微積分

微積分係微分同積分兩門學問嘅統稱，研究嘅範疇有三個，包括微分、積分，同埋微分同積分之間嘅關係。微分主要講一個變量點樣隨時間（或者其他變量）改變，而積分就主要講計算面積嘅方法。佢哋兩個嘅關係由「微積分基本定理」呢個定理講，喺適當嘅條件下，求積分同求微分互為相反嘅過程。

度量空間

數列

數列（sequence）係一種同函數好有啦掕嘅數學物體。一個數列會好似一個集（set）噉由一柞元素組成；而同集唔同，數列係有特定次序嘅，即係例如一個由數組成嘅數列會分「邊個係排第 1 嗰個數」、「邊個係排第 2 嗰個數」... 等等－每個元素都掕住個自然數 ${\displaystyle n}$ ，表示佢喺個數列入面嘅位置，

例：${\displaystyle x_{n}=(2,4,6,8,10,\cdots )}$ ；

而且一個數列可以同一款元素出現喺個數列嘅唔同位置，

例：${\displaystyle x_{n}=(2,4,6,2,4,\cdots )}$ （「2」同「4」都出現咗最少兩次）；

數列可以當係函數嘅一種，指「會將自然數（${\displaystyle n}$ ）轉換成第個數（數列嘅第 ${\displaystyle n}$  個數）」嘅函數。

極限

數列嘅一個重要特徵係可以匯合（converge）：想像有個由數組成嘅數列 ${\displaystyle a_{n}=(a_{0},a_{1},a_{2},...)}$ ，依家攞個數列嘅第 ${\displaystyle n}$  個元素嚟睇，隨住 ${\displaystyle n}$  嘅數值愈嚟愈大，發現元素 ${\displaystyle n}$  嘅數值愈嚟愈接近某個特定嘅數值 ${\displaystyle x}$ （即係 ${\displaystyle \mid x-a_{n}\mid }$  愈嚟愈接近 0），而呢樣嘢用數學符號嚟表達嘅話係噉樣：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=x}$ 

上述呢條式用日常用語講，係指「隨住 ${\displaystyle n}$  嘅值趨近無限大（${\displaystyle \infty }$ ），${\displaystyle a_{n}}$  會趨近 ${\displaystyle x}$  呢個數值」。喺數學上嚟講，如果上述呢點成立，數列 ${\displaystyle a_{n}}$  就可以算係話有個極限（limit），而呢個極限就係 ${\displaystyle x}$ 。用圖嘅形式嚟表達，如果打戙嗰條軸做 ${\displaystyle a_{n}}$  嘅值，打橫嗰條軸就做 ${\displaystyle n}$ ，而個數列嘅極限係 0（${\displaystyle x=0}$ ），就會出以下呢幅噉嘅圖：

 

想像家陣將 ${\displaystyle f}$  畫做一條直線，當中 Y 軸表示 ${\displaystyle f(x)}$ ，X 軸表示 ${\displaystyle x}$ ，而 ${\displaystyle f}$  出嘅線喺 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$  同 ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$  呢兩點之間係直線（附圖 1），噉條線喺 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$  同 ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$  之間嘅斜率（slope）${\displaystyle m}$  响定義上係

${\displaystyle m={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$ 

當中「${\displaystyle \Delta }$ 」呢個符號係希臘字母 Δ（delta），喺數學上意思係「... 嘅改變」噉解，即係「${\displaystyle \Delta y}$ 」表示「${\displaystyle y}$  嘅改變」（${\displaystyle y_{2}-y_{1}}$ ），而個斜率 ${\displaystyle m}$  就反映咗「喺嗰段線之間 ${\displaystyle y}$  隨 ${\displaystyle x}$  嘅變率」。而家想像 ${\displaystyle f}$  畫出嚟唔係一條直線，而係一條好複雜嘅曲線，例如噉：

 

呢條線嘅斜率會隨 ${\displaystyle x}$  嘅數值有所變化。而家喺條線上面是但攞兩點 ${\displaystyle (a,f(a))}$  同 ${\displaystyle (a+h,f(a+h))}$  嚟睇，而 ${\displaystyle h}$  嘅值細到喺嗰段仔可以想像成直線。${\displaystyle f(x)}$  喺呢兩點之間隨 ${\displaystyle x}$  嘅斜率係：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}&={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\end{aligned}}}$ 

