கணித நிறுவல்

இங்கு, நிறுவல் என்பது தருக்க அடிப்படையில் உய்த்தறியும் ஒரு முறை யே. ஓர்வுகள் அல்லது செய்முறைகள் வழியாகப் பெறப்படுவது அல்ல. அதாவது, ஓர் எடுகோள், ஒரு விதிவிலக்குக் கூட இல்லாமல் அது பயன்படுத்தப்படும் எல்லாச் சூழல்களுக்கும் உண்மை என்பதை, நிறுவல் விளக்கவேண்டும். இதற்கு விவாதத்தின்போது முன்பே நிறுவிய கூற்றுகளான தேற்றங்களைப் பயன்படுத்தலாம். கொள்கையளவில், எந்தவொரு நிறுவலையும் நுண்மையாகத் தொடர்ந்து சென்றால் , அது முடிவில் அடிப்படை நடைமுறை உண்மைகளான அடிக்கோள்களில் முடிவதைக் காணலாம். , இது ஆனால் ஏற்கெனவே ஏற்ற உய்த்தறியும் விதிகளைப் பின்பற்றி அமையும். . நிறுவல்கள் என்பன அறுதிநிலை கொணர்முறை அல்லது விரிமுறை ஏரணத்துக்கான எடுத்துகாட்டுகள் ஆகும். இவை புலனறிவுச் சான்றுகள், விவாதங்களில் இருந்தும் பகுத்தறிவுக்கு உகந்த எதிர்பார்ப்புகளாகிய முடிவுறாத விரிநிலை ஏரணத்தில் இருந்தும் பாகுபடுத்திப் பார்த்தல் வேண்டும். நிறுவல் என்பது அனைத்துச் சூழல்களிலும் உண்மையாகும் கூற்றாக விளக்கப்படவேண்டும். சில நிறுவப்பட்ட நேர்வுகளை மட்டும் கருதக்கூடாது. சரியாக இருக்கக்கூடும் என நம்பப்படும் ஆனால் நிறுவப்படாத ஒரு கூற்று, ஊகம் எனப்படும்.

நிறுவல் தருக்கத்தைப் பயன்படுத்துகிறது எனினும், வழமையாக இயல்பான மொழியும் பயன்படுத்தப்படுகின்ற காரணத்தால் நிறுவலில் ஓரளவு மயக்க நிலையும் (ambiguity) காணப்படுவதுண்டு. உண்மையில் எழுத்துமூலக் கணிதத்தில் பெரும்பாலான நிறுவல்கள் முறைசாராத் தருக்கத்தைப் (informal logic) பயன்படுத்துகின்றன. தூய முறைசார் நிறுவல்கள் நிறுவல் கோட்பாட்டில் கையாளப்படுகின்றன. முறைசார்ந்த நிறுவலுக்கும், முறைசாரா நிறுவலுக்கும் இடையிலான வேறுபாடு தற்காலத்திலும், முன்னரும் கைக்கொள்ளப்பட்ட கணிதச் செயல்முறைகள் பற்றிய பல ஆய்வுகளுக்கு வித்திட்டுள்ளது. கணித மெய்யியல், நிறுவல்களில் மொழியினதும், தருக்கத்தினதுமான பங்களிப்புகளைக் கருத்தில் எடுத்துக்கொள்கிறது.

உண்மை என நிறுவப்பட்ட ஒரு கூற்று தேற்றம் (theorem) எனப்படும். நிறுவப்பட்ட ஒரு தேற்றத்தை வேறு கூற்றுக்களை நிறுவுவதற்குப் பயன்படுத்தலாம். பிற தேற்றங்களை நிறுவுவதற்கு அடிப்படையாகப் பயன்படும் தேற்றங்களை கிளைத்தேற்றங்கள் (lemma) எனக் குறிப்பிடுவர். அடிக்கோள்கள் என்பன ஒருவரால் நிறுவப்படத் தேவையற்ற அடிப்படை உண்மையை வெளிப்படுத்தும் கூற்றுக்கள் ஆகும்.

