Matematička Konstanta E

Osim što je iracionalan (dakle, realan), ovaj broj je još i transcendentan. Do tridesetog decimalnog mjesta, ovaj broj iznosi:

${\displaystyle e}$ ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 34678 2376732 6727 267 274728 3 39^˘654...

Konstanta ${\displaystyle e}$ se može definirati kao:

1. Limes niza brojeva
   ${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$
2. Suma beskonačnog niza:
   ${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots }$
   gdje je n!, n faktorijel .
3. Pozitivna vrijednost koja zadovoljava sljedeću jednadžbu :
   ${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{x}}\,dx={1}}$
   istovjetnost između ova tri slučaja dokazanа.
4. Ovaj broj se sreće i kao dio Eulerovog identitetа:
   ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \cdot \pi }=-1}$

• Ako je ${\displaystyle P(x)}$  polinom stupnja ${\displaystyle n}$ , onda vrijedi ${\displaystyle \int P(x)e^{x}\,dx=[P'(x)-P''(x)+...\pm P^{(n)}(x)]e^{x}.}$  jer je ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}P^{(n+1)}(x)=0}$ .

Kod linearnih funkcija oblika ${\displaystyle y=ax+b}$  prirast vrijednosti funkcije po prirastu ulazne vrijednosti je konstantan i iznosi ${\displaystyle a,}$  tj. ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=a.}$ 

Kod polinomnih funkcija, tj. funkcija oblika ${\displaystyle y=a_{n}\cdot x^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+1}$  rast se mijenja, tj. postoji funkcija koja opisuje promjenu vrijednosti (ili nagiba tangente u svakoj točki krivulje) prvobitne funkcije. Ta nova funkcija naziva se derivacija.

Kod transcedentih (nealgebarskih - prelaze granice 4 osnovne računske operacije) funkcija nagib je osobito važan, rast je eksponencijalan. Primjerice, kod funkcije ${\displaystyle f(x)=2^{x}}$  lako se može računalnim programom ustvrditi da je graf njene derivacije vrlo sličan, ali uvijek (za sve elemente iz njene domene) nešto niži. Njena derivacija je približno jednaka ${\displaystyle f'(x)=0.693\cdot 2^{x}.}$  Ipak, za (i jedino za) jediničan prirast ulazne vrijednosti rast izlazne je točno jednak ${\displaystyle 2^{x}.}$  To se lako dokaže: ${\displaystyle {\frac {2^{x+1}-2^{x}}{1}}=2^{x}\iff 2^{x+1}=2\cdot 2^{x}=2^{x+1}}$  (to je jedina funkcija za koju to vrijedi).

Sada se nameće pitanje: postoji li eksponencijalna funkcija ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$  za koju vrijedi da za beskonačno mali prirast ${\displaystyle dx}$  je prirast ${\displaystyle dy}$  točno jednak ${\displaystyle a^{x}.}$  Odgovor na ovo pitanje nije teško naći. Neka je ${\displaystyle dx=h\rightarrow 0.}$ 

Pitamo se za koji ${\displaystyle a}$  je ${\displaystyle {\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=a^{x}.}$  Računamo: ${\displaystyle a^{x+h}-a^{x}=h\cdot a^{x}\iff a^{x+h}=a^{x}(h+1),}$  odakle je ${\displaystyle a^{h}=h+1,}$  pa dobivamo poznati limes ${\displaystyle a=(1+h)^{\frac {1}{h}}.}$  Dokazuje se da je taj limes (kada ${\displaystyle h\rightarrow 0}$ ) jednak ${\displaystyle 2.718281...}$  i nazivamo ga Eulerovim brojem i označavamo s ${\displaystyle e.}$ 

Gornji limes može se zapisati i kao ${\displaystyle e=(1+{\frac {1}{n}})^{n}),n\rightarrow \infty .}$  Poznato je da vrijedi ${\displaystyle e^{x}=(1+{\frac {x}{n}})^{n},n\rightarrow \infty .}$ 

Definicija imaginarnog eksponenta. Neka je ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$  Definiramo ${\displaystyle e^{xi}=(1+{\frac {xi}{n}})^{n},\rightarrow \infty .}$  S drugačijim prikazom ${\displaystyle e^{x}}$  dobiva se poznata Eulerova formula ${\displaystyle e^{xi}=\cos {x}+i\sin {x}.}$  Ovdje ćemo na "originalnoj" definiji broja ${\displaystyle e}$  pikazati zašto formula vrijedi.

Množenje kompleksnih brojeva ${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)}$  svodi se na množenje njihovih modula i zbrajanja priklonih kutova pa ako stavimo ${\displaystyle (u+vi)^{n},u,v\in \mathbb {R} }$  vidimo da dobivamo spiralu.

Objasnit ćemo Eulerov identitet, kada je ${\displaystyle x=\pi .}$  Vratimo se na limes ${\displaystyle e^{\pi \cdot i}=(1+{\frac {\pi }{n}}i)^{n}.}$  Očito se radi o kompleksnom broju ${\displaystyle 1+{\frac {\pi }{n}}i}$  kojeg uzastopno množimo sa samim sobom, baš kao u prošlom primjeru. Kako ${\displaystyle n\rightarrow \infty ,}$  vidimo da se naš broj vertikalnk približava apscisi. Ako primotrimo luk jedinične kružnice sa središtem u ishodištu omeđen apscisom i pravcem ${\displaystyle y={\frac {\pi }{n}}}$  vidimo da je uvijek kraći od "visine" našeg kompleksnog broja. No, ${\displaystyle n}$  se povećava pa se razlika smanjuje, tj. prikloni kut postaje ${\displaystyle {\frac {\pi }{n}}}$  radijana te se magnituda približava broju ${\displaystyle 1.}$  Dakle, ${\displaystyle (1+{\frac {\pi }{n}})^{n},n\rightarrow \infty }$  svodi se na potenciranje magnitude (koja teži u ${\displaystyle 1}$ ) i n-terostrukog zbrajanja kutova (koji približno iznose ${\displaystyle {\frac {\pi }{n}}}$  radijana) što nas po kružnoj putanji (${\displaystyle r\rightarrow 1}$ ) dovodi u točku ${\displaystyle (-1,0).}$  To dokazuje, prema mnogima najljepšu "formulu" u matematici, ${\displaystyle e^{\pi \cdot i}=-1.}$ 

 

Nedovršeni članak E (matematička konstanta) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.