Số E: Hằng số toán học, giới hạn của (1 + 1/n) mũ n khi n tiến tới vô cùng

Số e là một hằng số toán học có giá trị gần bằng 2,71828 và có thể được biểu diễn theo nhiều cách khác nhau.

Nó là cơ số của logarit tự nhiên, là số duy nhất sao cho logarit tự nhiên của nó bằng 1, và đồng thời là giới hạn của (1 + 1/n)n khi n tiến về vô hạn, một biểu thức nảy sinh từ việc nghiên cứu lãi kép. Nó cũng bằng tổng của chuỗi vô hạn

Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân
Đồ thị của hàm số y = 1/x. e là số duy nhất lớn hơn 1 sao cho diện tích phần được tô màu bằng 1.

e cũng được định nghĩa là số dương a duy nhất sao cho đồ thị của hàm y = axhệ số góc bằng 1 tại x = 0.

Hàm mũ (tự nhiên) f(x) = ex là hàm số duy nhất có đạo hàm bằng chính nó và có giá trị ban đầu là f(0) = 1, và dễ thấy e = f(1). Logarit tự nhiên, hay logarit cơ số e, là hàm ngược của hàm mũ tự nhiên. Logarit tự nhiên của một số k > 1 được định nghĩa là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm y = 1/x từ x = 1 đến x = k, khi đó e là giá trị của k sao cho diện tích đó bằng 1 (xem hình). e còn có nhiều cách biểu diễn khác.

e thỉnh thoảng còn được gọi là số Euler theo tên của nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler (không nên nhầm lẫn với hằng số Euler–Mascheroni γ, còn được gọi tắt là hằng số Euler), hoặc hằng số Napier. Tuy nhiên, ký hiệu e của Euler được cho là đã được giữ lại để vinh danh ông. Hằng số này được tìm ra bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Jacob Bernoulli khi nghiên cứu về lãi kép.

Số e có tầm quan trọng lớn trong toán học cùng với số 0, 1, πi. Cả năm số này đều đóng vai trò không thể thiếu trong toán học và cùng xuất hiện trong một phương trình của đồng nhất thức Euler. Giống như hằng số π, e là một số vô tỉ (không thể biểu diễn thành tỉ số giữa hai số nguyên) và là số siêu việt (không phải là nghiệm của một phương trình đa thức khác không với hệ số hữu tỉ). Giá trị của e đến 50 chữ số thập phân là:

2,71828182845904523536028747135266249775724709369995... (dãy số A001113 trong bảng OEIS).

Lịch sử Số E

Hằng số e được liên hệ lần đầu tiên vào năm 1618 ở bảng phụ lục trong công trình của John Napier về logarit, nhưng lại không nhắc đến trực tiếp về e mà chỉ liệt kê danh sách các logarit được tính từ nó. Bảng này được thừa nhận là do William Oughtred viết ra. Jacob Bernoulli đã tìm ra chính hằng số e vào năm 1683 khi tìm giá trị của biểu thức

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Hằng số này được sử dụng lần đầu tiên với ký hiệu là b trong bức thư của Gottfried Leibniz gửi Christiaan Huygens vào năm 1690 và 1691. Leonhard Euler trong thư gửi Christian Goldbach vào ngày 25 tháng 11 năm 1731 đã gọi chữ cái e là cơ số của logarit tự nhiên. Euler bắt đầu sử dụng chữ e để ký hiệu cho hằng số vào khoảng 1727 hoặc 1728 trong một bài báo không được xuất bản về sức nổ của súng thần công, và e chỉ xuất hiện trong xuất bản phẩm lần đầu vào năm 1736 trong cuốn Mechanica của ông. Dù một số nhà nghiên cứu sử dụng chữ c trong những năm sau đó, nhưng chữ e dần trở thành tiêu chuẩn về sau này.

Trong toán học, cách phổ biến nhất là viết hằng số thành chữ "e" in nghiêng, nhưng tiêu chuẩn ISO 80000-2 khuyến nghị sắp chữ các hằng số theo kiểu thẳng đứng như các chữ cái thông thường.

Ứng dụng Số E

Lãi kép

Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 
Kết quả khi nhận lãi suất 20% mỗi năm trên khoản đầu tư 1.000 đô la theo nhiều chu kỳ tính lãi khác nhau

Jacob Bernoulli tìm ra hằng số e vào năm 1683 khi nghiên cứu một bài toán về lãi kép:

Một tài khoản có số dư 1 đô la và nhận 100% lãi suất mỗi năm. Nếu lãi suất được tính một lần thì đến cuối năm, số dư của tài khoản đó là 2 đô la. Điều gì sẽ xảy ra khi lãi suất được tính và thanh toán thường xuyên hơn trong năm?

