សមីការដឺក្រេទី២

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,\!}$

តួ a, b និង c ហៅថាមេគុណ: មេគុណដឺក្រេទី២ a ជាមេគុណខុស​ពីសូន្យ​ នៃ ${\displaystyle \ x^{2}}$។ មេគុណលីនេអ៊ែរ b ជាមេគុណនៃ x ចំនែកឯ c វិញជាមេគុណថេរ។ a b និង c ត្រូវបានគេហៅថាតួថេរ។

សមីការដឺក្រេទី២ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត ឬចំនួនកុំផ្លិច មានឫសពីរអាចជាចំនួនពិតកំណត់ដោយរូបមន្តខាងក្រោម

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-r)(x-s)=0}$     និង  ${\displaystyle \quad \ x_{-}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ 

 

ដើម្បីងាយស្រួលក្នុងសរសេរ យើងតាង ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,}$  នោះគេបានរាងនៃសមីការដឺក្រេទី២ដោយដាក់ ${\displaystyle f(x)=0\,}$  ។

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}\right]\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right]\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)\right]\end{aligned}}}$ 

គេហៅរាងនៃសមីការដែលបង្ហាញខាងលើនេះថាជារាងកាណូនិក។

ក្នុងសមីការដឺក្រេទីពីរ ${\displaystyle b^{2}-4ac\,\!}$  ត្រូវបានគេតាងដោយតួអក្សរ ${\displaystyle \Delta \,\!}$  (ដែលតា)

សមីការដឺក្រេទី២ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត អាចមានឫសឌុប ឬឫសពីរផ្សេងគ្នា ឬក៏មានរឹសពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនកុំផ្លិច។ ក្នុងករណីនេះឌីសគ្រីមីណង់ជាអ្នកកំណត់ចំនួន និងលក្ខណៈនៃរឹស។ មានលក្ខ័ណ្ឌបី៖

• ប្រសិនបើឌីសគ្រីមីណង់ជាចំនួនវិជ្ជមាន ${\displaystyle (\Delta >0)\,\!}$  នោះសមីការមានរឹសពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនពិត។

ពេល ${\displaystyle f(x)=0\,}$  រឹសទាំងពីរ ${\displaystyle x_{1}\,}$  និង${\displaystyle x_{2}\,}$  នៃសមីការកំណត់ដោយ

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$ 
${\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$ 
( ឬ ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$  )

គេបានទំរង់ជាផលគុណកត្តានៃ ${\displaystyle f(x)\,}$  កំនត់ដោយ

${\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\,}$ 

• ប្រសិនបើឌីសគ្រីមីណង់ស្មើសូន្យ ${\displaystyle (\Delta =0)\,\!}$ 

${\displaystyle f(x)=0\,\!}$  តាមវិធីសាសស្រ្តខាងលើ ${\displaystyle \Delta =0\,\!}$  គេបានរាងកាណូនិកនៃសមីការអាចសរសេរ

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=0}$ 

នោះសមីការមានរឹសឌុបជាចំនួនពិតកំណត់ដោយ

${\displaystyle x_{0}=-{\frac {b}{2a}}\,\!}$ 

គេបានទំរង់ជាផលគុណកត្តានៃ ${\displaystyle f(x)\,}$  កំនត់ដោយ

${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}~}$ 

• ប្រសិនបើឌីសគ្រីមីណង់ជាចំនួនអវិជ្ជមាន ${\displaystyle (\Delta <0)\,\!}$  នោះសមីការគ្មានរឹសជាចំនួនពិតទេ ប៉ុន្តែមានពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់គ្នាកំណត់ដោយ
  ${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\\x&={\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}\\i^{2}&=-1\end{aligned}}}$ 

 

រឹសនៃសមីការដឺក្រេទី២

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ 

គឺជាអនុគមន៍ដឺក្រេទី២នៅពេលដែលគេអោយវាស្មើសូន្យ:

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,}$ 

ដែលគេកំណត់សរសេរ

${\displaystyle f(x)=0\,}$  ។

បើ a b និង c ជាចំនួនពិត និងដែនកំនត់នៃ f ជាសំនុំនៃចំនួនពិត នោះគេបាន ${\displaystyle f(x)=0\,}$  គឺជាចំនុចដែលក្រាបប្រសព្វគ្នាជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីស។

យោងតាមការបកស្រាយខាងលើ ប្រសិន​បើ​ឌីសគ្រីមីណង់​វិជ្ជមាន​នោះ​ក្រាប​នឹង​កាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីស​ត្រង់ពីរ​ចំនុច​ផ្សេងគ្នា។ បើឌីសគ្រីមីណង់ស្មើសូន្យ នោះ​ក្រាប​នឹង​ប៉ះ​អ័ក្សអាប់ស៊ីស​ត្រង់​មួយ​ចំនុច​គត់។ បើឌីសគ្រីមីណង់អវិជ្ជមាន នោះក្រាបមិនកាត់ឬប៉ះអ័ក្សអាប់ស៊ីស។

តួ ${\displaystyle x-r\,}$  ជាកត្តានៃពហុធា ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\ }$  លុះត្រាតែ r ជារឹសនៃសមីការដឺក្រេទី២ ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\ }$  ។

វាកំនត់ដោយរូបមន្តសមីការដឺក្រេទី២ដែល

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)}$  ។

ក្នុងករណីពិសេសដែលសមីការដឺក្រេទី២មានរឹសឌុប (មានន័យថា ${\displaystyle \Delta =0\,\!}$  )ពហុធាដឺក្រេទី២អាចដាក់ជាផលគុណកត្តាដូចខាងក្រោម

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}\,\!}$ 

គេអោយសមីការដឺក្រេទី២ ${\displaystyle x^{2}-ax+2a=0\,}$  ដែល a ជាចំនួនថេរ។ ចូរកំនត់តំលៃនៃ a ដើម្បីអោយសមីការនេះយ៉ាងហោចណាស់មានចំលើយមួយនៅក្នុងចន្លោះ ${\displaystyle -1$  ។

ចំលើយ

យើងមាន ${\displaystyle x^{2}-ax+2a=0\,}$ 
តាង ${\displaystyle f(x)=x^{2}-ax+2a\,}$ 

ដើម្បីអោយសមីការមានចំលើយយ៉ាងហោចណាស់មួយនៅចន្លោះ ${\displaystyle -1$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Longleftrightarrow &f(-1)\cdot f(1)&<0\\&\Rightarrow &(1+a-2a)(1-a+2a)&<0\\&\Rightarrow &(3a+1)(1+a)&<0\\&\Rightarrow &a\in ]-{\frac {1}{3}},-a[\end{aligned}}}$