ካልኩለስ: ናሆም አየለ ግርማ

ካልኩለስ አዲስ የተገኘ የሂሳብ መሳሪያ ቢመስልም የጥንቶቹ ምሁራን ሳይቀር ጭላንጭሉን በማየት ግኝቶቻችቸውን ለታሪክ ትተው አልፈዋል። ከነዚህ ውስጥ የጥንታዊ ግብጽ ጸሃፍት ሳይጠቀሱ አይታለፉም። ለምሳሌ የሞስኮው ፓፒሪ ተብሎ በሚታወቀው ክርስቶስ ከመወለዱ 1820 አመታት በፊት የተጻፈው የግብጻውያን መዝገብ ላይ፣ የጥረዛ ካልኩለስ ጭላንጭልን እናገኛለን። በዚህ የጥንቱ ዘመን ጽሁፍ ላይ ደራሲው የቁና (እራሱ የተቆረጠ ሾጣጣን ) መጠነ ይዘት እንድናገኝ ጥያቄ ያቀርብና መልሱን በትክክል ያስቀምጣል። ይህን አይነት ጥያቄ በጥንታዊ ባቢሎናውያንም የተመዘገበ ቢሆንም መልሳቸው ግን ስህተት ነበር። በዚህ ምክንያት የጥንቶቹ ግብጻውያን የካልኩለስ ጀማሪወች ናቸው ማለት ይቻላል ምንም እንኳ መልሱን ያገኙበትን መንገድ ቢደብቁም።

 

ከግብጻውያኑ ጻህፍት ብዙ ከፍለ ዘመናት በኋላ የተነሱት የጥንቶቹ ግሪካውያንም ለዚህ ዕውቀት ዘርፍ የተቻላቸውን አበርክተዋል። ግሪኮቹ ዩዶክሱስ (408 - 355 ዓ.ዓ) እና አርኪሜድስ (287 - 212 ዓ.ዓ.) ካልኩለስ-መሰል ዘዴወችን በመጠቀም የተለያዩ ቅርጾችን መጠነ-ስፋትና መጠነ-ይዘት ለማግኘት ችለዋል። ከክርስቶስ ልደት በኋላም የቻይና ተማሪወችም እንደ ሊዩ ሂዩ፣ ዙ ቾንግዚ የተባሉት የዩዶክሱስን መንገድ አይነት በመጠቀም ስፋትንና ይዘትን ለማግኘት ችለዋል። ይህ በንዲህ እንዳለ ከአንድ 600 መቶ አመታት በኋላ አረቡ ኢብን አል-ሃያታም፣ ቻይናው ሸን ኮ፣ ህንዶቹ ባስቃራ፣ ማዳቫ ሳንጋማግራማ ፣ ኢራናዊው ሻራፍ አል-ዲናቱስ አሁን ለምናውቀው የካልኩለስ ትምህርት አዳዲስ እና ከፍተኛ አስተዋጾ አደረጉ። አንዳንዶቹም ባሁኑ ዘመን ከምንጠቀምባቸው ብዙ ያልተለዩ የሥነ-ልዩና ሥነ-ውህድ እውንታወችን በጥናት ሊያገኙ ቻሉ። "Madhava". Biography of Madhava. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Archived from the original on 2006-05-14. በ2006-09-13 የተወሰደ. which are treated in the text Yuktibhasa.

ይሁንና አውሮጳ ውስጥ የካልኩለስን መሰርት ጣለ ተበሎ የሚታወቀው ካቫሊየሪ (1598-1647 ዓ.ም) በሚባል ጣሊያናዊ ሲሆን የዚህ ሰው ዋና ሃሳብ ምን ነበር መጠነ ይዘትና መጠነ ስፋታቸው ከሁሉ በታች ትንሽ የሆኑ ኢምንት (infinitesimal) ክፍልፍዮችን በመደመር ያቃፊያቸውን አካል ሙሉ ስፋትና ይዘት እናገኛለን የሚል ነበር። ሆኖም ግን ይህ አስተሳሰብ፣ ምንም እንኳ ትክክል ቢሆንም፣ ብዙ ትኩረት ሳይሰጠው 17ኛው ክፍለ ዘመን ላይ እነ ዮሃንስ ዋሊስ፣ ኢሳቅ ባሮ እና ጄምስ ግሪጎሪ የተሰኙት ተማሪወች የካቫሊሪንን ሃሳብና የራሳቸውን ሃሳብ በመቀየጥ ክፍተኛ አስተዋጾ አደረጉ። በተለይ የመጨረሻወቹ ሁለቱ የካልኩለስ ሁለተኛ መሰረታዊ ቴረምን በ1675 በትክክል በማረጋገጥ ታሪክ ሰርተው አልፉ።

