கணிதம் நிகரி

இப்பண்பின்படி, ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் இரட்டை (even) அல்லது ஒற்றை (odd) எண் எனப் பிரித்து அடையாளப்படுத்தப்படுகிறது. இரண்டின் மடங்காக இருக்கும் முழுஎண்கள், இரட்டை எண்கள் என்றும் இரண்டின் மடங்காக இல்லாத முழுஎண்கள் ஒற்றை எண்கள் எனவும் பிரிக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டாக, −4, 0, 8 ஆகியவை இரட்டையெண்கள். ஏனெனில் இவற்றைப் பின்வருமாறு இரண்டின் மடங்காக எழுதலாம்:

$${\displaystyle {\begin{aligned}-2\cdot 2&=-4\\0\cdot 2&=0\\41\cdot 2&=82\end{aligned}}}$$

மாறாக, −3, 5, 7, 21 என்பவை ஒற்றையெண்கள்.

நிகரியின் இந்த வரையறையானது முழுஎண்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும்; 1/2, 4.201 போன்ற பின்னங்களுக்கும் தசமபின்னங்களுக்கும் பொருந்தாது.

இரட்டை மற்றும் ஒற்றை எண்களின் நிகரிகள் ஒன்றுக்கொன்று எதிரானது. எடுத்துக்காட்டாக 22 (இரட்டை எண்), 13 (ஒற்றை எண்) இரண்டும் எதிரெதிர் நிகரிகளைக் கொண்டது. பூச்சியத்தின் நிகரி இரட்டையாகும். அடுத்தடுத்துள்ள இரு முழுஎண்கள் எதிர் நிகரியுடையன. பதின்ம எண்குறி முறைமையில் எழுதப்படும் முழுஎண்களில் ஒன்றினிடத்திலுள்ள எண் இரட்டையாக இருந்தால் அம்முழுஎண் இரட்டையெண்ணாகவும், ஒன்றுகளின் இடத்திலுள்ள எண் ஒற்றையாக இருந்தால் அம்முழுஎண் ஒற்றையெண்ணாகவும் இருக்கும். அதாவது, ஒன்றுகளின் இடத்தில் 1, 3, 5, 7, 9 கொண்ட முழுஎண்கள் ஒற்றையெண்கள்; ஒன்றுகளின் இடத்தில் 0, 2, 4, 6, 8 கொண்ட முழுஎண்கள் இரட்டையெண்கள்.

இதே கூற்று எந்தவொரு இரட்டை எண்முறைமைகளுக்கும் பொருந்தும். எடுத்துக்கட்டாக, இரும எண்களில் (இரண்டடிமான எண்) ஒற்றையெண்ணின் கடைசி இலக்கம் 1 ஆகவும், இரட்டையெண்ணின் கடைசி இலக்கம் 0 ஆகவும் இருக்கும். ஒற்றை எண்முறைமைகளிலுள்ள எண்களின் நிகரி, அவற்றின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைப் பொறுத்தமையும்; இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை இரட்டையாகவுள்ளவை இரட்டை எண்களாகவும், ஒற்றையாகவுள்ளவை ஒற்றையெண்களாகவும் இருக்கும்.

• ஓர் இரட்டை முழுஎண் கீழ்வரும் வடிவிலமையும்:

${\displaystyle x=2k}$ , (k ஒரு முழுஎண்)

• ஓர் ஒற்றை முழுஎண் கீழ்வருமாறமையும்:

${\displaystyle x=2k+1}$ , (k ஒரு முழுஎண்)

மாற்று வரையறை:

• இரட்டை எண்கள் 2 ஆல் வகுபடும்:

$${\displaystyle 2\ |\ x}$$

 

• ஒற்றை எண்கள் 2 ஆல் வகுபடாது:

$${\displaystyle 2\not |\ x}$$
 

இரட்டை எண்களின் கணம் மற்றும் ஒற்றை எண்களின் கணத்தின் வரையறை:

$${\displaystyle \{2k:k\in \mathbb {Z} \}}$$
 
$${\displaystyle \{2k+1:k\in \mathbb {Z} \}}$$
 

இரட்டையெண்களின் கணம், முழுஎண்கள் கணத்தின் (${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ) இயல்நிலை உட்குலமாக அமைவதோடு, காரணி குலத்தையும் (${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ) உருவாக்குகிறது. எனவே, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  இலிருந்து ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$  க்கான காப்பமைவியமாக (ஒற்றை எண்கள் 1; இரட்டை எண்கள் 0) நிகரியை வரையறுக்கலாம்.

