Matemáticas Paridade

Os números enteiros que non son pares chámanse números impares e poden escribirse como 2k+1.

Os números pares son:

${\displaystyle \mathrm {pares} =\{\;...,\;-4,\;-2,\;0,\;2,\;4,\;6,\;8,\;...\;\}}$

e os impares:

${\displaystyle \mathrm {impares} =\{\;...,\;-5,\;-3,\;-1,\;1,\;3,\;5,\;7,\;...\;\}}$

A paridade dun número enteiro refírese ao seu atributo de ser par ou impar. Comparativamente, dous números son «da mesma paridade» se ao dividilos entre 2 o resto é o mesmo; por exemplo, "2" e "4", ou "3" e "7"; son «da mesma paridade». Polo contrario os números "23" e "44" son «de distinta paridade».

 

Se a base de numeración utilizada é un número par (por exemplo, base 10 ou base 8), pódese recoñecer un número par se o seu último díxito tamén é par. Por exemplo, o número en base 10 ${\displaystyle {352107706}_{10}}$  é par porque o seu último díxito (6) tamén é par. O mesmo sucede co número en base 6 ${\displaystyle {2145301354}_{6}={23211718}_{10}}$ 

Se a base do sistema de numeración é impar, o número será par se o número de díxitos impares é par. Por exemplo, en base 3 ${\displaystyle {120}_{3}={15}_{10}}$  é impar porque 1 é a súa única cifra impar, mentres que ${\displaystyle {321}_{5}={86}_{10}}$  é par porque 3 e 1 son os dous díxitos impares.

• Dous números enteiros consecutivos teñen paridade diferente.
• Dados tres enteiros consecutivos, dous serán da mesma paridade e un deles será necesariamente de paridade distinta dos outros dous.

Sexan ${\displaystyle P}$  o conxunto dos números pares e ${\displaystyle I}$  o conxunto dos números impares. Se tomamos o conxunto dos números enteiros téñense as seguintes propiedades:

• ${\displaystyle P\subset \mathbb {Z} }$ 
• ${\displaystyle I\subset \mathbb {Z} }$ 
• ${\displaystyle P\cap I=\emptyset }$ 
• ${\displaystyle P\cup I=\mathbb {Z} }$ 
• ${\displaystyle P={\bar {I}}=\mathbb {Z} -I}$ , onde o macron denota o complementario do conxunto.
• ${\displaystyle I={\bar {P}}=\mathbb {Z} -P}$ 

Sexa ${\displaystyle p}$  un número par calquera e ${\displaystyle i}$  un número impar calquera. Cúmprese:

• A suma ou subtracción de dous números pares resulta un número par:

${\displaystyle p\pm p'=2n\pm 2n'=2(n\pm n')=p''\,\!}$ 

• A suma ou subtracción de dous números impares resulta un número par:

${\displaystyle i\pm i'=(2n-1)\pm (2n'-1)=2n\pm 2n'+c=2(n\pm n'+c)=p\,\!}$ 

• A suma ou subtracción dun número par cun número impar resulta un número impar:

${\displaystyle p\pm i=p\pm (p'-1)=(p\pm p')\pm 1=i'\,\!}$ 

• A multiplicación dun número par por un número par resulta un número par:

${\displaystyle p\times p'=(2n)(2n')=2(2nn')=p''\,\!}$ 

• A multiplicación dun número impar por un número impar resulta un número impar:

${\displaystyle i\times i'=(2n-1)(2n'-1)=2n2n'-2n-2n'+1=2(2nn')-2n-2n'+1=p-p'-p''+1=p'''+1=i''\,\!}$ 

• A multiplicación dun número par por un número impar resulta un número par:

${\displaystyle p\times i=(2n)(2n'-1)=2n2n'-2n=2(2nn'-n)=p'\,\!}$ 

Tipos especiais de números pares

• Os números perfectos son pares.
• Os factoriais dos números naturais diferentes de 1 e 0 son pares.
• Os números congruentes de Fibonacci son todos pares. Segundo a definición de Fibonacci que aparece no seu libro Liber Quadratorum (1225), un número congruente é da forma m·n (m² - n²), con m e n enteiros positivos impares e m > n.

Outros artigos

• Paridade do cero