கணிதம் வகுத்தல்

இது பெருக்கலுக்கு எதிர்மாறானது ஆகும்.

c, b ஆகியவற்றின் பெருக்கலுக்கான விடை a, எனின் அது பின்வருமாறு எழுதப்படும்:

${\displaystyle c\times b=a}$

இங்கே b பூச்சியத்துக்குச் சமமற்றது ஆயின், a ஐ b ஆல் வகுக்கும்போதான விடை c, என்பது,

${\displaystyle a}$ ÷ ${\displaystyle b=c,\quad a/b=c,\quad {\text{or}}\quad {\frac {a}{b}}=c.}$

என எழுதப்படும்.

அதாவது,

${\displaystyle 2\times 3=6\,}$. ஆதலால்,
${\displaystyle {\frac {6}{3}}=2}$ ஆகும்.

மேலுள்ள கூற்றில்,

a - வகுபடு எண்
b - வகுஎண்
c - ஈவு என அழைக்கப்படும்.

${\displaystyle a/b}$ அல்லது ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}$ என எழுதப்படும்போது,

a ’தொகுதி’ என்றும், b ’பகுதி’ என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

முழு எண்கள் கணத்தில், கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் ஆகிய மூன்று கணிதச் செயல்களும் அடைவு பெற்றவை. ஆனால் வகுத்தல் அவ்வாறு முழு எண்கள் கணத்தில் அடைவு பெறவில்லை. ஒரு முழு எண்ணை மற்றொரு முழு எண்ணால் வகுக்கும்போது எப்பொழுதுமே ஒரு முழு எண் கிடைப்பதில்லை. மீதியும் கிடைக்கலாம். அந்த மீதியையும் வகுக்கும் வகையில் எண்கள், விகிதமுறு எண்களை உள்ளடக்கியதாக நீட்டிக்கப்படுகிறது.

பெரும்பாலும் வகுத்தலைக் குறிப்பதற்கு, ஒரு சிறு கிடைக் கோட்டுத்துண்டுக்கு கீழ் வகு எண்ணும் அக்கிடைக்கோட்டிற்கு மேற்புறம் வகுபடு எண்ணும் எழுதப்படுகிறது எடுத்துக்காட்டாக, a வகுத்தல் b என்பது கீழுள்ளவாறு எழுதப்படுகிறது:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ 

முழுக்கூற்றையும் ஒரே கோட்டில் எழுதுவதற்காக, சாய்கோட்டைப் பயன்படுத்தி வகுத்தல் பின்வருமாறும் எழுதப்படுகிறது:

${\displaystyle a/b\,}$ 

இம்முறையில்தான் கணினி நிரல் மொழியில் வகுத்தல் குறிக்கப்படுகிறது. இதிலிருந்து மாறுபட்டு சில கணித மென்பொருட்களில் மாற்றுவரிசையில் பின்சாய்கோட்டைப் பயன்படுத்தி கீழுள்ளவாறும் எழுதப்படுகிறது:

${\displaystyle b\backslash a}$ 

இவ்விரண்டிற்கும் இடைப்பட்ட விதத்தில் கீழுள்ளவாறும் வகுத்தல் குறிக்கப்படுகிறது:

^a⁄_b

ஒரு பின்னத்தைக் குறிப்பதற்கு, மேலுள்ள குறியீடுகளில் ஏதேனுமொன்றைப் பயன்படுத்தலாம்.

வகுத்தற்குறியைப் பயன்படுத்தி வகுத்தலைக் குறித்தல்:

${\displaystyle a\div b}$ 

இக்குறியீடு அடிப்படை எண்கணிதத்தில் மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது. கணிப்பான்களில் வகுத்தல் செயலுக்கான விசையின் மீது அடையாளக்குறியாக இந்த வகுத்தற்குறி பயன்படுத்தப்படுகிறது

ஆங்கிலம் பேசாத கலாச்சாரத்தில், "a வகுத்தல் b" என்பது a : b என எழுதப்பட்டது. இக்குறியீடு 1631 இல் வில்லியம் ஆட்ரெட் என்ற கணிதவியலாளரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுப் பின்னர் லைப்னிட்சால் பிரபலமானது. எனினும் ஆங்கிலத்தில் முக்காற்புள்ளி விகிதங்களுக்குப் மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது ( "a is to b").