சொற்பிறப்பியல்

"proof" எனும் ஆங்கிலச் சொல் ஓர்தல் அல்லது சோதித்தல் எனும் பொருள்கொண்ட probare இலத்தீனச் சொல்லில் இருந்து வந்ததாகும். பின்னதை நேரடியாகச் சார்ந்த ஆங்கிலச் சொற்களாக "probe", "probation", "probability" ஆகியவை அமைகின்றன. எசுப்பானிய மொழி சார்ந்த probar எனும்சொல்முகர், சுவை, தொடு, ஓர் (சோதி) என்பனவாகும். இதாலிய மொழி சார்ந்த provare என்பதன் பொருள் முயல் (வி) என்பதாகும். செருமானிய மொழி சார்ந்த probieren என்பதும் முயல் (வி) என்பதே. "probity" எனும் ஆங்கிலச் சொல் முதலில் சட்டப்படியான சான்றளிப்பைக் குறிப்பதாக உள்ளது. அதிகாரம் வாய்ந்த ஒருவர், குறிப்பாக நிலக்கிழார் சான்றளிக்க ஏற்றவராகக் கருதப்பட்டார். சான்றளிப்பது அவரது அதிகார வரம்புக்கு விடப்பட்டுள்ளது . எனவே புற புலனறிவு சார்ந்த சான்றேதும் கருதப்படவில்லை.

வரலாறு

கணித நிறுவலுக்கு முன்பு படங்கள், ஒப்புமைகள் போன்ற உய்த்தறியும் கருவிகளைப் பயன்படுத்தும் உண்மைகாண்திற விவாதங்கள் மெய் நிறுவலில் நிலவின. ஒரு முடிவைச் செயல்முறையில் விளக்கும் எண்ணக்கரு முதலில் நில அளவையியல் எனப்பொருள்பட்ட வடிவியலில் தோன்றியிருக்க வாய்ப்புண்டு. கணித நிறுவல் முதலில் கிரேக்க கணிதவியலில் தோன்றியது. இது அப்போதைய மாபெரும் அறிவடைவாக அமைந்தது. தெலேசு (கி.மு 624–546 ), சீயோசின் இப்போக்கிரட்டீசு (கி.மு 470-410) ஆகிய இருவரும் வடிவியலில் சில தேற்றங்களை நிறுவினர். யுடாக்ச்சு (கி.மு 408–355 ), தியேடெட்டசு (கி.மு 417–369)ஆகிய இருவரும் சில தேற்றங்களை உருவாக்கினர். ஆனால், அவற்றை நிறுவவில்லை. அரிசுடாட்டில் (கி.மு 384–322) வரையறைகள் ஏற்கெனவே நிறுவிய கருத்துப்படிமங்களில் இருந்து வரையறுக்க வேண்டிய கருத்துப்படிமத்தை விளக்கவேண்டும் எனக் கூறினார். கி.மு 300 அளவில் யுக்கிளிடு இன்றும் பயன்படும் அடிக்கோளியல் முறையைப் பயன்படுத்தி கணித நிறுவலில் புரட்சி செய்தார். அடிக்கோள்களையும் வரையறுக்கப்படாத சொற்களையும் பயன்படுத்தி தேற்றங்களை கொணர்வு அல்லது பகுமுறை ஏரணத்தால் நிறுவினார்.20 ஆம் நூற்றாண்டின் இடைப்பகுதி வரை, மேலைநாடுகளில் கற்றோர் எனப்பட்டவர் எவரும் இவரது நூலாகிய அடிப்படைகள் எனும் நூலைக் கட்டாயமாகப் படித்தனர். பித்தாகோரியத் தேற்றம் போன்ற வடிவியலின் தேற்றங்கள் மட்டுமன்றி, இந்நூல் எண்சார் கோட்பாடு 2 இன் குழிப்பு வேர் அல்லது வருக்கமூலம் ஒரு பகா எண்ணே என்பதற்கான நிறுவலும் ஈரிலாத பல முதன்மை எண்கள் நிலவுகின்றன எனும் கூற்றும் அடங்கியதாய் விளங்கியது.

