수론에서 짝수(-數, 영어: even number)는 2로 나누어 떨어지는 정수이다. 홀수(-數, 영어: odd number)는 2로 나누어 떨어지지 않는 정수이다. 즉, 짝수는 2, 4, 6, 8, 10, ...과 같이 둘씩 세었을 때 남는 수가 없으며, 홀수는 1, 3, 5, 7, 9, ...와 같이 둘씩 세었을 때 1이 남는다,
위에서 말했듯, 홀수는 2의 배수가 아닌 정수이다. 다음 정의들은 각각 이와 뜻하는 바가 같다.
마찬가지로, 짝수는 2의 배수인 정수이다. 다음 정의들은 각각 이와 뜻하는 바가 같다.
49는 홀수이다. 49 = 2 × 24 + 1이기 때문이다. 128은 짝수이다. 128 = 2 × 64이기 때문이다. 비슷하게, 음수인 -49는 홀수이며, -128은 짝수이다. 0은 짝수이다.
양의 홀수 전체의 수열은 다음과 같다.
음이 아닌 짝수 전체의 수열은 다음과 같다.
홀수의 집합은 다음과 같다.
양의 홀수의 집합은 다음과 같다.
짝수의 집합은 다음과 같다.
음이 아닌 짝수의 집합은 다음과 같다.
두 홀수나 두 짝수의 합은 항상 짝수이며, 홀수와 짝수의 합 및 짝수와 홀수의 합은 항상 홀수이다. 즉,
증명:
n, m이 정수일 때,
1. 두 홀수 2n+1, 2m+1에 대하여
(2n+1)+(2m+1)=2n+2m+2=2(n+m+1)
n+m+1 역시 정수이므로 2(n+m+1)은 짝수이다.
∴ 홀수 + 홀수 = 짝수
2. 홀수 2n+1, 짝수 2m에 대하여
(2n+1)+(2m)=2n+2m+1=2(n+m)+1
n+m 역시 정수이므로 2(n+m)+1은 홀수이다.
∴ 홀수 + 짝수 = 홀수
→ 덧셈은 교환법칙이 성립되므로 '짝수 + 홀수'역시 홀수이다.
3. 두 짝수 2n, 2m에 대하여
(2n)+(2m)=2(n+m)
n+m 역시 정수이므로 2(n+m)은 짝수이다.
∴ 짝수 + 짝수 = 짝수
두 홀수의 곱은 홀수, 두 짝수의 곱은 짝수, 홀수와 짝수의 곱 및 짝수와 홀수의 곱은 짝수이다. 즉,
증명:
(증명) n, m이 정수일 때,
1. 두 홀수 2n+1, 2m+1에 대하여
(2n+1)×(2m+1)=4mn+2n+2m+1=2(2mn+n+m)+1
2mn+n+m 역시 정수이므로 2(2mn+n+m)+1은 홀수이다.
∴ 홀수 × 홀수 = 홀수
2. 홀수 2n+1, 짝수 2m에 대하여
(2n+1)×(2m)=2m(2n+1)=2(2mn+m)
2mn+m 역시 정수이므로 2(2mn+m)은 짝수이다.
∴ 홀수 × 짝수 = 짝수
→ 곱셈은 교환법칙이 성립되므로 '짝수×홀수'역시 짝수이다.
3. 두 짝수 2n, 2m에 대하여
(2n)×(2m)=4mn=2(2mn)
2mn 역시 정수이므로 2(2mn)은 짝수이다.
∴ 짝수 × 짝수 = 짝수
특히, 다음과 같은 성질들이 성립한다.
어떤 정수가 홀수인지 짝수인지 다음과 같이 판정할 수 있다.
숫자들의 묶음을 통신수단을 통해 전송할 때, 가장 원시적인 확인 방법은 수의 합이 홀수인지 짝수인지를 구별하는 것이다.
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