சில நாடுகளில் தொடக்கப்பள்ளி வகுப்புகளில் நெடுமுறை வகுத்தலின் போது, a வகுத்தல் b என்பது ${\displaystyle b)~a}$  அல்லது ${\displaystyle b{\overline {)a}}}$  என எழுதப்படுகிறது. அதேபோல குறுமுறை வகுத்தலின் போது ${\displaystyle b{\underline {)a}}}$  என (அரிதாக) எழுதப்படுகிறது. இக்குறியீடு முதன்முறையாக மைக்கேல் ஸ்டிஃபெல் (Michael Stifel) என்ற ஜெர்மானிய கணிதவியலாளரால் 1544 இல் அவர் வெளியிட்ட புத்தகத்தில் (Arithmetica integra) அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.

கைமுறை வழிகள்

பெரும்பாலும் வகுத்தலானது, பல பொருட்களடங்கிய ஒரு தொகுப்பைப் ”பகிர்தல்’ என்ற கருத்தின் வழியாக அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ”ஒரு பெட்டியிலுள்ள மிட்டாய்களை குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான சிறுவர்களுக்குச் சமமாகப் பகிர்தல்” இதற்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டாகும்.

கூறாக்கம்

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட பொருட்களை குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில் பல சுற்றுக்களாக சமமாகப் பகிர்வது கூறாக்கம் ஆகும். அதாவது தொடர் கழித்தலாக வகுத்தல் செய்யப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக ஒருவரிடமுள்ள 58 எழுதுகோல்களை ஐந்து பேருக்குச் சமமாகத் தரவேண்டுமெனில், முதற்சுற்றில் ஒவ்வொருவருக்கும் பத்து எழுதுகோல்கள் எனத் தந்துவிட்டு, மீதமுள்ள எட்டை இரண்டாவது சுற்றில் ஆளுக்கொன்றாகத் தர, மீண்டும் மூன்று எழுதுகோல்கள் மீதியாகும். ஆனால் அவற்றை ஐவருக்குச் சமமாகப் பிரிக்க இயலாது. அதாவது, 58 ஐ ஐந்தால் வகுக்கும்போது ஈவு 11 (10+1); மீதி 3.

நீள்/குறு வகுத்தல்

வகு எண் சிறியதாக உள்ளபோது குறு வகுத்தலும், வகுஎண் பெரியதாக உள்ளபோது நீள் வகுத்தலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. தாள், எழுதுகோல் கொண்டு பெருக்கல் வாய்ப்பாடு தெரிந்தவர்கள் இவ்விரு முறைகளில் வகுத்தலைச் செய்ய முடியும்.

நீள்/ குறு வகுத்தல் முறைகளில்,

• வகுபடு எண் ஒரு பின்னம் எனில்:

பின்னப்பகுதியை தசமபின்ன வடிவில் எழுதிக்கொண்டு, வகுபடு எண்ணின் முழுஎண் பகுதியின் ஒன்றின் இலக்கம்வரை வகுத்து முடித்தபின் ஈவில் தசமப் புள்ளியிட்டுவிட்டு, வகுபடு எண்ணின் தசமபின்னப் பகுதியையும் வகுக்க வேண்டும்.

• வகுஎண் பின்னம் எனில்:

வகுஎண் பின்னப்பகுதி கொண்டிருக்கும் பட்சத்தில் அதனையும் தசமபின்னமாக மாற்றிக் கொள்ள வேண்டும். வகுஎண்ணில் தசமபின்னப் பகுதி இல்லாமல் இருப்பதற்கு, வகுபடு எண், வகுஎண் இரண்டிலும் தேவையான பொதுமாற்றத்தைச் செய்த பின்னர் வகுக்கத் தொடங்கலாம்.

