Питагорова Теорема

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\!\,}$,

където ${\displaystyle c}$ е дължината на хипотенузата, ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ са дължините на двата катета.

Теоремата носи името на древногръцкия философ и математик Питагор (570 – 495 пр.н.е.), на когото традицията приписва нейното откриване и доказване, въпреки че тя изглежда е известна дълго преди това. Същестуват свидетелства, че още математиците във Вавилон разбират тази зависимост.

Питагоровата теорема свързва както дължините на страните на правоъгълния триъгълник, така и площите на съответните им квадрати, т.е. тя има както площна, така и линейна интерпретация. Част от множеството доказателства на теоремата се базират на първата, а останалите – на втората, като използват различни алгебрични и геометрични методи. Питагоровата теорема може да бъде обобщена по различни начини, включително за многоизмерни или неевклидови пространства, за обекти, които не са правоъгълни триъгълници, и дори за обекти, които изобщо не са триъгълници, а n-мерни тела.

Питагоровата теорема е една от теоремите с най-много различни доказателства, като броят им е не по-малък от 370.

Доказателство с подобни триъгълници

 

Основа на това доказателство е пропорционалността на страните на два подобни триъгълника – съотношението на дължините на съответните страни на два подобни триъгълника е еднакво, независимо от техния размер.

Нека ${\displaystyle \triangle ABC}$  е правоъгълен триъгълник, с прав ъгъл при върха ${\displaystyle C}$ , както е показано на Схема 1. Построява се височината от върха ${\displaystyle C}$ , като нейната пресечна точка със страната ${\displaystyle AB}$  е точката ${\displaystyle H}$ . ${\displaystyle H}$  разделя хипотенузата на триъгълника с дължина ${\displaystyle C}$  на части с дължини ${\displaystyle d}$  и ${\displaystyle e}$ . Новообразуваният триъгълник ${\displaystyle ACH}$  е подобен на триъгълника ${\displaystyle \triangle ABC}$ , защото и двата имат прав ъгъл, а ъгълът при върха ${\displaystyle A}$  е общ за двата триъгълника, от което следва, че и третите ъгли на двата триъгълника, отбелязани на схемата с ${\displaystyle \ni }$ , са равни. По същия начин триъгълникът ${\displaystyle \triangle CBH}$  също е подобен на ${\displaystyle \triangle ABC}$ . От подобието на триъгълниците следва равенството на съотношенията на съответните им страни:

${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {e}{a}}}$  и ${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {d}{b}}}$ 

Тези съотношения могат да бъдат записани и като:

${\displaystyle a^{2}=c\times e}$  и ${\displaystyle b^{2}=c\times d}$ 

При събиране на двете уравнения се получава:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c\times e+c\times d=c\times (d+e)=c^{2}}$ 

Този израз съвпада с питагоровата теорема:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\!}$ 

Това доказателство се основава на съотношения на дължини, а не на площи. Въпросът, защо то не е използвано от Евклид, предизвиква дискусии в историята на математиката. Според някои изследователи, използваната в него теория на пропорциите, развита в следващите части на „Елементи“, по това време не е била достатъчно добре разработена.

Доказателство на Евклид

 

Евклид дава доказателство в книгата си Елементи, Книга 1, Твърдение 47

Нека ${\displaystyle \triangle ABC}$  е даденият правоъгълен триъгълник с хипотенуза ${\displaystyle BC}$ . Построяваме квадратите ${\displaystyle \square ACIH}$ , ${\displaystyle \square ABFG}$  и ${\displaystyle \square BCED}$  от външните страни на триъгълника. Тъй като лицето на всеки квадрат е равно на квадрата на дължината на страната му, за да докажем теоремата е достатъчно да се покаже, че лицето на ${\displaystyle \square BCED}$  е равно на сумата на лицата на другите два квадрата. За целта спускаме перпендикуляра ${\displaystyle AL}$  от точката ${\displaystyle A}$  към правата ${\displaystyle DE}$ . Нека той пресича правата ${\displaystyle BC}$  в точката ${\displaystyle K}$ . Построяваме също отсечките ${\displaystyle CF}$  и ${\displaystyle AD}$ .