በዚሁ ዘመን፣ የኢሳቅ ባሮ ተማሪ የነበረው እንግሊዛዊው ኢሳቅ ኒውተን የማባዛት ደምብ፣ የሰንሰለት ደምብ፣ ከፍተኛ ውድድር፣ የቴይለር ዝርዝር እና የፍትሃት ፈንክሽን የተሰኙትን የካልኩለስ ጽንሰ ሃሳቦችን ለሰው ልጅ አበረከተ። ኒውተን እራሱ ያገኛቼውን የካልኩለስ ዘዴወች በመጠቀም የፈለኮችን ምህዋር፣ የሚሽከረከርን ፈሳሽ ቅርጽ፣ የመሬትን ቅርጽ (ትክክለኛ ድብልብል እንዳልሆነች)፣ በክብ ውስጥ የሚንቀሳቀስ እቃን ባህርይ እና የመሳሰሉትን ድንቅ ነገሮች ያለምንም ስህተት ሊያሳይ እና ሊተነብይ ቻለ።

ከኒውተን በተቃራኒ፣ በዚያው ዘመን የነበረው ጀርመናዊው ሌብኒትዝ ካልኩለስን ከጥራዝ ነጠቅነት በተላቀቀ መልኩ፣ ወጥ በሆነ ስሌት ማነጽ ጀመረ። ሌብኒትዝ በጊዜው ከኒውተን ኮረጀ ተብሎ ቢከሰስም ባሁኑ ዘመን ግን እራሱን ችሎ የካልኩለስን ህጎች እንዳገኘ ይታመናል። ሌብኒትዝ፣ ከኒውተን በጣም በተሻለ መልኩ የካልኩለስን ህጎችና ደምቦች በጠራ መንገድ ከጻፈው በሁዋላ ከኒውተን ቀድሞ ይህን ጽሁፉን ለህትመት አብቅቷል። በተረፈ የውድድርና የጥረዛ ምልክቶች ብሎ የፈጠራቸው ፊደላት አዲሱን ትምህርት በማቅለል በኒውተን ከባድ ጽሁፎች ውስጥ ተሸሽገው የነበሩትን ሃሳቦች በቀላሉ ለግንዛቤ እንዲመቹ ሆኑ። የሌብኒትዝ ያጻጻፍ ስልቶች ከቀላልነታቸው የተነሳ እስካሁን የምንጠቀምብቸው ሲሆን በኒውተንና በሌብኒትዝ መካከል የተነሳው «ማን መጀመሪያ ካልኩሊን አገኘ?» ጥል ግን ሁለቱን ሰወች ብቻ ሳይሆን በጊዜው የነበሩትን የእንግሊዝና የጀርመን ሳይንቲስቶችን ያናቆረ ነበር።

ከሁለቱ ሰወች በኋላም ካልኩለስ ባለበት አልቆየም፤ እንደውም እያደገና እየተሻሻለ ሄደ እንጂ። በ19ኛው ክፍለ ዘመን ለምሳሌ እነ ካውሺ፣ ራይማን፣ ወይስትራስ የተባሉት ሂሳብ አጥኝወች ጥግ የተስኘውን አዲስ ጽንሰ-ሃሳብ በመጠቀም ውሽልሽል የነበረውን የካልኩለስ መሰረት በማይነቃነቅ ቋጥኝ ላይ አሳረፉት። በዚሁ ዘመን ካልኩለስ ከነበረበት ጠበብ ያለ እይታ ወደ ከፍተኛ ማጠቃለያወች አመራ። ባሁኑ ዘመን ይህ የዕውቀት ዘርፍ በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤቶችና በዩንቬርስቲወች ውስጥ እንደ ዋና የትምህርት ክፍል ሆኖ ይሰጣል።

የካልኩለስ መሰረት

ኒውተን እና ሌብኒትዝ ዋና ዋና የካልኩለስ ሃሳቦችን ቢያገኙም ቅሉ የነዚህን ሃሳቦች መሰረታዊ እውነታ ላይ ብዙ ትኩረት አልሰጡም ነበር። ከነሱ በኋላ የተነሱት ቀማሪወች ይህን መሰረት ለማግኘት በመፈለግ ባደረጉት ትጋት የካልኩለስን እውነተኛ መሆን በሁለት መንገድ አረጋግጠዋል፡ እነዚህ ዘዴወች የጥግ እና የኢምንት ዘዴወች በመባል ይታወቃሉ። ባሁንኑ ዘመን እነዚህን መሰረቶች የሚያጠና የሂሳብ ክፍል ሪል አናላይሲስ ወይም የውኑ ፍትሃት ይባላል።