நீள்வகுத்தல்

நீள்வகுத்தல் முறையில், முதலில் வகுஎண்ணால் வகுபடக்கூடிய வகுபடுஎண்ணின் இடதுபக்கக் கடைசியிலுள்ள இலக்கம் (அல்லது இலக்கங்கள்), வகுஎண்ணால் வகுக்கப்படுகிறது. ஈவாகக் கிடைக்கும் முழுஎண் மூலக் கணக்குக்குரிய ஈவின் முதல் இலக்கமாகமாகும். மீதியிருந்தால் அதனுடன் வகுபடு எண்ணின் அடுத்த இலக்கம் சேர்க்கப்பட்டு (இது கீழிறக்கப் படுவதாகச் சொல்லப்படும்) வகுஎண்ணால் வகுக்கப்படுகிறது. வகுபடு எண்ணின் வலது கடைசி இலக்கம் கீழிறக்கப்பட்டு வகுக்கப்படும்வரை இது தொடரப்படும். வகுஎண்ணின் முழுஎண் மடங்காக வகுபடுஎண் இருந்தால் இறுதிமீதி பூச்சியமாகக் கிடைக்கும். இல்லையெனில் இறுதிமீதி வகுஎண்ணை விடச் சிறிய எண்ணாகவும் கிடைக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

500 ÷ 4 = 125

     125     (விளக்கம்)    4)500      4        (4 ×  1 = 4)      10       (5 -  4 = 1)       8       (4 ×  2 = 8)       20      (10 -  8 = 2)       20      (4 ×  5 = 20)        0      (20 - 20 = 0) 

503 ÷ 4 எனில் ஈவு = 125; மீதி = 3

     125     (விளக்கம்)    4)503      4        (4 ×  1 = 4)      10       (5 -  4 = 1)       8       (4 ×  2 = 8)       23      (10 -  8 = 2)       20      (4 ×  5 = 20)        3      (23 - 20 = 3) 

குறு வகுத்தல்

குறுவகுத்தலில் முதலில் வகுஎண்ணால் வகுபடக்கூடிய வகுபடுஎண்ணின் கடைசி இடதுபக்கச் சிறிய இலக்கம் (அல்லது இலக்கங்கள்) வகுக்கப்பட்டபின் கிடைக்கும் மீதி மனதிலேயே கணக்கிடப்பட்டுக் கீழே எழுதப்படாமல், பக்கவாட்டில் அடுத்த இலக்கத்துடன் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டு வகுத்தல் தொடர்கிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

500 ÷ 4

${\displaystyle {\begin{matrix}\quad 125\\4{\overline {)500}}\\\end{matrix}}}$ 

மாறாக, வகுத்தலுக்கான கோட்டை வகுபடுஎண்ணுக்குக் கீழிட்டும் செய்யலாம்.

${\displaystyle {\begin{matrix}4{\underline {|500}}\\\ \ 125\\\end{matrix}}}$ 

நீள்வகுத்தல் அளவுக்கு குறுவகுத்தல் எழுதுதாளில் இடமடைப்பதில்லை. எனினும் குறுவகுத்தலுக்கு மனக்கணக்குத் தேவைப்படுகிறது என்பதையும் கருத்தில் கொள்ளவேண்டும்.

மடக்கை அட்டவணை

மடக்கையைப் பயன்படுத்தி இரு எண்களின் வகுத்தலுக்கான மடக்கை அவ்வெண்களின் தனித்தனி மடக்கைப் பெறுமானங்களின் வித்தியாசத்திற்குச் சமனாகும்:

${\displaystyle \log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}x-\log _{b}y.\,}$ 

மடக்கை அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி இரு எண்களுக்கிடையேயான வகுத்தலை எளிதாகச் செய்ய முடியும். இரு எண்களை வகுப்பதற்கு,

வகுபடு எண்ணின் மடக்கை மதிப்பிலிருந்து வகுஎண்ணின் மடக்கை மதிப்பைக் கழித்து, கிடைக்கும் எண்ணிற்கு மீண்டும் எதிர்மடக்கை காண, தேவையான விடை கிடைக்கும்.

நழுவு சட்டம்

வகுத்தலுக்கு நழுவு சட்டம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நழுவு சட்டத்தின் C அளவுகோலில் வகுஎண்ணையும், D அளவுகோலில் வகுபடு எண்ணையும் பொருத்த வேண்டும். D அளவுகோலில், C அளவுகோலின் இடதுபக்கச் சுட்டானது பொருந்துமிடம் ஈவைத் தரும். எனினும் நழுவுச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்துபவர் தசமபுள்ளியின் நகர்வை கவனமாகப் பார்த்துவர வேண்டும்.