வகுஎண்களின் பண்புகளைக்கொண்டு கீழ்வரும் விதிகளைச் சரிபார்க்கலாம். இவ்விதிகள், சமானம், மாடுலோ n இன் விதிகளின் சிறப்புவகையாக உள்ளன. மேலும் இவை, சமக்குறிக்கு இருபுறமுமுள்ள சமநிலையைச் சோதிப்பதன்மூலம் அச் சமத்தன்மை சரியானதா இல்லையா என்று அறிந்துகொள்வதற்கு பயன்படுத்தப்படுகின்றன. சாதாரண எண்கணிதத்தில் உள்ளதுபோலவே சமானம் மாடுலோ 2 இலும் கூட்டலும் பெருக்கலும் சேர்ப்புப் பண்பும் பரிமாற்றுப்பண்பும் உடையவை; பெருக்கல் கூட்டலைப் பொறுத்து பங்கீட்டுப் பண்பையும் கொண்டுள்ளது. ஆனால் சமானம் மாடுலோ 2 இல் கழித்தலும் மேற்கூறிய பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. ஆனால் சாதாரண எண்கணிதத்தில் கழித்தலுக்கு இப்பண்புகள் கிடையாது.

கூட்டலும் கழித்தலும்

• இரட்டை ± இரட்டை = இரட்டை;
• இரட்டை ± ஒற்றை = ஒற்றை;
• ஒற்றை ± ஒற்றை = இரட்டை;

பெருக்கல்

• இரட்டை × இரட்டை = இரட்டை;
• இரட்டை × ஒற்றை = இரட்டை;
• ஒற்றை × ஒற்றை = ஒற்றை;

({இரட்டை, ஒற்றை}, +, ×) என்ற அமைப்பு இரண்டு உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு களமாகும் (GF(2)).

வகுத்தல்

இரு முழுஎண்களை ஒன்றையொன்று வகுக்கும்போது கிடைக்கும் விடை எப்போதும் முழுஎண்ணாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒன்றை நான்கால் வகுக்கக்கிடைப்பது 1/4 ஆகும். இரட்டை/ஒற்றை என்பது முழுஎண்களில் மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளதால், 1/4 இரட்டையுமில்லை; ஒற்றையுமில்லை. வகுக்கும்போது கிடைக்கும் ஈவு முழுஎண்ணாக இருந்தால், வகுஎண்ணைவிட வகுபடுஎண்ணுக்கு இரண்டின் காரணிகள் அதிகமாக "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" அந்த ஈவுஎண் இரட்டையெண்ணாகும்.

இரட்டையெண்களின் கணம், முழுஎண்கள் வளையத்தின் சீர்மமாகும் ஆனால் ஒற்றையெண்கள் அவ்வாறு முழுஎண்கள் வளையத்தின் சீர்மமாக இருக்காது. இரட்டை எண்கள் கணத்தில் கூட்டல் செயலுக்கான முற்றொருமை உறுப்பு ('0', இரட்டையெண்) இருப்பதும் ஒற்றையெண்கள் கணத்தில் அது இல்லாததுமே இதற்குக் காரணமாகும். ஒரு முழுஎண்ணானது சமானம் மாடுலோ 2 இல் '0' விற்குச் சமானமாக இருந்தால் அது இரட்டையெண்; '1' க்குச் சமானமாக இருந்தால் ஒற்றையெண்.

'2' ஐத் தவிர மற்ற பகா எண்கள் அனைத்துமே ஒற்றையெண்கள். அறியப்பட்ட அனைத்து நிறையெண்களும் இரட்டையெண்கள். ஒற்றை நிறையெண்கள் எதுவும் உள்ளனவா என்று இன்னும் அறியப்படவில்லை.

கோல்டுபேக்கின் அனுமானத்தின்படி 2 ஐ விடப்பெரியதாகவுள்ள ஒவ்வொரு இரட்டையெண்ணையும் இரு பகா எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம். தற்காலக் கணினி கணக்கீடுகள் 4 × 10¹⁸ மதிப்பு வரையுள்ள முழுஎண்களுக்கு இந்த அனுமானம் சரியானதெனக் காட்டுகின்றன. எனினும் இந்த அனுமானத்திற்கு பொதுவான நிறுவல் கண்டறியப்படவில்லை.