ካልኩለስ የተሰራው ጥቃቅን ብዛትንና ቁጥርን ( ብዘት (quantity))ን በመጠቀም ነው። በታሪኩም በኩል ብንሄድ የመጀመሪያወቹ የካልኩለስ ዘዴወች ኢምንት የተባውን ጽንሰ ሃሳብ ይጠቀሙ ነበር። ኢምንት ማለት እንደቁጥር መጠቀም የምንችለው ነገር ግን ትንሽነቱ የትየለሌ የሆነ ብዘት(quantity) ነው። የኢምንት ምልክት dx ሲሆን ትርጉሙም ከሁሉ ቁጥር በመጠኑ ያነሰ ነገር ግን ከ0 ብቻ የበለጠ ብዘት ማለት ነው። ይህን ኢምንት በማንኛውም ሙሉ ቁጥር ብናበዛው ከትንሽነቱ የተነሳ ውጤቱ ያው ኢምንት ነው የሚሆነው። ከዚህ አንጻር ካልኩለስ ማለት <<እንዴት አድርጌ ይህን ኢምንት መጠቀም እችላለሁ?>> ለሚለው ጥያቄ መልስ የሚሰጥ ነው። ዘዴውን በትክክል ለመረዳት አስቸጋሪ ስለነበር ከነኒውተንና ሌብኒዝ ዘመን ወደ 19ኛው ክፍለ ዘመን ስንሻገር ሂሳብ ተመሪወች ችላ ቢሉትም፣ በ20ኛው ክ/ዘመን በተነሱ አዳዲስ ግኝቶች ምክንያት እንደገና ሊያንሰራራ ችሏል።

ከላይ እንደተጻፈው የኢምንት ዘዴ በ19ኛው ክፍለ ዘመን ሲከስር በጥግ ጥናት ተተካ። ጥጎች አንድ ፈንክሽን የተወሰነ ግቤት (ግቤቶታ) (input) (ግቤት የውጤት ተቃራኒ ነው) ሲያገኝ የዚያን ግቤት ውጤት ዋጋ ከማግኘት ይልቅ ከግቤቱ በጣም ተጠግተው ያሉ ቁጥሮችን በማስገባት ተቀራራቢ ውጤቱን የምናሰላበት ዘዴ ነው።

:${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{x}}.}$  ቢሆን ፣ ግቤቱ(ግቤቶታ) 0 ሲሆን ውጤቱ 0/0 ይሆናል ማለት ነው። ዜሮን በዜሮ ስናካፍል ውጤቱ ስንት እንደሆነ ስለማናውቅ ቀጥታ ውጤቱ በርግጥ ስንት እንደሆነ ማወቅ ይቸገርናል። ይህን አጣብቂኝ ችግር ለመፍታት የጥግን ዘዴ እንጠቀማለን።

የ 0 ግቤት ጥግ	የውጤት ጥግ	ግቤት 0 ሲሆን የY ጥግ ስንት ነው??
0.1	0.1^2/0.1 = 0.1	...
0.001	0.001^2/0.001 = 0.001	...
0.0001	0.0001^2/0.0001 = 0.0001	...
0.00001	0.00001^2/0.00001 = 0.00001	...
0.0001	0.000001^2/0.000001 = 0.000001	...
0.00000001	0.00000001^2/0.00000001 = 0.00000001	....
0.0000000000001	0.0000000000001^2/0.0000000000001 = 0.0000000000001	...
0.0000000000000000001	0.0000000000000000001^2/0.00000000000000000001 = 0.000000000000000000001	${\displaystyle \approx }$  0

ግቤቱ ወደ ዜሮ እየተጠጋ በሄደ ቁጥር ውጤቱም ወደ ዜሮ እየተጠጋ እንደሚሄድ ማስተዋል አይከብድም። በዚህ ምክንያት የ ${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{x}}}$  ጥግ፣ ግቤቱ ወደ0 ሲጠጋ 0/0 ነው ከማለት 0 ነው እንላለን ማለት ነው።

ከላይ እንደምናስተውለው ጥግ የ ኢምንትን አስተሳሰብ አይጠቀመም ይልቁኑ እውነተኛ ቁጥርቾን ነው የሚጠቀመው። የጥግ ዘዴ የካልኩለስን መሰረት በማይናወጥ አለት ላይ ለመጣል በጣም ቀላሉ ዜዴ ሆኖ በመገኘቱ በአሁኑ ጊዜ አብዛኞች መጻህፍት ይህን መንገድ እንደ ካልኩሉስ መሰረት አድርገው ሲጠቀሙበት እናያለን።