எண்சட்டம்

எண்சட்டத்தைப் பயன்படுத்தியும் வகுத்தலைச் செய்யலாம்.

கணிப்பானும் கணினியும்

அறிவியல் வளர்ச்சியினால் கணிப்பான்களும் கணினிகளும் அறிமுகமான பின்னர் வகுத்தலைச் செய்வது எளிதாகி உள்ளது. இவற்றைப் பயன்படுத்தி வகுத்தலைத் துல்லியமாகவும் விரைவாகவும் செய்ய முடிகிறது.

பெருக்கலைப் போன்று வகுத்தலும் கூட்டல், கழித்தலுடனான வலது-பங்கீட்டுப் பண்பை நிறைவு செய்யும்.

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}=(a+b)\div c={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}}$ 

ஆனால் பெருக்கலைப் போல வகுத்தல் இடது பங்கீட்டுப் பண்பை நிறைவு செய்யாது.

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}=a\div (b+c)\neq {\frac {a}{b}}+{\frac {a}{c}}}$ 

ஒரே வரிசையில் பல வகுத்தல்கள் இருக்கும்பொழுது செயல்முறை வரிசை இடப்பக்கமிருந்து வலப்பக்கம் நோக்கி அமையும். இது வகுத்தலின் இடது-சேர்ப்புப் பண்பு ஆகும்:

${\displaystyle a\div b\div c=(a\div b)\div c=a\div (b\times c)=a\times b^{-1}\times c^{-1}}$ .

எண்கணிதத்தில் யூக்ளிடிய வகுத்தல் என்பது இரு முழு எண்களின் வகுத்தலைக் குறிக்கிறது. இரு முழுஎண்களின் வகுத்தலின் விளைவாக ஒரு ஈவும் மீதியும் கிடைக்கின்றன. இவ்வாறு பெறப்படும் ஈவும் மீதியும் தனித்தவை என்பதையும், அவற்றுக்கான சில பண்புகளையும் தருகின்ற தேற்றம். இரு முழுஎண்களை வகுத்து ஈவையும் மீதியையும் கணக்கிட, முழுஎண் வகுத்தலின் படிமுறைத் தீர்வுகள் உதவுகின்றன. அவற்றுள் நெடுமுறை வகுத்தல் முக்கியமானதாகும். முழுஎண்கள் குறித்த பல கேள்விகளுக்கு, யூக்ளிடிய வகுத்தலும் அதைச் செய்வதற்கான படிமுறைத்தீர்வுகளும் அடிப்படையாக உள்ளன. இரு முழுஎண்களின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி காண்பதற்குப் பயன்படும் யூக்ளிடிய படிமுறைத்தீர்வையும், மீதியை மட்டுமே கருத்தில் கொள்ளும் சமானம், மாடுலோ nஐயும் இதற்கு எடுத்துக்காட்டாகக் கூறலாம்.

 

யூக்ளிடிய வகுத்தலை கீழ்வரும் விளக்கங்களின் மூலம் எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம்:

9 துண்டுகள் கொண்ட ஒரு உணவுப்பண்டத்தை 4 பேருக்குச் சமமாகப் பிரிக்கவேண்டுமெனில், யூக்ளிடிய வகுத்தலின் படி, 9 ஐ 4 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவு = 2; மீதி = 1. எனவே ஒருத்தருக்கு 2 துண்டுகள் வீதம் நால்வருக்கும் பகிர்ந்தளித்த பின்னர் 1 துண்டு மீதியிருக்கும்.

வகுத்தலின் எதிர்மாறுச் செயலான பெருக்கலைக் கொண்டு இதைச் சரிபார்க்கலாம்:

ஒருவருக்கு 2 துண்டுகள் வீதம் 4 பேருக்குக் கொடுக்கப்பட்டது எனில், 4 × 2 = 8 துண்டுகள் அளிக்கப்பட்டு விட்டன; ஒன்று மீதமுள்ளது. எனவே மொத்தத் துண்டுகள் 4 × 2 = 8 + 1 = 9. அதாவது
9 = 4 × 2 + 1.

