Skaičius E

${\displaystyle e=2{,}71828\,18284\,59045\,23536\,02874\,71352\,66249\,77572\,47093\,69995\,\dots }$

Kartu su skaičiumi π ir menamuoju vienetu i, e yra viena iš svarbiausių matematinių konstantų.

Skaičių e 1736 m. įvedė šveicarų matematikas Leonardas Euleris. Jis taip pat kartais vadinamas Neperio konstanta, škotų matematiko Džono Neperio garbei, kuris pirmasis sukūrė logaritmų lenteles.

Tai, kad skaičius e transcendentiškas 1873 m. įrodė Šarlis Hermitas.

Pateikiami trys labiausiai paplitę e apibrėžimai:

1. Naudojantis sekos ${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$  ribos apibrėžimu:

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ 

2. Kaip šios begalinės eilutės suma:

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots }$ 

kai n! yra natūraliojo skaičiaus n faktorialas

3. Arba apibrėžiant e kaip unikalų skaičių x > 0, tokį kad:

${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={1}}$ 
arba
${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=\ln t|_{0}^{e}=\ln e-\ln 1=1-0=1.}$ 

Skaičius e yra eksponentinės funkcijos ${\displaystyle e^{x}}$  pagrindas, kuri dar žymima kaip ${\displaystyle \exp(x)}$ . Natūrinis logaritmas ${\displaystyle \ln(x)}$  yra atvirkštinė funkcija eksponentinei:

${\displaystyle y=e^{x}\Leftrightarrow x=\ln(y)}$ 

Eksponentinė funkcija ${\displaystyle e^{x}}$  yra svarbi, nes tai vienintelė funkcija, kurios išvestinė lygi jai pačiai. Tai yra: ${\displaystyle (e^{x})'=(x)'e^{x}}$ .

Įrodyta, kad e yra iracionalusis bei transcendentinis skaičius, numanoma, kad jis taip pat yra ir normalusis skaičius, tačiau tai dar nėra įrodyta. e taip pat figuruoja Oilerio formulėje, vienoje svarbiausių lygybių matematikoje:

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,\!}$ 

O specialus atvejis, kai x = π yra žinomas kaip Oilerio formulė:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!}$ 

Ši formulė vadinama viena įspūdingiausių, nes sujungia penkias pamatinėmis atrodančias matematines konstantas (e, i, π, 1 ir 0).