 

የውድድር ካልኩለስ የውድድርን ትርጉም፣ ጸባይ፣ እና ተግባር ያጠናል። ያንድ ፋንክሽንን ውድድር የምናገኝበት ዘዴ መለየት (differentiation) ይባላል። አንድ ፈንክሽን ሲስጠን ያንን ፈንክሽን ነጥብ በነጥብ ለውጡን በማስላት ሌላ አዲስ ፈንክሽን እንሰራለን። ይህ የምንሰራው አዲ ስብስብ የውድድር ፈንክሽን ወይም በቀላሉ ውድድር በመባል ይታወቃል። እንግዲህ ከላይ እንዳየነው እኒህንና መሰል የሂሳብ ሂደቶችን ለማቃለል ሌብኒትዝ አዲስ ምልክቶችን ፈጥሯል። ከነዚህ ውስጥ በጣም ታዋቂ የሆነቸው የውድድር ምልክት <<አፖስትሮፍ>> ` ናት። ስለዚህ የፈንክሽን "f ውድድር f′ ሲሆን ሲነበብም "f ፕራይም " ይባላል ። ለምሳሌ፦ የ f(x) = x² ውድድር f′(x) = 2x የሄን ይመስላል ማለት ነው።

ፍጥነት እንደ ውድድር

ያንድ ፈንክሽን ግቤት (input) ጊዜ/ሰዓት ከሆነ፣ ለውጡ እንግዲህ የዚያን ፈንክሽን ውድድር ከጊዜ አንጻር ይለካል። ለምሳሌ f የሚባል ፈንክሽን ቢኖርና ሰዓትን ስንመግበው በዚያ ሳአት ላይ አንድ ኳስ የት እንደተቀመጠ አውጥቶ የሚንግረን ቢሆን ፣ የ f ውድድር እንግዲህ የኳሱ አቀማመጥ በጊዜ ውስጥ እንዴት እንደሚቀያየር ይነገርናል ማለት ነው፣ በሌላ አነጋገር የኳሱን ፍጥነት እናገኛለን ማለት ነው።

ኩርባ እንደ ውድድር

እንደምናውቀው አንድ ቀጠ ያለ መስመር ከነ የሊኒያር እኩልዮሹ y = mx + b ቢሰጠን ኩርባው

${\displaystyle m={\frac {\mbox{rise}}{\mbox{run}}}={{\mbox{change in }}y \over {\mbox{change in }}x}={\Delta y \over {\Delta x}}.}$  ነው።

መስመሩ ቀጥ ያላለ የተንጋደደ ከሆነ ግን የ y ውድድር ሲካፈል ለ x ውድድር በየነጥቡ ይቀያየርል (ማለት አንድ ጊዜ ከፍ አንድ ጊዜ ዝቅ ይላል)። በዚህ ጊዜ ኩርባውን በቀላሉ ማግኘት ስለማንችል፣ በየቦታው የተለያየውን ኩርባ ለማግኘት የውድድር መንገድን እንጠቀማለን ማለት ነው። ይህን መንገድ ለመጠቀም ገቢው በጥቃቅን ብዛቅ እየቀያየርን ወጭው እንዴት እንደሚቀየር በማስላት ኩርባውን በየቅጽበቱ ማግኘት ይቻላል። ለምሳሌ f" አንድ ፈንክሽን ቢሆን እና አንዲት ቋሚ ግቤት a ብናበላው እንግዲህ (a, f(a)) የ "f" ግራፍ ላይ ያለ ነጥብ ሲሆን h ደግሞ ወደ ዜሮ በጣም የተጠጋ ቁጥር ቢሆን፣ a + h ለ a በጣም የተጠጋ ቁጥርን ነው ማለት ነው። ስለዚህ (a + h, f(a + h)) ከ (a, f(a)) ጋር የተጠጋጉ ነጥቦች ናቸው። . በነዚህ ነጥቦች መካከል ያለውን ኩርባ ስናሰላ