அடுத்த கட்ட வளர்ச்சி இடைக்கால இசுலாமியக் கணிதவியல் வழியாக ஏற்பட்டது. தொடக்கநிலைக் கிரேக்க நிறுவல்கள் வடிவியல் விளக்கங்களாக விளங்க, இசுலாமியக் கணிதவியலாலர்கள் தோற்றுவித்த எண்ணியல், இய்ற்கணிதவியல் வளர்ச்சி மிகவும் பொதுவான நிறுவல்கள் ஏற்பட வழிவகுத்தது. இவை வடிவியலை எவ்விதத்திலும் சார்ந்திருக்கவில்லை. கி.பி 10 ஆம் நூற்றாண்டில் ஈராக்கிய கணிதவியலாளராகிய அல்-ஆழ்சிமி (Al-Hashimi) எண்களுக்கான பொது நிறுவல்களைக் கோடுகளின் பெருக்கலையும் வகுத்தலையும் கருதும்போது தந்தார். இம்முறையைப் பின்பற்றி இவர் பக்க எண்கள் நிலவுதலுக்கான நிறுவலைத் தந்தார். அல்-பக்ரி ( Al-Fakhri) (1000) எனும் நூலில் அல்-கராஜி, எண்ணியல் வரிசைமுறை (எண்ணியல் தொடர்) சார்ந்த கணிதவியல் விரிதொகு உய்த்தறிமுறை நிறுவலை அறிமுகப்படுத்தினார். இவர் இந்த நிறுவலை ஈருறுப்புத் தேற்றத்தையும் பாசுகல் முக்கோணத்தின் இயல்புகளையும் நிறுவப் பயன்படுத்தினார். அல்காசன் முதன்முதலாக யூக்கிளிடிய வடிவியலின் இணை எடுகோள்களை நிறுவிட, எதிர்மறுப்பு நிறுவல் முறையை உருவாக்கினார்.

தற்கால நிறுவல் சார்ந்த கோட்பாடு, நிறுவல்களை விரிதொகு ஏரண முறையில் வரையறுத்த தரவுக் கட்டமைப்புகளாகக் காண்கிறது. இப்போது அடிக்கோள்கள் எவ்வகையிலும் எப்பொருளிலும் உண்மையெனக் கொள்ளப்படுவதில்லை; இந்நிலை, மாற்று அடிக்கோள்களின் கணத்தைச் சார்ந்து இஅணையான கணிதவியல் கோட்பாடுகளை உருவாக்க விடுகிறது அடிக்கோளியல் கணக்கோட்பாடும் யூக்கிளிடியமற்ற வடிவியலும் இத்தகைய எடுத்துக்காட்டுக் கோட்பாடுகள் ஆகும்.

நடைமுறையில் பின்பற்றுதலின்படி, நிறுவல் இயற்கை மொழியில் விவரிக்கப்படுகிறது. இங்கு நிறுவல் என்பது கேட்போர் ஏற்கும்படி, ஒரு கூற்றின் உண்மையை விளக்கும் சீரிய விவாதம் ஆகும். இங்கு சீரியநிலை என்பதன் செந்தரம் முழுமை வாய்ந்ததல்ல. அது வரலாறு முழுக்க மாறிக்கொண்டே வந்துள்ளது. பல்வேறு குழுவுக்குப் பல்வேறு வேறுபட்ட நிறுவல் தரப்படலாம். இது ஏற்பு பெற அக்குழுவின் சீரியநிலைப் பொருளில் கூற்றுகள் அமையவேண்டும்; குழப்பமான விவாதமும் முழுமையற்றவையும் அக்குழுவால் ஏற்கப்படாது.

நேரடி நிறுவல்

நேரடி நிறுவலில், அடிக்கோள்கள், வரையறைகள், முன்பே நிறுவப்பட்ட தேற்றங்கள் என்பன தருக்க முறையில் ஒன்றிணைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு இரட்டை முழுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை எப்பொழுதும் இரட்டை எண்ணே என நிறுவுவதற்கு நேரடி நிறுவல் முறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

x , y எனும் இரண்டு இரட்டைப்படை முற்றெண்களைக் கருதுவோம்.. அவை இரட்டைப்படையாக அமைதலால், அவற்றை a , b ஆகிய முற்றெண்களுக்கு, x = 2a , y = 2b என எழுதலாம். எனவே, அவற்ரின் கூட்டுத்தொகை x + y = 2a + 2b = 2(a+b) ஆகும். எனவே, x+y இரு காரணிகளைக் கொண்டமைகிறது. எனவே வரையறைப்படி, இது இரட்டைப்படை முற்றெண் ஆகும். இதனால், எந்த இரு இரட்டைப்படை முற்றெண்களின் கூட்டுத்தொகையும் இரட்டைப்படை முற்றெண்ணாகவே இருக்கும்.