Nếu lãi được tính hai lần trong năm thì lãi suất cho mỗi 6 tháng sẽ là 50%, do đó 1 đô la ban đầu được nhân hai lần cho 1,5 để có 1,00 × 1,52 = 2,25 đô la vào cuối năm. Khi tính lãi theo quý thì ta có 1,00 × 1,254 = 2,4414… đô la, còn tính lãi theo tháng được 1,00 × (1 + 1/12)12 = 2,613035… đô la. Nếu có n khoảng thời gian tính lãi thì lãi suất trên mỗi khoảng là 100%/n và số dư vào cuối năm là 1,00 × (1 + 1/n)n.

Bernoulli nhận thấy chuỗi này tiến dần về một giới hạn với n càng lớn và khoảng thời gian tính lãi càng nhỏ. Tính lãi theo tuần (n = 52) được 2,692597... đô la, còn tính lãi theo ngày (n = 365) thì được 2,714567... đô la, chỉ nhiều hơn hai xu. Giới hạn khi n tăng lên chính là số e; khi tính lãi liên tục thì số dư của tài khoản tiệm cận đến 2,7182818... đô la.

Tổng quát hơn, một tài khoản có số dư ban đầu là 1 đô la và nhận lãi suất hằng năm là R thì sau t năm sẽ nhận được eRt đô la khi tính lãi liên tục. (Ở đây R là một số thực bằng với lãi suất phần trăm hằng năm, do đó với lãi suất 5% thì R = 5/100 = 0,05.)

Phép thử Bernoulli

Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 
Biểu đồ xác suất P để một biến cố độc lập với xác suất xảy ra là 1/n không xảy ra sau n phép thử Bernoulli và so sánh 1 − Pn. Có thể thấy khi n tăng thì xác suất để một biến cố với xác suất xảy ra 1/n không xảy ra sau n lần thử tiệm cận rất nhanh về 1/e.

Số e cũng có ứng dụng trong lý thuyết xác suất, nảy sinh từ một vấn đề không liên quan rõ ràng với lũy thừa. Giả sử một người chơi một máy đánh bạc n lần và xác suất để thắng là một phần n. Với n lớn (chẳng hạn như một triệu) thì xác suất để người đó thua mọi lần gần bằng 1/e. Với n = 20 thì tỉ số này đã gần bằng 1/2,79.

Đó là một ví dụ về phép thử Bernoulli. Mỗi lần người đó chơi máy thì xác suất để thắng là một trên một triệu. Một triệu lần chơi như thế được mô hình hóa bằng phân phối nhị thức, vốn có liên hệ mật thiết với định lý nhị thức và tam giác Pascal. Xác suất để thắng k lần trên một triệu lần chơi là

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Đặc biệt, xác suất để người đó không thắng lần nào (k = 0) là

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

rất gần với giới hạn

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Phân phối chuẩn tắc

Phân phối chuẩn với trung bình bằng 0 và độ lệch chuẩn bằng 1 được gọi là phân phối chuẩn tắc và được cho bởi hàm mật độ xác suất

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Điều kiện phương sai bằng 1 (độ lệch chuẩn bằng 1) dẫn đến phân số 1/2 trong số mũ, và điều kiện tổng diện tích dưới đường cong ϕ(x) bằng 1 dẫn đến tỷ số Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân . Hàm số này đối xứng quanh x = 0, tại đó nó đạt giá trị lớn nhất Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân , và có các điểm uốn tại x = ±1.

Hoán vị vô trật tự

Một ứng dụng khác của e, vốn do Jacob Bernoulli và Pierre Raymond de Montmort tìm ra, nằm trong bài toán về hoán vị vô trật tự hay còn gọi là bài toán trả mũ. Có n vị khách được mời đến một bữa tiệc và đều phải trả mũ của họ cho quản gia. Quản gia sẽ đặt số mũ này vào n hộp, mỗi hộp được ghi tên của một vị khách duy nhất. Nhưng quản gia lại không hỏi trước tên của các vị khách nên việc xếp mũ vào hộp được thực hiện một cách ngẫu nhiên. Bài toán của de Montmort là tìm xác suất để không có chiếc mũ nào được đặt đúng vào hộp của vị khách đó. Câu trả lời là

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Khi số vị khách n tiến đến vô hạn thì pn tiệm cận về 1/e. Hơn nữa, số cách xếp mũ vào hộp để biến cố trên xảy ra là n!/e (làm tròn đến hàng đơn vị) với n là số dương.