இதனைப் கீழுள்ளவாறு பொதுமைப்படுத்தலாம்:

a எண்ணிகையிலான துண்டுகளை b நபர்களுக்குச் சமமாகப் பகிர்ந்தளிக்கும்போது ஒவ்வொருவருக்கும் q துண்டுகள் (ஈவு) கிடைத்தது போக r (< b) துண்டுகள் மீதமிருக்கும்.
a = bq + r .

9 துண்டுகள் கொண்ட ஒரு உணவுப்பண்டத்தை 4 பேருக்குப் பதில் 3 பேருக்குச் சமமாகப் பிரித்தால், ஒவ்வொருவருக்கும் 3 துண்டுகள் கிடைக்கும். மீதியிருக்காது. இங்கு மீதி = 0. இந்த வகுத்தலில் 3 ஆனது 9 ஐச் சரியாக வகுக்கிறது எனப்படும். மேலும், 3 ஆனது 9 இன் வகுஎண் எனப்படும்.

எதிர்ம முழுஎண்களுக்கும் யூக்ளிடிய வகுத்தலை நீட்டிக்கலாம்:

−9 = 4 × (−3) + 3. எனவே −9 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால் ஈவு = ; மீதி = 3

யூக்ளிடிய வகுத்தலை முழுவெண்கள் வகுத்தலின் முடிவுகளைக் காட்டும் கணித வடிவமைப்பு ஆகும்.

a, b என்ற இரு முழு எண்கள். a வகுபடுஎண், b வகுஎண். b ≠ 0 எனில்,
a = bq + r , 0 ≤ r < | b |

இதில் q (ஈவு), r (மீதி) இரண்டும் தனித்த முழுஎண்கள். (| b | = b இன் தனி மதிப்பு).

முழுஎண்களின் வகுத்தல் அடைவு பெறாதது. அதாவது ஒரு முழுஎண்ணை மற்றொரு முழுஎண்ணால் வகுக்கும்போது கிடைக்கும் ஈவு எப்பொழுதும் முழுஎண்ணாக இருக்காது. வகுஎண்ணின் முழுஎண் மடங்காக வகுபடு எண்ணாக இருக்கும்போது மட்டுமே ஈவும் ஒரு முழுஎண்ணாக இருக்கும். மேலும் பூச்சியத்தால் வகுப்பதும் வரையறுக்கப்படவில்லை.

எடுத்துக்காட்டாக, 26 ஐ 11 ஆல் வகுக்கும்போது, ஈவு ஒரு முழுஎண் அல்ல. இந்நிலையில் கீழ்வரும் ஐந்து விதங்களில் ஏதேனுமொன்று பயன்படுத்தப்படும்.

1. 26 ஐ 11 ஆல் வகுக்க முடியாதென்னும்போது, வகுத்தல் ஒரு பகுதிச் சார்பாகி விடும்.
2. தசம பின்னம் அல்லது பின்னமாக தோராயமான விடை தரப்படும். ;${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}\simeq 2.36}$  அல்லது ${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}\simeq 2{\tfrac {36}{100}}.}$  வழமையாக இம்முறைதான் எண்சார் பகுப்பியலில் பின்பற்றப்படுகிறது.
3. விடையை ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகத் தரலாம். அவ்வாறு தரும்போது அது எளிய வடிவிலிருக்குமாறு தொகுதி, பகுதி இரண்டின் மீபொவ -ஆல் அவற்றை வகுத்துச் சுருக்கி விடவேண்டும். அதாவது 26 ஐ 11 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் விடை: ${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}.}$  அதேபோல 52 ஐ 22 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் விடையும் ${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}}$ .
4. வகுக்கக் கிடைக்கும் விடையை ஈவு மற்றும் மீதி வடிவில் தரலாம்: ${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}=2,}$  மீதி ${\displaystyle =4.}$ 
5. விடையாக, முழுஎண் ஈவை மட்டும் தரலாம்:

${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}=2.}$  சிலசமயங்களில் இது ’முழுஎண் வகுத்தல்’ எனப்படும்.