${\displaystyle m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$ 

ይህ ቀመር የ"ውድድር ክፍፍል" ይባላል። በሁለት ነጥቦች መካከል ያለው መሰመር የሴካንት መስመር ሲባል m ደግሞ የሴካንቱ ኩርባ ናት ወየም የሁለቱ ነጥቦች (a, f(a)) እና (a + h, f(a + h)) ኩርባ ናት። በዚህ መንገድ በ "a" አጠገብ ሚሆነውን ማወቅ ብንችልም በ a እና a + h መካከል ያለውን ሁኔታ ማወቅ አንችልም ምክንያቱም ተዘሏል። በሌላ አንጻር h ን ዘሮ በማድረግ "a" ላይ ምን እንደሚሆን ማወቅ እንፈልግ ይሆናል ነገር ግን ይህ በዜሮ ማካፈል ሊኖርብን ነው ነገር ግን በዜሮ ማካፈል በሂሳብ ህግ ክልክል ነው። ይህን አጣብቂኝ ለመፍታት፣ ከላይ እንዳየነው፣ የጥግ ን ጽንሰ ሃሳብ እንጠቀማለን። ማለት h ወደ ዘሮ ሲጠጋ፣ ኩርባው የሚያሳየው ቋሚ ባህርይ ያ ፈንክሽን በነጥብ ("a"፣"f(a)") ላይ ካለው ቅጽበታዊ ኩርባ ጋር እኩል ነው ማለት ነው።

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.}$ 

ከጂኦሜትሪ አንጻር አንድ ፈንክሽን "f" በነጥብ "a" ላይ ያለው ውድድር፣ በዚያ ነጥብ ላይ ክሚያርፈው የጨራፊ መስመር ኩርባ ጋር እኩል ነው።

ለምሳሌ f(x) = x² የሚባል ፈንክሽን እንውሰድና ገቢው 3 ሲሆን የሚታየውን <<ውድድር>> በጥግ (limit) መንገድ እናስላ፦

 

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6.\end{aligned}}}$ 

እንግዲህ ከዚህ የምንረዳው የፈንክሺኑ ጨራፊ መስመር ኩርባ በነጥብ (3,9) ላይ 6 ነው, ይህም ማለት ፈንክሽኑ ወደላይ የሚያድግበት ፍጥነት ከወደጎን ከሚያድግበት ፍጥነት ጋር ሲነጻጸር 6 ጊዜ እጥፍ ነው። ይህም የሚያሳየው ዳገት መሆኑን ነው። ነጌቲቭ ቢሆን ኖሮ ቁልቁለት ይሆን ነበር።

የሌብኒዝ ምልክቶች

ሌላው በሌብንኒዝ የተዋወቀውና እስካሁን የሚሰራበት የውድድር መቀመሪያ ምልክት ይህን ይመስላል፦

${\displaystyle {\begin{aligned}y=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}=2x.\end{aligned}}}$ 

ምንም እንኳ ምልክቱ ፣ dy/dx ፣ የማካፈል ቢመስልም እኛ ግን መተርጎም ያለብን የጥግ መፈለጊያ መሆኑን ነው። ሌብኒዝ ዕርግጥ ነው ይህን ምልክት እንደሁለት ኢምንቶች ክፍልፋይ አደርጎ ነበር የወሰደው .... dy ማለት የy ኢምንታዊ ውድድር ሲሆን dx ደግሞ የ x ኢምንታዊ ውድድር።

d/dx እንደ ኦፕሬተር ሲቆጠር ግቤቱ ፈንክሽን ሲሆን ውጤቱም ፈንክሽን ነው። ቁልጭ አድርገን ስናስቀምጠው ውጤቱ የግቤቱ ፈንክሽን ውድድር ፈንክሽን ይሆናል ማለት ነው።

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.}$ 

በዚህ ጊዜ dx ሲነበበ "ከ x አንጻር ያለ ውድድር" ይባላል።

አጠራቃሚካልኩሊ ውሱን ጥረዛ እና ያልተወስነ ጥረዛ የተባሉትን ሁለት የውህድ ካልኩለስ ቅርጫፎች ትርጉም፣ ጸባይ፣ እና ተግባር ያጠናል፡፡

ያልተወሰነ ጥረዛ (indefinite integeral) የውድድር ግልባጭ ወይም ተቃራኒ ኦፕሬሽን ነው። ማለት F የ f ያልተወሰነ ጥርምር ነው ካልን f የ F ውድድር ነው ማለታችን ነው።. ( በሌላ ቋንቃ ትንሹ f ውድድርን ሲያመልከት ...ትልቁ F ጥረዛን ያመለክታል)

ሌላው ቅርንጫፍ፣ የተወሰነ ጥረዛ (definite integral)፣ ፈንክሽንን ይወስድና የተወሰነ ቁጥርን እንደውጤት ይሰጣል። ይህ ውጤጥ በፈንክሽኑና በx-axis መካከል ያለውን መጠነስ ስፋት ያክላል። ማለት የተወሰነ ውህድ ባንድ የተንጋደደ መስመር እና በ x-axis መካከል ተጠልለው ያሉ ህልቁ መሳፍርት ኢምንት አራት ማዕዘኖች ሲደመሩ (ሲጣመሩ) የሚጠጉት ቁጥር ነው ( ራይማን ድምር ይባላል)

