Eulerovo Číslo

Popri π a imaginárnej jednotke i, je e jedno z najvýznamnejších čísel v matematike. Má viacero ekvivalentných definícií, najznámejšie z nich sú uvedené nižšie. Používa sa pri exponencionálnych výpočtoch úrokov, výpočtoch teórie pravdepodobnosti, pri výpočte prírastku stromov a živočíšneho tkaniva, v elektronike a inde. Jeho hodnota na 30 desatinných miest je:

${\displaystyle e=2,718281828459045235360287471352...}$

Tri najznámejšie definície:

1. Definícia e ako limity

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$ 

2. Definícia e ako súčet nekonečného radu

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots }$ 

3. Definícia e ako jediného reálneho čísla x > 0, pre ktoré platí, že

${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={1}.}$ 

Bolo dokázané, že tieto tri definície sú ekvivalentné.

Exponenciálna funkcia ${\displaystyle e^{x}}$  je dôležitá, pretože je to jediná funkcia (okrem funkcie ${\displaystyle y=0}$ ), ktorá je svojou vlastnou deriváciou, a z toho vyplýva že aj svojou vlastnou primitívnou funkciou:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$ 
${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}$ , kde C je konštanta.

Eulerovo číslo je iracionálne (tzn. jeho desatinný rozvoj je nekonečný a neperiodický) a transcendentné (tzn. nedá sa vyjadriť ako koreň mnohočlenov s celočíselnými koeficientami)

Medzi číslami ${\displaystyle e,\pi ,i,1}$  platí vzorec pochádzajúci od Eulera:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$ 

Je to špeciálny prípad všeobecnejšieho vzťahu, ktorý dáva do súvisu funkcie sínus, kosínus a exponenciálnu funkciu:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ 

• Číslo e s presnosťou na milión desatinných miest (po anglicky)