微分（differentation）嘅做法建基於函數極限嘅諗頭，嚟表達一個函數嘅瞬間變率（instantaneous rate of change）：而家想像將 ${\displaystyle h}$  嘅數值變到愈嚟愈細，即係將條線斬做愈嚟愈細嘅橛，會得出${\displaystyle f(x)}$  喺呢兩點之間隨 ${\displaystyle x}$  嘅導數（derivative），${\displaystyle f'(x)}$ ，即係

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle h}$  一旦細到咁上下，就會變成無窮小量（infinitesimal）－無限咁接近 0、但仲係大過 0。用日常用語講嘅話，即係話如果將一條曲線斬開做好多極細嘅橛，如果啲橛仔夠細，噉每一橛仔都可以當成一條好短嘅直線，有一個可以有方法決定嘅斜率。如果用圖像方法表示，可以想像下圖條紅色曲線嘅情況（兩個細圓圈表示考慮緊嗰兩點）－隨住考慮緊嗰兩點之間嘅 ${\displaystyle x}$  距離愈嚟愈細（${\displaystyle h}$  愈嚟愈接近 0），噉「兩點之間嗰段紅色曲線嘅斜率」會愈嚟愈似「兩點之間嗰條直線嘅斜率」：

 

應用例子

因為自然科學同工程學會用函數描述好多嘢（自然現象同人造嘅系統），所以瞬間變率同埋建基於瞬間變率嘅函數分析方法喺好多科學同工程學上嘅研究裏面都有用。牛頓力學（Newtonian mechanics）就會用到導數嘅概念，將速度（${\displaystyle \mathbf {v} }$ ）想像成位移（${\displaystyle \mathbf {r} }$ ）隨時間（${\displaystyle t}$ ）嘅瞬間變率，而加速度（${\displaystyle \mathbf {a} }$ ）就想像成速度隨時間嘅瞬間變率，即係：

${\displaystyle \mathbf {v} ={\Delta \mathbf {r} \over \Delta {t}}}$ 
${\displaystyle \mathbf {a} ={\Delta \mathbf {v} \over \Delta {t}}}$ 

 

簡單例子：假想依家已知

${\displaystyle \mathbf {r} ={\text{C}}t}$ ，

當中 ${\displaystyle {\text{C}}}$  係一個常數；噉嘅話

${\displaystyle f'(t)={\frac {{\text{C}}(t+h)-{\text{C}}t}{h}}}$ ，當中 ${\displaystyle h}$  數值極細但大過 0；
${\displaystyle f'(t)={\frac {{\text{C}}t+{\text{C}}h-{\text{C}}t}{h}}}$ 
${\displaystyle f'(t)={\frac {{\text{C}}h}{h}}}$ 
${\displaystyle f'(t)={\text{C}}}$ 

－得出「${\displaystyle \mathbf {v} }$ （${\displaystyle f'(t)}$ ）係一個常數」。用日常用語講，有咗微分嘅技術，知道咗「${\displaystyle \mathbf {r} }$  點隨 ${\displaystyle t}$  變化」就會知道埋「${\displaystyle \mathbf {v} }$  點隨 ${\displaystyle t}$  變化」同「${\displaystyle \mathbf {a} }$  點隨 ${\displaystyle t}$  變化」；而事實表明咗，有咗用微分嚟做力學分析嘅技巧，就基本上可以分析嗮所有喺地球環境下郁動嘅物體。

 

積分（integral）係一個同微分好有啦掕嘅概念。喺最簡單最基本嗰種黎曼積分（Riemann integral）當中，積分係噉樣定義嘅：想像家陣有個函數 ${\displaystyle f}$ ，${\displaystyle y=f(x)}$ ；「函數 ${\displaystyle f}$  由 ${\displaystyle a}$  去 ${\displaystyle b}$  嘅積分」用數學符號嚟表達最基本如下：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ 

而黎曼積分嘅定義如下：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\equiv \lim _{{\text{max }}\Delta x_{k}\to 0}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x_{k}}$ 

上述呢條式講嘅嘢係噉嘅：想像依家將函數 ${\displaystyle f}$  畫做條線，得出附圖 2 噉嘅線；設 ${\displaystyle a=0}$  同 ${\displaystyle b=2}$ ，個研究者想計 ${\displaystyle (a,f(a))}$ 、${\displaystyle (a,0)}$ 、${\displaystyle (b,f(b))}$ 、${\displaystyle (b,0)}$  呢四點之間包住嘅面積係幾多，佢可以噉樣想像－