Bài toán kế hoạch tối ưu

Một gậy chiều dài L bị vỡ thành n mảnh có độ dài bằng nhau. Giá trị của n để tích các độ dài này lớn nhất là

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân  hay Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân  đạt giá trị lớn nhất tại Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân  (bài toán Steiner, xem dưới đây). Đại lượng Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân  là một độ đo lượng thông tin thu được từ một biến cố xảy ra với xác suất Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân , do đó phép chia tối ưu trên xuất hiện trong các bài toán kế hoạch tối ưu, chẳng hạn như bài toán thư ký.

Tiệm cận

Số e xuất hiện khi liên hệ với nhiều bài toán liên quan đến tiệm cận. Một ví dụ là công thức Stirling về tiệm cận của hàm giai thừa có sự xuất hiện của cả hai số eπ:

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Từ đó

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Trong vi tích phân Số E

Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 
Đồ thị của hàm xax với a = 2 (đường kẻ chấm), a = e (đường màu xanh) và a = 4 (đường nét đứt). Chúng đều đi qua điểm (0,1), nhưng đường màu đỏ (hệ số góc là 1) chỉ là tiếp tuyến của hàm ex tại đó.
Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 
Logarit tự nhiên của số e hay ln(e) bằng 1.

Cơ sở chủ yếu cho sự ra đời của số e, đặc biệt trong vi tích phân là từ các phép tính vi phân và tích phân với các hàm mũ và logarit. Tổng quát, hàm mũ y = ax có đạo hàm được cho bởi giới hạn:

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Giới hạn trong ngoặc ở vế phải độc lập với biến x và chỉ phụ thuộc vào cơ số a. Khi cơ số đó bằng e thì giới hạn trên bằng 1 nên e được định nghĩa tượng trưng bởi phương trình:

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Do đó, hàm mũ cơ số e rất phù hợp cho việc tính vi tích phân, vì nó giúp đơn giản hóa nhiều phép tính liên quan đến đạo hàm.

Một cách tiếp cận khác đến từ việc tính đạo hàm của logarit cơ số a (loga x) với x > 0:

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

trong đó đặt u = h/x. Logarit cơ số a của e bằng 1 nếu a bằng e, do đó

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Logarit với cơ số đặc biệt này được gọi là logarit tự nhiên và được ký hiệu là ln, giúp đơn giản hóa phép vi phân do không cần tìm các giới hạn chưa biết.

Như vậy, có hai cách để tìm một số a đặc biệt như thế. Cách thứ nhất là cho đạo hàm của hàm mũ ax bằng với ax rồi giải phương trình để tìm a. Cách thứ hai là cho đạo hàm của logarit cơ số a bằng 1/x và giải tương tự. Cả hai nghiệm a thu được thực chất là giống nhau và bằng số e.

Các cách biểu diễn khác

Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 
Cả năm vùng được tô màu đều có diện tích bằng nhau và xác định đơn vị của góc hyperbol dọc theo hyperbol Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân .

Có nhiều cách biểu diễn số e: giới hạn của một dãy, tổng của một chuỗi vô hạn hay các biểu thức liên quan đến giải tích tích phân. Trên đây, ta đã biết được hai tính chất:

  1. esố thực dương duy nhất sao cho Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân .
  2. e là số thực dương duy nhất sao cho Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân .

Bốn cách biểu diễn sau cũng được chứng minh là tương tự như trên:

  1. egiới hạn
      Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

    Tương tự:

      Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 
  2. e là tổng của chuỗi vô hạn
    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 
    với n!giai thừa của n. (Theo quy ước, Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân .)
  3. e là số thực dương duy nhất sao cho
      Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 
  4. Nếu f(t)hàm mũ thì tỉ số Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân  là không đổi, thỉnh thoảng được gọi là hằng số thời gian (nghịch đảo của hằng số tăng trưởng theo cấp số nhân hoặc hằng số phân rã). Hằng số thời gian là thời gian để một hàm mũ tăng e lần: Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân .

Tính chất Số E

Vi tích phân

Hàm mũ ex rất quan trọng một phần do đây là hàm số duy nhất có đạo hàm bằng chính nó:

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

và do đó cũng có nguyên hàm bằng chính nó:

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Bất đẳng thức

Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 
Đồ thị của hàm mũ Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân  cắt đường thẳng Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân  lần lượt tại Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân . Số Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân  là cơ số duy nhất của hàm mũ sao cho đồ thị Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân  cắt đường thẳng tại giao điểm duy nhất Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân . Dễ thấy rằng giá trị của Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân  nằm giữa 2 và 4.

e là số thực duy nhất sao cho

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

với mọi số dương x.