கணினி செய்நிரல்களில் முழுவெண்கள் வகுத்தலுக்குத் தனி கவனம் தேவைப்படுகிறது. C நிரல் மொழியில், முழுவெண் வகுத்தல் மேலே தரப்பட்ட வகை 5 போல கொள்ளப்படுகிறது; அதனால் அவ்வகுத்தலின் விடை முழுவெண்ணாகக் கிடைக்கும். மேட்லேப் போன்ற பிற நிரல்மொழிகளில், வகை 3 இல் உள்ளதுபோல விடை விகிதமுறு எண்ணாகக் கிடைக்கும். வகை 3 இன் விடை வாயிலாகவோ அல்லது நேரிடையாகவோ மேலுள்ள மற்ற வகைகளின் விடைகளைப் பெறுவதற்கான சார்புகளை இந்த நிரல்மொழிகள் தருகின்றன.

முழுவெண் வகுத்தலுக்கான குறியீடுகளாக div, /, \, % ஆகியவை பயன்படுத்தப்படுகின்றன. வகுவெண்ணோ அல்லது வகுபடுவெண்ணோ எதிர்ம எண்ணாக இருந்தால் முழுவெண் வகுத்தலின் வரையறை மாறுபடும்: முழுதாக்குதல் பூச்சியத்தை நோக்கியோ அல்லது −∞ நோக்கியோ இருக்கலாம்.

ஒரு முழுவெண்ணை மற்றொரு முழுவெண் சரியாக வகுக்குமா இல்லையா என்பதனை வகுத்தல் விதியைக் கொண்டறியலாம்.

ஒரு விகிதமுறு எண்ணை மற்றொரு விகிதமுறு எண்ணால் வகுக்கக் கிடைக்கும் விடையும் ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகும் (வகுஎண் பூச்சியமாக இருக்கக் கூடாது). விகிதமுறு எண்கள் p/q , r/s இரண்டின் வகுத்தல் வரையறை:

${\displaystyle {p/q \over r/s}={p \over q}\times {s \over r}={ps \over qr}.}$ 

p , q , r , s நான்கும் முழுஎண்கள்; இந்நான்கில் p மட்டுமே பூச்சியமாக இருக்க முடியும். வகுத்தல், பெருக்கலின் எதிர்மாறு என்பதை இவ்வரையறை உறுதிப்படுத்துகிறது.

ஒரு மெய்யெண்ணை மற்றொரு மெய்யெண்ணால் வகுக்கக் கிடைக்கும் விடையும் ஒரு மெய்யெண்ணாகும் (வகுஎண் பூச்சியமாக இருக்கக் கூடாது). மெய்யெண் வகுத்தலின் வரையறை:

a = cb மற்றும் b ≠ 0 என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே a/b = c .

எந்தவொரு எண்ணையும் பூச்சியத்தால் வகுப்பது (வகுஎண் பூச்சியம்) என்பது வரையறுக்கப்படவில்லை. ஏனெனில் எந்தவொரு முடிவுறு எண்ணாலும் பூச்சியத்தைப் பெருக்கினாலும் கிடைக்கும் பெருக்குத்தொகை பூச்சியமே ஆகும். பெரும்பான்மையான கணிப்பான்களில் பூச்சியத்தால் வகுத்தலை அழுத்தினால் ‘பிழை’ என்ற செய்தியே கிடைக்கும்.

ஒரு சிக்கலெண்ணை மற்றொரு சிக்கலெண்ணால் வகுக்கக் கிடைக்கும் விடையும் ஒரு சிக்கலெண்ணாகும் (இதில் வகுஎண் பூச்சியமாக இருக்கக் கூடாது).

