad \left(a\neq 0\right)}$ 者，其解爲：

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}$ 

亦作爲：

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}.}$ 

證明

公式者，可以配方證之。

一般

一元二次方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)\,\!}$ 者，${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,\!}$ 乃其根之判式也。以判式，得解如下：

• 若${\displaystyle \Delta >0}$ ，則此方程含不等實數根有二。若係數均有理數，且${\displaystyle \Delta }$ 乃完全平方數，則二解均有理數，否則均爲實數矣。

• 若${\displaystyle \Delta =0}$ ，則此方程含實數根有一。為

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\,\!}$ 

• 若${\displaystyle \Delta <0}$ ，則此方程含不等複數根有二。為

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b}{2a}}\pm i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}}$ 

其中${\displaystyle i^{2}=-1}$ 

二次映射法

方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ 解之幾何意，爲二次映射${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ 之圖像與x軸交點之X坐標也。

以韋達定理，方程之解，並係數之關係如下：

${\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}\,\!}$ 

${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}\,\!}$ 

今人有用其分解因式者，化為通式，求之雙根，則方程之左化為兩式之積。兩式均為天元減其根，勿論正負。復乘二次之系數，即得。以分解因式求根者逆之，毋贅。${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})}$  。${\displaystyle x_{1}}$ 、${\displaystyle x_{2}}$ 者，${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ 之雙根也。