Đồng thời, ta cũng có bất đẳng thức

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

với mọi số thực x, và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Hơn nữa, e là cơ số duy nhất của hàm mũ để bất đẳng thức axx + 1 đúng với mọi x. Đó là một trường hợp giới hạn của bất đẳng thức Bernoulli.

Hàm tựa mũ

Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 
Giá trị lớn nhất của Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân  đạt được tại x = e.

Bài toán Steiner yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Giá trị lớn nhất này đạt được tại x = e. Để chứng minh, từ bất đẳng thức Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân  ở trên, đặt Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân  rồi rút gọn thì ta có Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân . Do đó Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân  với mọi số dương x.

Tương tự, x = 1/e là điểm để hàm số

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

đạt giá trị nhỏ nhất với x là số dương. Tổng quát hơn, hàm số

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

với x là số dương đạt giá trị lớn nhất tại x = 1/e khi n < 0 và đạt giá trị nhỏ nhất tại x = e−1/n khi n > 0.

Tetration vô hạn

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân  hay Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

hội tụ khi và chỉ khi eexe1/e (hay x nằm giữa 0,0660 và 1,4447) theo một định lý của Leonhard Euler.

Lý thuyết số

Số thực e là một số vô tỉ. Euler chứng minh được điều này bằng cách cho thấy liên phân số của nó có thể được mở rộng ra vô hạn. Hơn nữa, theo định lý Lindemann–Weierstrass, e là một số siêu việt, có nghĩa là nó không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức khác không với hệ số hữu tỉ. Charles Hermite chứng minh được điều này vào năm 1873.

Có phỏng đoán cho rằng e là số bình thường, có nghĩa là khi e được biểu diễn trên bất kỳ hệ đếm cơ số nào thì các chữ số trong hệ đếm đó được phân bố đồng đều nhau (xuất hiện với xác suất bằng nhau trong bất kỳ chuỗi nào với độ dài cho trước).

Số phức

Hàm mũ ex có thể được viết thành chuỗi Taylor:

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Vì chuỗi trên hội tụ với bất kỳ giá trị phức nào của x nên nó có thể được dùng để mở rộng khái niệm ex cho số phức. Cùng với chuỗi Taylor cho sin xcos x, ta suy ra được công thức Euler đúng với mọi số phức x:

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Trường hợp đặc biệt với x = π là đồng nhất thức Euler:

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

từ đó suy ra, trong nhánh chủ yếu của logarit,

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Hơn nữa, áp dụng các công thức lũy thừa,

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

đó chính là công thức de Moivre.

Biểu thức

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

còn được ký hiệu là cis(x).

Ta cũng suy ra được các biểu thức biểu diễn Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân  theo các hàm mũ:

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Phương trình vi phân

Họ các hàm số

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

với C là số thực, là nghiệm của phương trình vi phân

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Biểu diễn Số E

Số e có thể được biểu diễn thành một số thực theo nhiều cách khác nhau: là một chuỗi vô hạn, một tích vô hạn, một liên phân số hay giới hạn của một dãy. Trong số đó, thông dụng nhất là giới hạn

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

đã cho ở trên, và chuỗi

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

có được bằng cách thay x = 1 vào chuỗi lũy thừa cho hàm mũ ex ở trên.

Một dạng khác ít phổ biến hơn là liên phân số

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân  (dãy số A003417 trong bảng OEIS)

hoặc được viết thành

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Nhiều cách biểu diễn khác của e dưới dạng chuỗi, dãy số, liên phân số và tích vô hạn cũng đã được tìm ra và phát triển.

Biểu diễn Số E ngẫu nhiên

Cùng với các biểu thức giải tích chính xác, e còn có thể được tính gần đúng thông qua các kỹ thuật ngẫu nhiên. Một cách tiếp cận như thế bắt đầu từ một dãy vô hạn các biến độc lập ngẫu nhiên X1, X2,... trong một phân phối đều trên [0, 1]. Gọi V là số n nhỏ nhất để tổng của n biến đầu tiên như vậy lớn hơn 1:

    Số E: Lịch sử, Ứng dụng, Trong vi tích phân 

Khi đó giá trị kỳ vọng của Ve hay E(V) = e.

Số chữ số đã biết

Số chữ số đã biết của e đã gia tăng đáng kể trong vài thập kỷ trở lại đây do sự phát triển của máy tính và thuật toán nói chung.