ለምሳሌ፡ የአንድ መኪና ፍጥነቱ ይሰጠንና በየጊዜው ከኛ ያለውን ርቀት ለማወቅ እንሞክር

${\displaystyle \mathrm {distance} =\mathrm {speed} \cdot \mathrm {time} }$ 

ፍጥነቱ ቋሚ ከሆነ (ለምሳሌ 10 ሜትር በ ሰከንድ)፣ ርቀቱን ለማግኘት በጊዜ ማባዛት ብቻ ነው ሚያስፈልግ። ለምሳሌ በ5 ሰከንድ ውስጥ 5*10 = 50 ሜትር ሄዷል ማለት ነው። ነገር ግን ፍጥነቱ በአንድ የማይረጋ ተለዋዋጭ ከሆነ ርቀቱን በማባዛት ብቻ ማወቅ አይቻልም ምክንያቱም ቋሚ የምናባዛው ፍጥነት የለም። ይህን ችግር ለመፍታት በአይምሮአችን አምስቷን ሰከንደ ከፋፍለን የብዙ ጥቃቅን ሰኮንዶች ድምር አድርገን ካቀረብን በኋላ በነዚያ ጥቃቅን ጊዜያት ከሚኖሩት ተለዋዋጭ ፍጥነቶች አንድኛውን መርጠን በጊዜው ክፍልፋይ ስናባዛ በዚያች ትንጥ ጊዜ መኪናው ስንት ሜትር ገደማ እንደተጓዘ እናሰላለን። በያንዳንዷ ጥቃቅን የጊዜ ክፍልፋይ ያገኘናቸውን <<ገደማ ርቀቶች>> ስንደምር ከዋናው ርቀት ጋር በጣም ተቀራራቢ መልስ እናገኛለን። የዚህ ምክንያቱ በጣም ትንጥ የጊዜ ክፍል ከወሰድን ፍጥነቱ እምብዛም ስለማይቀያየር አንዱን ፍጥነት መርጠን ማባዛታችን የምናገኘውን ውጤት ብዙም አይጎዳውም ከሚል ነው።

ይህ መንገድ ራይማን ድምር ሲባል የሚስጠውም ውጤት ከእውነተኛው ውጤት ተቀራራቢ እንጂ እውንተኛውን ውጤት ራሱን አይደለም። ነገር ግን፣ የጊዜ ክፍልፋዩችን ወደ ዜሮ ጥግ ከወሰድናቸው፣ የድምሩ ውጤት ትክክለኛውን መልስ ይስጣል። ይህ ክፍልፍዩን ወደዜሮ ጥግ ወስዶ የመደመር ዘዴ አጠራቃሚካልኩለስ ይባላል።

 

በግራ ባለው ስዕል ላይ f(x) በየጊዜው ተለዋዋጭ የሆነ የመኪና ፍጥነትን ቢወክል, የጠቆረው ክፍል s መጠነ ስፋት በa ሰከንድና በ b ሰኮንድ መካከል መኪናው የተጓዘውን ርቀት ይወክላል።

ያንን መጠነ ስፋት በጥሩ ለመገመት፣ ቀላሉ ዘዴ በ a ና በ b መካከል ያለውን የጠቆረውን ክፍት ቦታ ወደ ጥቃቅን አራት ማዕዘኖች ቀይሮ የነዚያን ስፋት ካገኙ በኋላ በመደመር ለትክክለኛው ስፋት ተቀራራቢ ስፋት ማግኘት ነው። በሌላ ቋንቋ አድማሳዊ መሰመር X'ን ፣ Δx በተባሉ ጥቃቅን ስፋቶች መጀመሪያ መከፋፈል አለብን። ለያንዷ ትናንሽ ክፍል አንድ የተወሰነ የ f(x) ዋጋ ከመረጥን በኋላ ያንን ዋጋ h እንለዋለን። ከዚያ በΔx እና በ ቁመቱ h የሚሰራውን አራት ማዕዘን መጠነ ስፋት ስናሰላ ( Δx ጊዜ ቢወክል እና በዚያች ጊዜ ውስጥ የሚገኘን አንዱን ፍጥነት h ቢሆን) በዚያች ቅጽበት ውስጥ የተኬድውን ርቀት እናገኛለን። በየክፍልፍዩ የምናገኘው f(x)=h የዚያ ክፍል አማካይ ቁመት መሆንኑን አንዘንጋ። የነዚህ ሁሉ ጥቃቅን አራት ማዕዘናት ድምር እንግዲ በ ታችኛው አድማሳዊ መስመርና በተንጋደደው ላይኛው መስመር ያለውን መጠነ ስፋት ይጠጋል፣ ይህ ስፋት ደግሞ ከላይ እንዳየነው መኪናው በአጠቃላይ የተጓዘውን ርቀት ይለካል። የክፍልፋዩን Δx መጠን እያሳነስንና እያሳነስን በሄድን ቁጥር የድምሩ ስፋት ከዋናው ስፋት ጋር እየተቀራረበ እና እየተቀራረበ ይሄዳል። ግን ከመቅረብ አልፎ አንድ አይነት እንዲሆኑ የ Δx ጥግ ዜሮ ሲሆን የስፋቱ መጠን ጥግ ስንት እንደሆነ መቀመር ያሻል።.