இந்த நிறுவல், இரட்டைப்படை முற்றெண்களின் வரையறையையும், கூட்டல், பெருக்கல் ஆகிய இருவினைகளின் முடிதல் சார்ந்த முற்றெண்களின் இயல்புகளையும் பகிர்மையையும் (distributivity) பயன்படுத்துகிறது.

எதிர்நிலைப்பாட்டு நிறுவல்

எதிர்நிலைபாட்டு நிறுவல் "if pசரியென்றால் அப்போது q சரியாகும்" எனும் முடிவை " q சரியில்லை என்றால் அப்போது p யும்சரியல்ல" எனும் முற்கோளில் இருந்து பெறுகிறது. பின்கூற்று முன்னதன் எதிர்நிலப்பாட்டுக் கூற்றாகும் (The statement "if not q then not p" is called the contrapositive of the statement "if p then q"). எடுத்துகாட்டாக, எதிர்நிலைப்பாட்டு நிறுவலை, தரப்பட்ட முற்றெண் ${\displaystyle x}$  எனில், ${\displaystyle x^{2}}$  இரட்டைப்படை எனில், அப்போது ${\displaystyle x}$  இரட்டைப்படையாகும் என நிறுவப் பயன்படுத்தலாம்:

${\displaystyle x}$ இரட்டைப்படையாக அமையவில்லை எனக்கொள்வோம். அப்போது ${\displaystyle x}$  ஒற்றைப்படையாக அமைதல் வேண்டும். இரண்டு ஒற்றைப்படை எண்களின் பெருக்குத்தொகையும் ஒற்றைப்படையாவதால், எனவே ${\displaystyle x^{2}=x\cdot x}$  என்பது ஒற்றைப்படையாகும். இங்ஙனம், ${\displaystyle x}$  என்பதும் இரட்டைப்படையல்ல. எனவே, ${\displaystyle x^{2}}$  என்பது இரட்டைப்படையானால், நம் கருதல் பொய்யாகவேண்டும்; அதனால் ${\displaystyle x}$  என்பது கட்டாயமாக ஒற்றைப்படையினதே.

எதிர்மறுப்பு நிறுவல்

எதிர்மறுப்பு நிறுவல் முறையில், ஒரு கூற்று உண்மையானது என்பதை நிறுவ, அக்கூற்று உண்மையில்லை என எடுத்துக்கொண்டு, அதன் விளைவாக ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட வேறு கூற்றுகளில் ஏரண முரண்பாடு ஏற்படுவதைச் சுட்டிக்காட்டுவதன் மூலம் கூற்று உண்மையாகத்தான் இருக்க வேண்டும் என நிறுவப்படுகிறது. இது மறைமுக நிறுவல் அல்லது முரண்பாட்டு நிறுவல் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.எதிர்மறுப்பு நிறுவல் சார்ந்த மிகவும் புகழ்பெற்ற எடுத்துகாட்டு ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  என்பது ஒரு பகா எண் என்பதாகும்:

• Pólya, G. (1954), Mathematics and Plausible Reasoning, Princeton University Press.
• Fallis, Don (2002), "What Do Mathematicians Want? Probabilistic Proofs and the Epistemic Goals of Mathematicians", Logique et Analyse, 45: 373–388.
• Franklin, J.; Daoud, A. (2011), Proof in Mathematics: An Introduction, Kew Books, ISBN 0-646-54509-4.
• Solow, D. (2004), How to Read and Do Proofs: An Introduction to Mathematical Thought Processes, Wiley, ISBN 0-471-68058-3.
• Velleman, D. (2006), How to Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press, ISBN 0-521-67599-5.

 

விக்சனரியில் proof என்னும் சொல்லைப் பார்க்கவும்.

• Proofs in Mathematics: Simple, Charming and Fallacious
• A lesson about proofs, in a course from Wikiversity