Số chữ số thập phân đã biết của e
Năm Số chữ số Tính toán thực hiện bởi
1690 1 Jacob Bernoulli
1714 13 Roger Cotes
1748 23 Leonhard Euler
1853 137 William Shanks
1871 205 William Shanks
1884 346 J. Marcus Boorman
1926 707 Derrick Henry Lehmer
1944 808 Peder Pedersen
1949 2.010 John von Neumann (trên ENIAC)
1961 100.265 Daniel Shanks và John Wrench
1978 116.000 Steve Wozniak trên Apple II

Từ khoảng năm 2010, với sự ra đời của máy tính để bàn hiện đại tốc độ cao, việc tính toán hàng nghìn tỷ chữ số của e trong một khoảng thời gian chấp nhận được là hoàn toàn khả thi. Tính đến ngày 5 tháng 12 năm 2020, e đã được tính đến 31,4 nghìn tỷ chữ số thập phân.

Trong văn hóa máy tính Số E

Trong sự xuất hiện của văn hóa Internet, nhiều tổ chức và cá nhân đã đôi lúc tỏ lòng kính trọng và tôn vinh số e. Chẳng hạn, nhà khoa học máy tính Donald Knuth đã cho số phiên bản của phần mềm Metafont của ông tiến dần về số e. Các phiên bản lần lượt là 2, 2.7, 2.71, 2.718,...

Trong đợt IPO của Google năm 2004, công ty đặt mục tiêu huy động được đúng 2.718.281.828 đô la Mỹ, tức là e tỷ đô la làm tròn đến hàng đơn vị. Google cũng đã từng làm một biển quảng cáo đặt tại trung tâm thung lũng Silicon và sau đó tại Cambridge, Massachusetts, Seattle, Washington và Austin, Texas, trong đó có ghi "{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com" ("{số nguyên tố có 10 chữ số đầu tiên trong dãy chữ số liên tiếp của e}.com"). Khi giải được bài toán này và truy cập vào trang web đã cho thì người giải được dẫn đến một bài toán khó hơn với cơ hội được vào Google Labs để làm một bản hồ sơ lý lịch trích ngang. Số nguyên tố có 10 chữ số đầu tiên trong e là 7427466391, bắt đầu từ chữ số thứ 99.

Xem thêm

Chú thích

Ghi chú

Tham khảo

Đọc thêm

Liên kết ngoài

Tags:

Lịch sử Số EỨng dụng Số ETrong vi tích phân Số ETính chất Số EBiểu diễn Số ETrong văn hóa máy tính Số ESố EChuỗi (toán học)Cơ sốGiới hạn (toán học)Hằng số toán họcLogarit tự nhiênLãi kép

🔥 Trending searches on Wiki Tiếng Việt:

Fernando TorresCôn Đảo69 (tư thế tình dục)Blue LockGNgân hàng Nhà nước Việt NamTây NinhIsaac NewtonPhan Bội ChâuNhà Tây SơnDầu mỏMỹĐịch Nhân KiệtNguyễn Xuân PhúcThái LanNguyễn Hữu CảnhMinh Lan TruyệnHạ LongPhan Đình GiótThanh HóaHai nguyên lý của phép biện chứng duy vậtChu vi hình trònThế hệ ZChung kết giải vô địch bóng đá U-23 châu Á 2018Nhà HồBảng xếp hạng bóng đá nam FIFA2022Huy CậnTriệu Lệ DĩnhDanh sách Phu nhân Chủ tịch nước Việt NamTrang ChínhMã MorseTiền GiangLê Hồng AnhTrần Quyết ChiếnNgân hàng Thương mại Cổ phần Công thương Việt NamMassage kích dụcBộ Chính trị Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt NamLý Thái TổQuân khu 1, Quân đội nhân dân Việt NamNgô Xuân LịchLễ Phục SinhPhần LanChiến tranh Nguyên Mông – Đại Việt lần 2Quốc gia Việt NamNgọt (ban nhạc)Dân số thế giớiTử thần sống mãiTrần Bình TrọngNgô Đình DiệmNguyễn Duy NgọcSécLê Phạm Thành LongThương vụ bạc tỷTrần Nhân TôngTiếng Trung QuốcNapoléon BonapartePhong trào Thơ mới (Việt Nam)Liếm âm hộLưu Quang VũChính phủ Việt NamÂm đạoBlackpinkĐà NẵngSở Kiều truyện (phim)Lee Sang-yeobPakistanOne Day (phim 2011)Gốm Bát TràngLê Thánh TôngNguyễn Nhật ÁnhĐoàn Văn HậuGiải vô địch bóng đá thế giới 2026Phi nhị nguyên giớiTam quốc diễn nghĩaQuân đoàn 3, Quân đội nhân dân Việt NamPark Hang-seoChiếc thuyền ngoài xaĐỗ Hùng Dũng🡆 More