የአጠራቃሚምልክት ${\displaystyle \int \,}$ , ሲሆን የተመዘዘ S ይመስላል፣ ይህ የሆነበት ምክንያት በእንግሊዝኛ S ፊደል "sum" ወይም ድምርን ስለሚወክልን ነው።. ይህን ምልክት ተጠቅመን የተወሰነ ጥረዛን ስንጽፍ ይሄን ይመስላል፦

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$ 

ሲነበብም << የ ኤፍ-ኦፍ-ኤክስ አጠራቃሚከ a እስከ b በ x አንጻር >> ይሆናል። ከጥግ ካልኩለስ አንጻር የሚከተለው ምልክትን መረዳት የሚገባን

${\displaystyle \int _{a}^{b}\ldots \,dx}$ 

ኦፕሬተር ሲሆን አንድ ፈንክሽንን እንደ ግቤት ወስዶ ቁጥርን እንደ ውጤት የሚያወጣ ሲሆን ቁጥሩም መጠነ ስፋትን የሚወክል ነው። dx ቁጥር አይደለም፣ f(x) ንም አያባዛም።

ያልተወሰነ ጥረዛ ወይም ኢ-ውድድር ደግሞ በንዲህ አይነት መንገድ ይጻፋል፦

${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$ 

ፈንክሽኖች በቋሚ ቁጥር ብቻ ከተለያይዩ ያልተወሰነ ጥምራቸው ወይም ኢ-ለውጣቸው አንድ አይነት ነው። በዚህ ምክንያት ያንድ ፈንክሽን ኢ-ውድድር አንድ ፈንክሽን ሳይሆን በቋሚ ቁጥር የሚለያዩ የፈንክሽን ቤተሰቦች እንጂ። ለምሳሌ የ y = x² + C, (C ቋሚ ቁጥር ቢሆን)፣ የ Y ውድድር y′ = 2x, ነው ...ስለዚህ የዚህ የለውጡ ኢ-ውድድር :

${\displaystyle \int 2x\,dx=x^{2}+C.}$ 

ነው።

የካልኩለስ መሰረታዊ እርግጥ የሚነግረን ሥነ ውድድርና ሥነ ጥረዛ ተገልባጭ ኦፕሬሽን እንደሆኑ ነው። በትክክል ለመግለጽ፣ የኢ-ውድድር አስረካቢዎች የተወሰነ ጥረዛን ዋጋ ለማስላት ያስችላል ይላል መሰረታዊ እውነቱ። ተወዳዳሪን ማስላት የተወሰነ ጥረዛን በጥግ ከማስላት በጣም ስለሚቀል፣ ይህ እውነት በርግጥም ካልኩለስን በተግባር ለመጠቀም ጠቃሚ አድርጎታል።

እንግዲህ ወደ ይዘቱ ስንመጣ፣ የካልኩለስ መሰረታዊ እርግጥ የሚለው፡ f የተባለ ፈንክሽን ቢሰጠና በ[a, b] መካከል ያልተቋረጠ ቢሆን፣ እንዲሁም የአስረካቢ F ውድድር f ቢሆን በ (a, b) መካከል

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$ 

በተጨማሪ, በ(a, b) መካከል ለሚገኝ ለያንዳንዱ x

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}$ 

ይህን እውነታ የተገነዘቡትና ለጽሁፍ ያበቁ ኢሳቅ ኒውተን እና ሌብኒትዝ ሲሆኑ፣ ከነዚህ እውነታ መገኘት በኋላ ነበር የካልኩለስ እድገት በጅጉ ፈጣን የሆነው። ይህ መሰረታዊ እውንታ የተወሰኑ ጥመረቶችን ያለምን የጥግ ፍለጋ፣ በአልጀብራ ብቻ ለማስላት አስችሏል። በዚህ ምክንያት ድሮ መጠነ-ስፋታቸውን ለማግኘት አስቸጋሪ የነበሩ የአስረካቢ ግራፎች፣ በጥግ ሂሳብ አንዳንዶቹ መልሳቸው ቢገኛም ይህ መንገድ አሰልቺና እልህ አስጨራሽ ሲሆን፣ እነ ኒውተን ያገኙት የካልኩለስ መሰረታዊ እውነታ ግን በቀላሉ የአስረካቢዎቹን ተወዳዳሪ በማግኘት፣ ስፋታቸውን ለማንሰላሰል አስችሏል።

