Нарича се Неперово число или Ойлерово число. Открито е от Бернули като граница на (1 + 1/n)n когато се доближава до безкрайност – израз, който възниква при изчисляване на сложна лихва. Може да се изчисли и като сума от числата на безкрайната редица. Въведено е като число и означение от Ойлер.
Ирационални числа ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π
Числото се нарича Неперово число в чест на шотландския учен Джон Непер – автор на съчинението „Описание на удивителните таблици на логаритмите“ (1614 г.). Това не е съвсем правилно, тъй като в него логаритъмът на е равен на
.
Числото негласно присъства в приложение към превода на английски език на споменатата работа на Непер. В тази работа има само таблица на естествените логаритми, а за числото не е дадено определение. Предполага се, че автор на приложението е английският математик Уилям Оутред. Самото число е получено за първи път от Якоб Бернули през 1690 г. при опит да изчисли границата
.
Първото известно използване на тази константа (с друго обозначение) се среща в писмата на Лайбниц до Хюйгенс (около 1691 г.). Буквата първи използва Леонард Ойлер през 1727 г., а първата публикация с тази буква е неговата „Механика, или наука за движението, изложена аналитично“. Поради това числото понякога се нарича Ойлерово число. Смята се, че буквата „“ е избрана в чест на Ойлер (Euler). Друга възможна причина е, че с нея започва думата „експонента“ (показател).
Дефиниции
Числото може да бъде определено по два равносилни начина:
Нека има 1 лев в банкова сметка с годишна лихва 100 %. Ако сметката се олихвява веднъж годишно, то след изтичане на годината ще има 2 лева. Колко лева ще има в края на годината, ако лихвата се начислява на по-къси интервали (и се натрупва към сметката)?
Ако лихвата се начислява веднъж на 6 месеца от годината (по 50 % на шестмесечие), то в края на годината ще получим 2,25 лв. Ако лихвата се начислява ежемесечно (по 100 %: 12 = 8,33 % на месец), то в края на годината ще имаме 2,61 лв. Ако лихвата се начислява ежедневно (по 100 %: 365 = 0,274 % на ден), то в края на годината ще имаме 2,71 лв. Колкото по-често се олихвява сметката, толкова по-голяма сума се получава. Обаче крайният резултат не расте неограничено. Бернули забелязал, че резултатът не надхвърля определена граница, а именно 2,72 лв., към която стойност се приближава паричната сума в края на годината, когато сметката се олихвява все по-често и по-често. Именно тази гранична стойност 2,718281828459045... лв. е Неперовото или Ойлерово число.
Доказателство за ирационалността на числото e
Да допуснем противното: че е рационално. Тогава , където е цяло, а е естествено число. Понеже не е цяло число, то . Следователно
Умножаваме по и получаваме
Прехвърляме от другата страна:
Всички събираеми в дясната страна са цели числа, следователно
This article uses material from the Wikipedia Български article Неперово число, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Съдържанието е достъпно под условията на лиценза CC BY-SA 4.0, освен ако не е посочено друго. Images, videos and audio are available under their respective licenses. ®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Български (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.