• 將 ${\displaystyle a}$  同 ${\displaystyle b}$  之間嗰段 X 軸斬開做 ${\displaystyle n\times 2}$  咁多橛（${\displaystyle {\text{step}}=1/n}$ ），並且畫 ${\displaystyle (2n-1)}$  咁多個長方形喺條線之內；
• 由幅圖睇得出，响 ${\displaystyle n=1}$  嗰陣，個長方形嘅面積完全唔似研究者想要嘅面積；
• 但又想像依家 ${\displaystyle n}$  變得極大，畫咗極多個長方形喺條之內，而每個呢啲長方形嘅闊度（${\displaystyle \Delta x_{k}}$ ）極細（${\displaystyle \Delta x_{k}\to 0}$ ）；
• 每一個呢啲極窄長方形嘅面積係 ${\displaystyle f(x_{k})\times \Delta x_{k}}$ （嗰一點嘅 ${\displaystyle f(x_{k})}$  乘以 ${\displaystyle \Delta x_{k}}$ ），而呢啲長方形嘅面積加埋（「${\displaystyle \sum }$ 」呢個符號所表達嘅嘢）就會非常接近研究者想要嗰個面積。

簡單講，如果話微分計嘅係一條曲線上指定某一點嘅瞬間斜率，噉積分計嘅就係一條曲線指定某一個間距內（${\displaystyle a}$  同 ${\displaystyle b}$  之間）條線同 X 軸之間嘅面積。

附圖 2，積分嘅想像圖解；函數 ${\displaystyle f}$  係「${\displaystyle y=x^{2}}$ 」。

 

應用例子

因為積分其實可以諗做加法嘅連續版本，而喺物理學入邊有好多嘅過程都係被想像成連續發生嘅，所以積分喺物理學入邊好有用。例如畀一個物體，佢嘅總質量、質心位置、旋轉慣性、總能量等等都可以用積分計出嚟。

喺牛頓運動定律入面，一個物體嘅動量變化係所有施加喺佢上面嘅力加埋，亦即係話，動量變化可以透過對總力做積分搵出嚟。喺電磁學方面，用微積分可以搵出一個電場或者磁場嘅總通量。

積分可以話係將微分做嘅嘢掉返轉頭嚟做，而呢點係微積分基本定理（fundamental theorem of calculus）嘅重要一部份：簡單講嘅話，想像家陣有個函數 ${\displaystyle f}$ ，

${\displaystyle y=f(x)}$ 
${\displaystyle f'(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$ （導數嘅定義）；

考慮呢個導數喺是但兩點 ${\displaystyle a}$  同 ${\displaystyle b}$  之間嘅積分，當中 ${\displaystyle b-a=\Delta x}$ ，

${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)\,dx}$ 

呢個積分嘅數值會等同

${\displaystyle f'(x)\times \Delta x}$ （積分嘅定義）；即係話
${\displaystyle ={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\times \Delta x}$ 
${\displaystyle =\Delta y}$ 

用日常用語講嘅話，攞一個函數 ${\displaystyle f}$  嘅導數 ${\displaystyle f'}$  上嘅一極細橛（${\displaystyle b-a=\Delta x}$ ）嚟睇，嗰橛嘅 ${\displaystyle f'}$  積分數值等同函數 ${\displaystyle f}$  喺 ${\displaystyle a}$  同 ${\displaystyle b}$  之間嘅 ${\displaystyle \Delta y}$  ：

${\displaystyle \int _{a}^{x}f'(x)\,dx=f(x)-f(a)}$ 

積分喺應用數學上都有廣泛嘅用途。例如係正話提到嗰個牛頓力學嘅例子噉，速度 ${\displaystyle \mathbf {v} }$  係位移 ${\displaystyle \mathbf {r} }$  隨時間 ${\displaystyle t}$  嘅導數，亦即係話是但搵兩點時間點，嗰兩點時間之間嘅 ${\displaystyle \mathbf {v} }$  嘅積分數值上會等同件物體喺嗰兩點時間之間嘅 ${\displaystyle \mathbf {r} }$  變化總數。事實係，自然科學同工程學喺分析系統嗰時往往都會想知啲變數會點樣隨時間變化，所以結合微分同積分嘅分析做法－微積分（calculus）－响呢啲領域上極之有用，可以攞嚟（例如）搵出能夠清楚精確噉表達嗮唔同嘅變數分別點樣隨時間變化嘅函數。