የካልኩሊ ጥቅም

ባሁኑ ዘመን ካልኩለስን የማይጠቀም የዕውቀትም ሆነ የቴክኖሎጂ ዘርፍ የለም። ግን ዋና ዋና የካልኩለስ ጥቅም ናቸው ተብሎ የሚነገሩት እነዚህ ናቸው፦

1. ቅጽበታዊ ፍጥነት ለመለካት
2. ፍጥንጥነትን ለመልካት
3. የመስመርን ኩርባ ለመለካት
4. የገዳዳ መስመርን ርዝመት ለመልካት
5. በተንጋደደ መስመር ስር ያለን መጠነ ስፋት ለመለካት
6. መጠነ ይዘትን ለመለካት
7. የክብደት መካከልን ለመለካት
8. ስራሃይልግፊትን ለማንሰላሰል
9. የፎሪየር ድርድር፣ የሃይል ድርደር፣ የላፕላስ ውድድር ና
10. የመንኮራኩርን የጉዞ ምህዋር ለመተንበይና ወዘተረፈ..... ያገልገላል።

በፍልስፍናው ዘርፍ ሳይቀር ስለ ኅዋ፣ ጊዜ፣ ሥነ እንቅስቃሴ በጠነከረ መልኩ ለመፈላስፈ ይረዳል።

ኢንተርኔት ላይ ያሉ የእንግሊዝኛ መፃህፍት

• Crowell, B. (2003). "Calculus" Light and Matter, Fullerton. Retrieved 6 May 2007 from http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf
• Garrett, P. (2006). "Notes on first year calculus" University of Minnesota. Retrieved 6 May 2007 from http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf
• Faraz, H. (2006). "Understanding Calculus" Retrieved 6 May 2007 from Understanding Calculus, URL http://www.understandingcalculus.com/ (HTML only)
• Keisler, H. J. (2000). "Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals" Retrieved 6 May 2007 from http://www.math.wisc.edu/~keisler/keislercalc1.pdf
• Mauch, S. (2004). "Sean's Applied Math Book" California Institute of Technology. Retrieved 6 May 2007 from http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf Archived ጁን 14, 2007 at the Wayback Machine
• Sloughter, Dan (2000). "Difference Equations to Differential Equations: An introduction to calculus". Retrieved 17 March 2009 from http://synechism.org/drupal/de2de/
• Stroyan, K.D. (2004). "A brief introduction to infinitesimal calculus" University of Iowa. Retrieved 6 May 2007 from http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm (HTML only)
• Strang, G. (1991). "Calculus" Massachusetts Institute of Technology. Retrieved 6 May 2007 from http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm Archived ፌብሩዌሪ 25, 2010 at the Wayback Machine
• Smith, William V. (2001). "The Calculus" Retrieved 4 July 2008 [1] (HTML only).

ኢንተርኔት ድረ ገጾች

• Calculus Made Easy (1914) by Silvanus P. Thompson Full text in PDF
• Calculus.org: The Calculus page at University of California, Davis — contains resources and links to other sites
• COW: Calculus on the Web Archived ኤፕሪል 8, 2011 at the Wayback Machine at Temple University - contains resources ranging from pre-calculus and associated algebra
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
• Online Integrator (WebMathematica) from Wolfram Research
• The Role of Calculus in College Mathematics Archived ጁላይ 26, 2021 at the Wayback Machine from ERICDigests.org
• OpenCourseWare Calculus Archived ሜይ 5, 2010 at the Wayback Machine from the Massachusetts Institute of Technology
• Infinitesimal Calculus — an article on its historical development, in Encyclopaedia of Mathematics, Michiel Hazewinkel ed. .
• Elements of Calculus I and Calculus II for Business, OpenCourseWare from the University of Notre Dame with activities, exams and interactive applets.
• Calculus for Beginners and Artists by Daniel Kleitman, MIT
• Calculus Problems and Solutions by D. A. Kouba
• Solved problems in calculus Archived ፌብሩዌሪ 20, 2012 at the Wayback Machine