數學常數 E

${\displaystyle e}$ 係自然指數同埋自然對數函數嘅底數。有時又叫做自然底數或歐拉數（Euler's number），個名來自瑞士數學家歐拉；佢嘅數值大約係（小數點後20位）：

${\displaystyle e=2.71828182845904523536\ldots }$

同圓周率 ${\displaystyle \pi }$ 同埋虛數單位 ${\displaystyle i}$ 一樣，${\displaystyle e}$ 係數學入面最重要嘅常數之一。

${\displaystyle e}$  可以用微分嚟定義。如果試吓對隨便一個指數函數 ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$  求導，根據基本原理：

${\displaystyle f'(x)={d \over dx}a^{x}=\lim _{h\to 0}{a^{x+h}-a^{x} \over h}=\lim _{h\to 0}{a^{x}a^{h}-a^{x} \over h}=a^{x}\lim _{h\to 0}{a^{h}-1 \over h}}$ 

會發現佢嘅微分等於佢自己乘一個數，所以為咗方便，將後面嗰個數 ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{a^{h}-1 \over h}}$  定義做 ${\displaystyle 1}$ ，呢個時候嗰個特定嘅 ${\displaystyle a}$  就係最自然嘅底數，即數學常數 ${\displaystyle e}$ 。 亦即係 ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{e^{h}-1 \over h}:=1}$ ，轉換一吓

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}(e^{h}-1)&=\lim _{h\to 0}h\\\lim _{h\to 0}e^{h}&=\lim _{h\to 0}(1+h)\end{aligned}}}$ 

得到 ${\displaystyle e:=\lim _{h\to 0}(1+h)^{1 \over h}}$  或 ${\displaystyle e:=\lim _{h\to \infty }\left(1+{1 \over h}\right)^{h}}$ 。

即係話 ${\displaystyle e}$  嘅定義係${\displaystyle (1+{\frac {1}{h}})^{h}}$ ，入面嘅 ${\displaystyle h}$  趨於無限大。

如果用二項式定理展開佢，會變成：

${\displaystyle e=\lim _{h\to \infty }\left(1+{1 \over h}\right)^{h}=\lim _{h\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\left((_{k}^{h}){1 \over h^{k}}\right)}$ 
${\displaystyle {\begin{aligned}&=\lim _{h\to \infty }\left((_{0}^{h}){1 \over h^{0}}+(_{1}^{h}){1 \over h^{1}}+(_{2}^{h}){1 \over h^{2}}+\dots \right)\\&=\lim _{h\to \infty }\left({1 \over 0!}+{h \over 1!}{1 \over h}+{h(h-1) \over 2!}{1 \over h^{2}}+{h(h-1)(h-2) \over 3!}{1 \over h^{3}}+\dots \right)\\&=\lim _{h\to \infty }\left({1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1-{1 \over h} \over 2!}+{(1-{1 \over h})(1-{2 \over h}) \over 3!}+\dots \right)\\&=\lim \left({1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+\dots \right)\\&=\lim _{h\to \infty }\sum _{n=0}^{h}{1 \over n!}\end{aligned}}}$ 

所以 ${\displaystyle e}$  亦可定義做 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=1+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+\ldots }$ ，當中嘅${\displaystyle \ n!\ }$ 係階乘嘅意思。

當定義咗 ${\displaystyle e}$  之後，可以定義埋自然對數 ${\displaystyle \ln(x)=\log _{e}(x)}$ 。 所以 ${\displaystyle a^{x}=e^{x\ln(a)}}$ (對數律)。 然後 ${\displaystyle a^{x}}$  嘅微分就可以用連鎖律計：

${\displaystyle {d \over dx}a^{x}={d \over dx}e^{x\ln(a)}={d \over d(x\ln(a))}e^{x\ln(a)}\times {d \over dx}(\ x\ln(a)\ )=a^{x}\ln(a)}$ 

另一方面，睇返一開始用基本原理得到 ${\displaystyle a^{x}}$  嘅微分係 ${\displaystyle a^{x}\lim _{h\to 0}{a^{h}-1 \over h}}$ ，而家知道 ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{a^{h}-1 \over h}=\ln(a)}$ 。 再調位：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}(a^{h}-1)&=\lim _{h\to 0}h\ln(a)\\\lim _{h\to 0}a^{h}&=\lim _{h\to 0}\ (\ 1+h\ln(a)\ )\\a&=\lim _{h\to 0}\ (\ 1+h\ln(a)\ )^{1 \over h}\end{aligned}}}$ 

因為 ${\displaystyle a=e^{\ln(a)}}$  同埋上面對 ${\displaystyle e}$  嘅定義，所以：

${\displaystyle e^{\ln(a)}=\lim _{h\to \infty }\left(1+{\ln(a) \over h}\right)^{h}=\lim _{h\to \infty }\left(1+{1 \over h}\right)^{h\ln(a)}}$ 

即

${\displaystyle e^{x}=\lim _{h\to \infty }\left(1+{x \over h}\right)^{h}=\lim _{h\to \infty }\left(1+{1 \over h}\right)^{hx}}$ 

用二項定理展開，過程同上面差唔多，會得到

${\displaystyle e^{x}=\lim _{h\to \infty }\sum _{n=0}^{h}{x^{n} \over n!}}$ 

所以自然指數 ${\displaystyle e^{x}}$  可定義做 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\ldots }$ 

${\displaystyle e}$  係一個無理數。可以用反證法證明。

假設 ${\displaystyle e}$  係一個有理數，${\displaystyle P,Q}$  係正整數，同埋 ${\displaystyle Q\neq 0}$ ：

${\displaystyle e={P \over Q}=1+{1 \over 1}+{1 \over {1\cdot 2}}+{1 \over {1\cdot 2\cdot 3}}+\dots }$ 

${\displaystyle Qe=P=Q+{Q \over 1}+{Q \over {1\cdot 2}}+{Q \over {1\cdot 2\cdot 3}}+\dots \in \mathbb {Z} }$ 

${\displaystyle k!\cdot Qe=k!\cdot Q+{k!\cdot Q \over 1}+{k!\cdot Q \over {1\cdot 2}}+{k!\cdot Q \over {1\cdot 2\cdot 3}}+\dots \in \mathbb {Z} }$ ，當中嘅 ${\displaystyle k}$  係大於 ${\displaystyle Q}$  嘅任意正整數。

${\displaystyle k!\cdot Qe=L+{Q \over {k+1}}+{Q \over {(k+1)(k+2)}}+{Q \over {(k+1)(k+2)(k+3)}}+\ldots }$ ，入面 ${\displaystyle L}$  係整數。

${\displaystyle 0<{Q \over {k+1}}+{Q \over {(k+1)(k+2)}}+{Q \over {(k+1)(k+2)(k+3)}}+\dots <{Q \over {k+1}}+{Q \over {(k+1)^{2}}}+{Q \over {(k+1)^{3}}}+\dots ={Q \over k}<1}$ 

所以 ${\displaystyle k!\cdot Qe=}$  整數 + 小數，而左面嘅 ${\displaystyle k!\cdot Qe}$  係整數。

得出「整數＝整數＋小數」嘅矛盾，即係話原本嘅假設係錯，${\displaystyle e}$  唔係有理數，但 ${\displaystyle e}$  係實數，所以只能夠係無理數。

好多增長或衰減過程都會用到 ${\displaystyle e}$ ，就好似計利息咁，可以睇下複利。

• 圓周率
• 無理數
• 超越數
• 歐拉數
• 極限
• 微積分
• 複數