Ъгълът ${\displaystyle \angle CBF}$  е равен на сумата на ъглите ${\displaystyle \angle ABC+\angle ABF}$ . Аналогично, ${\displaystyle \angle ABD}$  е равен на сумата на ${\displaystyle \angle ABC+\angle CBD}$ . Тъй като ъглите ${\displaystyle \angle ABF}$  и ${\displaystyle \angle CBD}$  са прави, а следователно и равни, следва, че ${\displaystyle \angle ABD}$  е равен на ${\displaystyle \angle CBF}$ . Освен това отсечките ${\displaystyle BF=BA}$ , тъй като са страни на един и същ квадрат. Аналогично, ${\displaystyle BD=BC}$ . От там следва, че триъгълниците ${\displaystyle \triangle ABD\cong \triangle CBF}$  са еднакви, по признака за две страни и прилежащ ъгъл.

Лицето на триъгълника ${\displaystyle S_{\triangle ABD}={\frac {1}{2}}S_{KBDL}}$ , тъй като ${\displaystyle KB}$  е равна на височината към страната ${\displaystyle BD}$  в ${\displaystyle \triangle ABD}$ . Аналогично лицето на CBF е половината от лицето на ABFG. Тъй като двата триъгълника имат еднакви лица, следва, че лицето на ABFG е равно на лицето на KBDL. Аналогично се показва, че лицето на KCEL е равно на това на квадрата ACIH. Оттук следва, че лицето на BCED е равно на сумата на лицата на другите два квадрата, с което теоремата е доказана.

Доказателства с преподреждане на фигури

 

Даден е квадрат със страна ${\displaystyle c^{2}}$ . В него са построени четири триъгълника както е показано на чертежа със страни ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b}$ . Полученият по средата квадрат е със страна ${\displaystyle a-b}$ . Лицето на големия квадрат е ${\displaystyle c^{2}}$  и е равно на лицата на триъгълниците ${\displaystyle 4.ab/2}$  + лицето на малкия квадрат ${\displaystyle (a-b)^{2}}$ :

${\displaystyle c^{2}=2ab+(a-b)^{2}}$ 

${\displaystyle c^{2}=2ab+a^{2}-2ab+b^{2}}$ 

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$ 

Доказателство на Гарфийлд

 

Доказателството е публикувано през 1876 г., от Джеймс Гарфийлд (по това време депутат, а впоследствие президент на САЩ) като продължение на предишното, но без квадрати.

Даден е правоъгълен трапец с основи a и b и дължина на височината a+b, както е показано на чертежа

От формулата за лице на трапец имаме (a+b)/2.(a+b)

А от триъгълниците имаме, че лицето на трапеца е равно на: ab/2 + ab/2 + c²/2

Тоест (a+b)²/2 = ab + c²/2

a²/2 + b²/2 + ab = ab + c²/2

a²/2 + b²/2 = c²/2

a² + b² =c²

Питагорова тройка

Питагорова тройка представляват три положителни цели числа a, b и ${\displaystyle c}$ , такива че a² + b² = ${\displaystyle c}$ ². С други думи питагорова тройка представляват дължините на страните на правоъгълен триъгълник, чиито дължини на страните са от множесвото на целите числа. Такава тройка често бива записвана като (a, b, ${\displaystyle c}$ ). Известни примери са (3, 4, 5) и (5, 12, 13).

Следва списък на някои питагорови тройки, за които a, b и ${\displaystyle c}$  са по-малки от 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Питагорово-тригонометрична идентичност

В правоъгълен триъгълник със страни a, b и хипотенуза ${\displaystyle c}$  тригонометрията определя синуса и косинуса на ъгъла θ между страна a и хипотенузата като:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.}$ 

От тук следва:

${\displaystyle {\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,}$ 

където последната стъпка прилага теоремата на Питагор. Тази връзка между синус и косинус понякога се нарича основна питагорово-тригонометрична идентичност. В подобни триъгълници съотношенията на страните са еднакви независимо от размера на триъгълниците и зависят от ъглите.

Цитирана литература

• Heath, Sir Thomas. A History of Greek Mathematics, Vol. I. Dover Publications, 1981, [1921]. ISBN 0-486-24073-8. (на английски)
• Loomis, Elisha Scott. The Pythagorean proposition. 2nd. The National Council of Teachers of Mathematics, 1968. ISBN 978-0873530361. (на английски)
• Maor, Eli. The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History. Princeton, New Jersey, Princeton University Press, 2007. ISBN 978-0-691-12526-8. (на английски)

• 81 доказателства на теоремата