 

ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் ஒற்றையா இரட்டையா என்பது அம் வரிசைமாற்றத்தினை மேலும் பிரிக்கக்கூடிய இடமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையின் நிகரியைப் பொறுத்தது. அந்த எண்ணிக்கை ஒற்றையெண்ணாக இருந்தால் அது ஒற்றை வரிசைமாற்றம்; மாறாக அவ்வெண்ணிக்கை இரட்டை எண்ணாக இருந்தால் இரட்டை வரிசைமாற்றம்

எடுத்துக்காட்டு: (ABC) ----> (BCA) வரிசைமாற்றமானது ஒரு இரட்டை வரிசைமாற்றம். ஏனெனில் இவ்வரிசைமாற்றத்தை, A, B ஐ ஒன்றுக்கொன்று இடமாற்றியபின்னர், C, A ஐ ஒன்றுக்கொன்று இடமாற்றிப் பெறலாம். அதாவது இரு இடமாற்றங்களை மேற்கொண்டு இந்த வரிசைமாற்றத்தைப் பெறலாம்.

ஒரே வரிசைமாற்றத்தை ஒற்றைக் கூறுகளாகவும் இரட்டைக் கூறுகளாகவும் பிரிக்க இயலாது என்பதால் மேலே தரப்பட்ட வரிசைமாற்றத்தின் நிகரியின் வரையறை பொருந்தக்கூடியது. ரூபிக்கின் கனசதுரம் போன்ற புதிர்களில் இரட்டை வரிசைமாற்றங்களை மட்டுமே கொண்டு நகர்வுகளை மேற்கொள்ளமுடியும். எனவே இப்புதிர்களின் அமைப்புகளைப் புரிந்துகொள்வதற்கும் நிகரி முக்கியமான பண்பாக உள்ளது.

பியத்–தாம்ப்சன் தேற்றப்படி ஒற்றை வரிசையுடைய முடிவுறு குலங்கள் எப்பொழுதுமே தீர்வு காணக்கூடியவையாக இருக்கும். இது, உயர்கணிதத்திலும் ஒற்றை என்ற பண்பு பயன்பாடு கொண்டுள்ளதைக் காட்டுகிறது.

ஒரு சார்பின் தருமதியின் மதிப்புகளை எதிர்மறையாக மாற்றும்போது சார்பின் மதிப்புகள் எவ்வறு மாறுகின்றன என்பதை இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள் விளக்குகின்றன.

ஒரு மாறியின் இரட்டை அடுக்காகவுள்ள சார்பில் அடுக்கினை எதிர்மறையாக மாற்றினாலும் சார்பின் மதிப்பில் எந்தவொரு மாற்றமும் இராது. இச்சார்பு இரட்டைச் சார்பாகும். ஆனால் அடுக்கு ஒற்றையெண்ணாக இருக்கும்போது அடுக்கின் மதிப்பை எதிர்மறையாக்கும்போது சார்பின் மதிப்பும் எதிர்மறையாகும். இது ஒற்றைச் சார்பாகும். அதாவது:

n இரட்டை முழுவெண் எனில்,${\displaystyle f(x)=x^{n}}$  இரட்டைச் சார்பு.
n = 2, ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ; n = -2 என்றாலும்,${\displaystyle f(x)=x^{-2}=x^{2}}$ 
n ஒற்றை முழுஎண் எனில்,${\displaystyle f(x)=x^{n}}$  ஒற்றைச் சார்பு
n = 3, ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ ; n = -3 எனில்,${\displaystyle f(x)=x^{-3}=-x^{3}}$ 

ஒரு சார்பானது ஒற்றையாகவோ அல்லது இரட்டையாகவோ இல்லாமலும் இருக்கலாம். f(x) = 0, என்ற சார்பு ஒற்றையாகவும் இரட்டைச் சார்பாகவும் இருக்கும்.

ஒரு இரட்டைச் சார்பின் டெய்லர் தொடரிலுள்ள எல்லா உறுப்புகளிலும் மாறியின் அடுக்கும் இரட்டையெண்ணாகவே இருக்கும். ஓர் ஒற்றைச் சார்பின் டெய்லர் தொடரிலுள்ள எல்லா உறுப்புகளிலும் மாறியின் அடுக்கும் ஒற்றையெண்ணாகவே இருக்கும்

எடுத்துக்காட்டுகள்:

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}\cdots }$ 
${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots }$