تفاضل وتكامل: فرع من الرياضيات

حساب التفاضل والتكامل أو الحسبان (باللاتينية: Calculus) الذي يسمى في الأساس «حساب التفاضل والتكامل اللانهائي»، هو الدراسة الرياضية للتغير المستمر، بنفس الطريقة التي تكون فيها الهندسة هي دراسة الشكل والجبر هي دراسة تعميمات العمليات الحسابية.

تفاضل وتكامل
معلومات عامة
صنف فرعي من
اشتق من
حلَّ محل
المكتشف أو المخترع
تاريخ هذا الموضوع
المُنظر
لديه جزء أو أجزاء

له فرعين رئيسيين: حساب التفاضل وحساب التكامل. يتعلق الأول بمعدلات التغيير الفورية، وميل المنحنيات، بينما يتعلق حساب التكامل بتراكم الكميات، والمساحات الموجودة أسفل المنحنيات أو بينها. يرتبط هذان الفرعان ببعضهما البعض من خلال المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل، ويستفيدان من المفاهيم الأساسية للتقارب بين المتسلسلات اللانهائية إلى حد محدد جيدًا.

تم تطوير حساب التفاضل والتكامل اللانهائي بشكل مستقل في أواخر القرن السابع عشر من قبل إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتس. اليوم، حساب التفاضل والتكامل له استخدامات واسعة في العلوم والهندسة والاقتصاد.

في تعليم الرياضيات، يشير حساب التفاضل والتكامل إلى دورات التحليل الرياضي الأولي، والتي تُكرَّس أساسًا لدراسة الدوال والحدود. تأتي كلمة (حساب calculi) من اللاتينية، والتي تعني في الأصل «حصاة صغيرة»؛ نظرًا لاستخدام مثل هذه الوحدات الصغيرة جدًّا للتغيرات في الحساب، فقد تطور معنى الكلمة واليوم تعني عادةً طريقة حساب. لذلك يتم استخدامها لتسمية طرق محددة للحساب والنظريات ذات الصلة، مثل حساب القضايا، حساب ريتشي، حساب المتغيرات، حسابات اللامدا، وحساب العملية.

تاريخ

تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 
كتاب مخطوط عربي في علم الحساب والهندسة والفلك

يعتقد البعض أن علم التفاضل قد سبق التكامل؛ لأن التكامل عملية عكسية للتفاضل وهذا غير صحيح. فقد أظهرت الأدلة التاريخية استخدام التكامل بطرق غير مباشرة في حساب المساحات والحجوم كما كان في عهد المصريين القدماء في طريقة حساب حجم الهرم الناقص. كما تبعهم اليونانيون في استخدام طريقة الاستنزاف لحساب المساحات والحجوم، ثم ازدهرت هذه الطريقة في عهد أرخميدس الذي أدخل فكرة طريقة الاستنفاد والتي تمثل جزءًا أساسيًّا في علم التكامل. ثم انتقلت طريقة الاستنزاف إلى الصين حيث عملوا جاهدين على إيجاد مساحة الدائرة وحجم الكرة.

وفي العصر الإسلامي استطاع ابن الهيثم استخدام طريقة تكاملية لاستنباط الصيغة العامة لمجموع متوالية حسابية من الدرجة الرابعة. ثم ابتدع الصينيون معادلات تتعامل مع التكامل، وفي الهند بدأ الاشتقاق بالظهور على يد هندي رياضي وصف التغيرات المتناهية في الصغر كما توصل آخرون لمتسلسلات شبيهة بمتسلسلة تايلور.

مع ظهور عصر النهضة بدأ الغرب بتعلم وترجمة الكتب القديمة من العربية وتطوير علوم الرياضيات، الفيزياء، وبعض العلوم الأخرى وتطور علم التفاضل والتكامل بشكل خاص على يد إسحاق نيوتن. قال المؤرخ العالمي المشهور (يورانت ول) أن ثابت بن قرة أعظم علماء الهندسة المسلمين قد ساهم بنصيب وافر في تقدم الهندسة، وهو الذي مهد لإيجاد علم التفاضل والتكامل كما استطاع أن يحل المعادلات الجبرية بالطرق الهندسية.

النهايات

تهتم بدراسة اتصال الدالة وقيمتها عندما يقترب تابعها من قيمة معينة.

بفرض أن الدالة تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  هي دالة حقيقية وأن تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  عدد حقيقي أيضًا:

عندئذ يمكن القول:

    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 

أي أن الدالة تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  تكون قريبة جدًّا حسبما نريد من تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  عندما تقترب تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  من العدد تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  ونعبر عن ذلك لغة (أن نهاية تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  عندما تؤول تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  إلى تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  هي تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق ).

التفاضل والاشتقاق

يتم اشتقاق التفاضل للدالة تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  من التعريف الرئيسي للنهاية بالعلاقة:

    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 
  • مشتقة الثابت:
    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 

وعندما يكون a عددًا ثابتًا إذًا:تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 

  • مشتقة دوال القوة:
    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 

إذا كان r عدد حقيقي إذًا:

    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 

مثال على ذلك: تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق ,

    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 
  • مشتقة الدوال الأسية واللوغاريتمية:
    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 
    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 
    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 
    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 
    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 
    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 
    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 
  • مشتقة الدوال المثلثية العكسية:
    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 
    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 
    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 

التكامل

في علم الرياضيات ينقسم التكامل إلى جزأين: التكامل المحدود والتكامل غير المحدود. يتعلق التكامل المحدود بحساب الأطوال، المساحات، المنحنيات، مراكز الثقل وما إلى ذلك من الدوال التي لها تطبيقات في شتى العلوم. من جهة أخرى يركز التكامل غير المحدود على إيجاد المعكوس الرياضي للتفاضل، ولهذا السبب يسمى أيضًا بـالاشتقاق العكسي.

الاشتقاق العكسي

يعطى التكامل غير المحدود لتابع رياضي تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  بالعلاقة:

    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 
    حيث:تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  و تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  هو مجرد ثابت بحيث أن تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق .
    الاشتقاق العكسي للدوال الأسية واللوغاريتمية:

    .تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 
    .تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 
    .تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 
    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 

الاشتقاق العكسي للدوال المثلثية:

تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 

تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 

تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 

التكامل المحدود

يعبر عنه بالشكل الرياضي:

    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  ، يطلق على تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  و تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  اسم حدود التكامل، والصيغة الأساسية لحساب التكامل المحدود هي:
    تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  بحيث ان تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  هي الدالة العكسية ل تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق ، أي أن تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق .

مثال

لإيجاد المساحة تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  تحت منحنى الدالة تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق ، من تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق  إلى تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق ، نقوم باستعمال التكامل المحدود، فنحصل على

تفاضل وتكامل: تاريخ, النهايات, التفاضل والاشتقاق 

تطبيقات

لعلم التفاضل والتكامل تطبيقات لا حصر لها في علوم الفيزياء الكلاسيكية والحديثة، والكيمياء، والهندسة، والاقتصاد، والحاسوب، وحتى في الطب وبعض العلوم السياسية والأدبية. فيما يلي بعض الأمثلة:

اقرأ أيضًا

المراجع

Tags:

تفاضل وتكامل تاريختفاضل وتكامل النهاياتتفاضل وتكامل التفاضل والاشتقاقتفاضل وتكامل التكاملتفاضل وتكامل تطبيقاتتفاضل وتكامل اقرأ أيضًاتفاضل وتكامل المراجعتفاضل وتكاملاللغة اللاتينيةجبرهندسة

🔥 Trending searches on Wiki العربية:

حرب أكتوبرحسين الشحاتالحسين بن علي شريف مكةالبحريننبوخذ نصر الثانيالحسين بن عليالقاهرةالإمارات العربية المتحدةأبو العباس السفاحبلال بن رباحأكرم توفيقبندر بن عبد العزيز بليلةصدام حسينالعاصمة الإدارية الجديدةستاد مصرعبد الله بن عباسدينار كويتيمكةيوم الأمعجائب الدنيانيك بويلعمر بن عبد العزيزيحيى السنوارخالد الفيصل بن عبد العزيز آل سعودتصفيات كأس آسيا 2027أحياء الرياضمحمد الفاتحخسوفميانمارالإسكندر الأكبرالدولة العثمانيةعائشة بنت أبي بكرياسين بنزيةصلاة الفجرجائزة الكرة الذهبيةصوت صفير البلبلأميمة الطاهرآل إبراهيممدرسالظاهر بيبرسمشعل العروجأحمد بن حنبلمنصة مدرستيغزوة أحدقطرأشعريةمعرض أعلام الدولباسم ياخورتصفيات كأس العالم 2026حق عرب (مسلسل)كرة السلةأسماء جلالالدوري الإنجليزي الممتازمنتخب البرتغال لكرة القدمأسرة عبد الله بن عبد العزيز آل سعودموسى في الإسلامعبد العزيز آل سعودحادثة كسر الضلعأصحاب الكهفمنتخب هولندا لكرة القدممحمدعثمان الأولصلاة المغربقائمة حلقات المحقق كونانكسوف الشمس 8 أبريل 2024نزار قبانيليونيل ميسيفيليبي كوتينيومكتبة جريرعبد الرحمن بن عوفأحمد السقامشعل الأحمد الجابر الصباح69 (وضعية جنسية)غزوة مؤتةتلوث المياهاللهفري فاير🡆 More