சிக்கலெண் வகுத்தலின் வரையறை:

${\displaystyle {p+iq \over r+is}={(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)}={pr+qs+i(qr-ps) \over r^{2}+s^{2}}={pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}.}$ 

p, q, r, s நான்கும் மெய்யெண்கள்; r , s இரண்டுமே பூச்சியமாக இருக்கக் கூடாது

போலார் வடிவில் தரப்படும் சிக்கலெண் வகுத்தல் வரையறை மேலுள்ள வரையறையை விட எளிய வடிவிலமையும்:

${\displaystyle {pe^{iq} \over re^{is}}={pe^{iq}e^{-is} \over re^{is}e^{-is}}={p \over r}e^{i(q-s)}.}$ 

இதிலும் p, q, r, s நான்கும் மெய்யெண்கள்; r , s இரண்டுமே பூச்சியமாக இருக்கக் கூடாது

ஒரு களத்தில், ஒரு மாறியிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வகுத்தலை வரையறுக்க முடியும். முழுஎண்களின் வகுத்தலைப் போன்றே பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வகுத்தலும் மீதியைக் கொண்டிருக்கும். பல்லுறுப்புக்கோவை நெடுமுறை வகுத்தல் அல்லது தொகுமுறை வகுத்தல் முறைகளில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வகுத்தலைக் கைமுறை வழியில் செய்யலாம்.

இரு அணிகளின் வகுத்தல் வரையறை:

A , B இரு அணிகள் எனில்:

A / B = AB⁻¹,

இதில், B⁻¹ = B இன் நேர்மாறு அணி

இடது மற்றும் வலது வகுத்தல்

அணிப் பெருக்கலுக்குப் பரிமாற்றுத்தன்மை கிடையாது என்பதால் A / B , A \ B இரண்டும் சமமில்லை.

இடது வகுத்தல் அல்லது பின்சாய்கோட்டு வகுத்தலின் வரையறை:

A \ B = A⁻¹B என்பது இடது வகுத்தல் அல்லது பின்சாய்கோட்டு வகுத்தல் எனப்படுகிறது.

இந்த இடது வகுத்தல் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருப்பதற்கு B⁻¹ கண்டுபிடிக்கக் கூடியதாய் இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை. ஆனால் கண்டிப்பாக A⁻¹ கண்டுபிடிக்கக் கூடியதாக இருக்க வேண்டும்.

வலது வகுத்தல் அல்லது சாய்கோட்டு வகுத்தலின் வரையறை:

A / B = AB⁻¹ என்பது வலது வகுத்தல் அல்லது சாய்கோட்டு வகுத்தல் என அழைக்கப்படுகிறது.

இந்த வலது வகுத்தல் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருப்பதற்கு A⁻¹ கண்டுபிடிக்கக் கூடியதாய் இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை. ஆனால் கண்டிப்பாக B⁻¹ கண்டுபிடிக்கக் கூடியதாக இருக்க வேண்டும்.

மேலும் A , B, C மூன்று அணிகள் எனில்:

A/(BC) = (A/C)/B
(AB)\C = B\(A\C).

போலிநேர்மாறு

A⁻¹ , B⁻¹ ஆகிய இரண்டும் அல்லது ஏதாவது ஒன்று காணமுடியாததாய் இருக்கும் சிக்கல்களைத் தவிர்க்கும் பொருட்டு, அணிகளின் வகுத்தல் போலி நேர்மாறு கொண்டு வரையறுக்கப்படுகிறது.

A / B = AB⁺
A \ B = A⁺B,

இதில் A⁺ , B⁺ இரண்டும் முறையே A , B இன் போலிநேர்மாறுகள்.

போலி நேர்மாறு

${\displaystyle A\in \mathrm {M} (m,n;K)}$  அணியின் போலி நேர்மாறு, ${\displaystyle A^{+}\in \mathrm {M} (n,m;K)}$  கீழ்வரும் நிபந்தனைக்களுட்பட்ட அணியாகும்.

1. ${\displaystyle AA^{+}A=A\,\!}$ 
2. ${\displaystyle A^{+}AA^{+}=A^{+}\,\!}$ 
3. ${\displaystyle (AA^{+})^{*}=AA^{+}\,\!}$ 
4. ${\displaystyle (A^{+}A)^{*}=A^{+}A\,\!}$ 

இரு சார்புகளின் வகுத்தலாக அமையும் சார்பின் வகையிடல், வகையிடலின் வகுத்தல் விதி மூலம் செய்யப்படுகிறது:

${\displaystyle {\left({\frac {f}{g}}\right)}'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}.}$